QCM : Ensembles, combinatoire et trigonométrie — 24 questions

Question 1

1. Quelle méthode consiste à définir un ensemble en donnant explicitement la liste de tous ses éléments ?

La définition par énumération

La définition par compréhension

La définition par intersection

La définition par inclusion

Explication

La définition par énumération présente directement chaque élément de l’ensemble. La compréhension ne donne pas cette liste : elle caractérise les éléments au moyen d’une propriété.

Answer

La définition par énumération

Question 2

2. Quelle écriture utilise une propriété caractéristique pour définir un ensemble ?

La définition par complémentaire

La définition par cardinalité

La définition par énumération

La définition par compréhension

Explication

La compréhension sélectionne les éléments qui vérifient une propriété donnée parmi ceux de même nature. L’énumération, en revanche, consiste à présenter explicitement les éléments.

Answer

La définition par compréhension

Question 3

3. Un ensemble fini contient 7 éléments distincts ; quelle est la valeur de son cardinal ?

\operatorname{Card}(E)=14

\operatorname{Card}(E)=7

\operatorname{Card}(E)=6

\operatorname{Card}(E)=8

Explication

Le cardinal d’un ensemble fini correspond au nombre de ses éléments, donc il vaut 7 dans cette situation. Il ne correspond ni au nombre obtenu en retirant ou ajoutant un élément, ni au double de ce nombre.

Answer

$$\operatorname{Card}(E)=7$$

Question 4

4. Si un élément appartient à $E$ ou à $F$ , dans quel ensemble est-il nécessairement inclus ?

Dans

E\setminus F

Dans

E\cup F

Dans

F\setminus E

Dans

E\cap F

Explication

L’union rassemble les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles, y compris ceux qui appartiennent aux deux. L’intersection exige une appartenance simultanée à $E$ et à $F$ .

Answer

Dans $$E\cup F$$

Question 5

5. Soient $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{3,4,5\}$ ; quel est l’ensemble $E\cap F$ ?

\{1,2,3,4,5\}

\{5\}

\{1,2\}

\{3,4\}

Explication

L’intersection contient les éléments présents dans les deux ensembles, ici 3 et 4. L’ensemble contenant tous les éléments de $E$ ou de $F$ serait leur union.

Answer

$$\{3,4\}$$

Question 6

6. Quelle affirmation distingue correctement $E\subseteq F$ de $x\in E$ ?

E\subseteq F

signifie que les ensembles sont disjoints, tandis que

x\in E

décrit leur union.

E\subseteq F

relie un élément à un ensemble, tandis que

x\in E

compare deux ensembles.

E\subseteq F

signifie que les ensembles ont le même cardinal, tandis que

x\in E

décrit leur intersection.

E\subseteq F

compare deux ensembles, tandis que

x\in E

relie un élément à un ensemble.

Explication

L’inclusion affirme que chaque élément de $E$ appartient aussi à $F$ , tandis que l’appartenance concerne un élément particulier et un ensemble. Une inclusion ne signifie ni égalité des cardinaux ni disjonction.

Answer

$$E\subseteq F$$ compare deux ensembles, tandis que $$x\in E$$ relie un élément à un ensemble.

Question 7

7. Si $E=\{a,b\}$ et $F=\{1,2\}$ , lequel de ces ensembles est le produit cartésien $E\times F$ ?

\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\}

\{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}

\{(a,b),(1,2)\}

\{a,b,1,2\}

Explication

Le produit cartésien forme des couples ordonnés dont le premier élément vient de $E$ et le second de $F$ . L’ensemble $\{a,b,1,2\}$ correspond à une réunion d’éléments, pas à un ensemble de couples.

Answer

$$\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\}$$

Question 8

8. Si $\operatorname{Card}(E)=3$ et $\operatorname{Card}(F)=4$ , combien d’éléments possède $E\times F$ ?

12

1

7

9

Explication

Le cardinal d’un produit cartésien se calcule en multipliant les cardinaux des deux ensembles, soit $3\times4=12$ . L’addition des cardinaux correspondrait à une autre opération et ne donne pas le cardinal du produit.

Answer

Tous les sous-ensembles de $$E$$, y compris $$\varnothing$$ et $$E$$

Answer

$$\binom{7}{3}=\binom{6}{2}+\binom{6}{3}$$

Answer

$$\frac{\pi}{3}$$

Answer

Il existe un entier $$k$$ tel que $$x-y=k\cdot2\pi$$

Answer

Le cosinus est l’abscisse et le sinus est l’ordonnée

Answer

$$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$

Answer

$$\cos(\pi/2)=0$$ et $$\sin(\pi/2)=1$$

Answer

$$1-2\sin^2(x)$$

Answer

$$\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$$

Answer

Ajouter $$2k\pi$$ à chaque solution, avec $$k\in\mathbb{Z}$$.

Answer

$$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$$ ou $$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$$, avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Answer

$$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$$ ou $$x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$$, avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Answer

Parce que le sinus et le cosinus se répètent après une rotation de $$2\pi$$.

Question 9

9. Si $\operatorname{Card}(E)=8$ , $\operatorname{Card}(F)=5$ et $\operatorname{Card}(E\cap F)=2$ , quelle est la valeur de $\operatorname{Card}(E\cup F)$ ?

15

13

11

10

Explication

La formule d’inclusion-exclusion donne $\operatorname{Card}(E\cup F)=8+5-2=11$ , car les éléments communs ont été comptés deux fois. Ajouter les deux cardinaux sans soustraire l’intersection conduirait à compter ces éléments en double.

Question 10

10. Que contient l’ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ d’un ensemble $E$ ?

Toutes les suites finies dont les termes appartiennent à

E

Tous les éléments de

E

auxquels on ajoute leurs complémentaires

Tous les couples formés avec des éléments distincts de

E

Tous les sous-ensembles de

E

, y compris

\varnothing

et

E

Explication

L’ensemble $\mathcal{P}(E)$ regroupe chaque sous-ensemble de $E$ , notamment l’ensemble vide et $E$ lui-même. Un produit cartésien, en revanche, est constitué de couples ou de n-uplets.

Question 11

11. Un ensemble fini $E$ possède $5$ éléments. Quel est le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ ?

32

10

2^5-1

25

Explication

Le cardinal de l’ensemble des parties vaut $2^{\operatorname{Card}(E)}$ , donc ici $2^5=32$ . Le nombre $2^5-1$ correspondrait aux parties non vides, pas à l’ensemble des parties complet.

Question 12

12. Quelle égalité applique correctement la relation de Pascal pour calculer $\binom{7}{3}$ ?

\binom{7}{3}=\binom{7}{2}+\binom{7}{3}

\binom{7}{3}=\binom{6}{3}+\binom{6}{4}

\binom{7}{3}=\binom{6}{2}+\binom{6}{3}

\binom{7}{3}=\binom{8}{2}+\binom{8}{3}

Explication

La relation de Pascal donne $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ , ce qui conduit à $\binom{7}{3}=\binom{6}{2}+\binom{6}{3}$ . Les autres égalités ne diminuent pas simultanément les deux indices comme l’exige cette relation.

Question 13

13. Dans le développement de $(a+b)^4$ , quel est le coefficient du terme $a^2b^2$ ?

12

6

8

4

Explication

La formule de Newton associe à $a^2b^2$ le coefficient $\binom{4}{2}=6$ . Les puissances de $a$ et de $b$ doivent avoir une somme égale à $4$ , ce qui fixe ici l’indice à $2$ .

Question 14

14. Quelle conversion est correcte pour un angle de $60^\circ$ ?

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{6}

\frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{2}

Explication

La correspondance fondamentale est $60^\circ=\frac{\pi}{3}$ . Les mesures $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{4}$ correspondent respectivement à $30^\circ$ et $45^\circ$ .

Question 15

15. Laquelle des situations caractérise la congruence de deux réels $x$ et $y$ modulo $2\pi$ ?

Il existe un réel

k

tel que

x-y=k\cdot\pi

Il existe un entier

k

tel que

x-y=k\cdot2\pi

x+y=2\pi

x=y

Explication

Deux réels sont congrus modulo $2\pi$ lorsque leur différence est un multiple entier de $2\pi$ . Cette relation permet donc un écart correspondant à un nombre entier de tours, contrairement à l’égalité stricte.

Question 16

16. Sur le cercle trigonométrique, quelles coordonnées représentent respectivement le cosinus et le sinus d’un angle $x$ ?

Le cosinus est l’ordonnée et le sinus est l’abscisse

Le cosinus est l’abscisse et le sinus est l’ordonnée

Le cosinus est le rayon et le sinus est l’arc parcouru

Le cosinus est l’angle et le sinus est le quadrant

Explication

Le cosinus de $x$ est l’abscisse du point associé sur le cercle trigonométrique, tandis que son sinus est l’ordonnée. Intervertir ces coordonnées constitue la confusion classique entre les deux fonctions.

Question 17

17. Quelle relation est vraie pour tout angle réel $x$ ?

\cos(x)\sin(x)=1

\cos(x)+\sin(x)=1

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1

\cos^2(x)-\sin^2(x)=1

Explication

L’identité trigonométrique fondamentale est $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ , et chaque fonction reste comprise entre $-1$ et $1$ . La somme simple des deux fonctions n’est pas constante et ne doit pas être confondue avec la somme de leurs carrés.

Question 18

18. Quelles sont les valeurs de $\cos(\pi/2)$ et de $\sin(\pi/2)$ ?

\cos(\pi/2)=1

et

\sin(\pi/2)=0

\cos(\pi/2)=0

et

\sin(\pi/2)=-1

\cos(\pi/2)=0

et

\sin(\pi/2)=1

\cos(\pi/2)=-1

et

\sin(\pi/2)=0

Explication

À l’angle $\pi/2$ , le point du cercle trigonométrique a pour coordonnées $(0,1)$ , d’où $\cos(\pi/2)=0$ et $\sin(\pi/2)=1$ . Les valeurs inversées correspondent à l’angle nul.

Question 19

19. Quelle expression est équivalente à $\cos(2x)$ ?

2\cos(x)\sin^2(x)

2\sin(x)\cos(x)

1+2\sin^2(x)

1-2\sin^2(x)

Explication

La formule du double angle donne $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ , parmi plusieurs formes équivalentes. L’expression $2\sin(x)\cos(x)$ correspond plutôt à $\sin(2x)$ .

Question 20

20. Quelle formule permet de développer $\sin(x+y)$ ?

\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)

\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)

\cos(x)\sin(y)-\sin(x)\cos(y)

\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)

Explication

La formule de la somme des sinus est $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$ . L’expression $\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ développe le cosinus d’une somme.

Question 21

21. Après avoir trouvé les solutions d’une équation trigonométrique sur un tour du cercle, que faut-il faire pour obtenir toutes les solutions réelles ?

Ajouter

2k\pi

à chaque solution, avec

k\in\mathbb{Z}

.

Multiplier chaque solution par

2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

.

Ajouter

k\pi

à chaque solution, avec

k\in\mathbb{Z}

.

Conserver les solutions repérées sur ce tour sans modification.

Explication

La périodicité permet de compléter chaque solution en lui ajoutant tous les multiples entiers de $2\pi$ . Les solutions repérées sur un seul tour ne forment donc pas l’ensemble complet.

Question 22

22. Quelles sont les solutions réelles de $\sin(x)=\frac12$ ?

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi

ou

x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi

ou

x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi

ou

x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=\frac{\pi}{3}+2k\pi

ou

x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

Explication

Le sinus vaut $\frac12$ aux angles $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$ sur un tour, puis la périodicité ajoute $2k\pi$ . L’angle $-\frac{\pi}{6}$ donne un sinus négatif et ne convient donc pas.

Question 23

23. Quelles sont les solutions réelles de $\cos(x)=\frac{\sqrt2}{2}$ ?

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi

ou

x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi

ou

x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi

ou

x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

ou

x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi

, avec

k\in\mathbb{Z}

Explication

Le cosinus vaut $\frac{\sqrt2}{2}$ pour les angles $\frac{\pi}{4}$ et $-\frac{\pi}{4}$ , modulo $2\pi$ . L’angle $\frac{3\pi}{4}$ possède le même sinus de référence, mais son cosinus est négatif.

Question 24

24. Pourquoi peut-on écrire une famille de solutions sous la forme $x=x_0+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ ?

Parce que le sinus et le cosinus changent de signe après une rotation de

2\pi

.

Parce que le sinus et le cosinus se répètent après une rotation de

2\pi

.

Parce que chaque angle possède une valeur trigonométrique différente après une rotation de

2\pi

.

Parce que la période commune du sinus et du cosinus est égale à

\pi

.

Explication

Le sinus et le cosinus sont périodiques de période $2\pi$ , donc une solution reste solution après l’ajout de tout multiple entier de cette période. Une rotation de $\pi$ ne conserve pas généralement les mêmes valeurs, car elle change leurs signes.

QCM : Ensembles, combinatoire et trigonométrie — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle méthode consiste à définir un ensemble en donnant explicitement la liste de tous ses éléments ?

2. Quelle écriture utilise une propriété caractéristique pour définir un ensemble ?

3. Un ensemble fini contient 7 éléments distincts ; quelle est la valeur de son cardinal ?

4. Si un élément appartient à $E$ ou à $F$ , dans quel ensemble est-il nécessairement inclus ?

5. Soient $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{3,4,5\}$ ; quel est l’ensemble $E\cap F$ ?

6. Quelle affirmation distingue correctement $E\subseteq F$ de $x\in E$ ?

7. Si $E=\{a,b\}$ et $F=\{1,2\}$ , lequel de ces ensembles est le produit cartésien $E\times F$ ?

8. Si $\operatorname{Card}(E)=3$ et $\operatorname{Card}(F)=4$ , combien d’éléments possède $E\times F$ ?

9. Si $\operatorname{Card}(E)=8$ , $\operatorname{Card}(F)=5$ et $\operatorname{Card}(E\cap F)=2$ , quelle est la valeur de $\operatorname{Card}(E\cup F)$ ?

10. Que contient l’ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ d’un ensemble $E$ ?

11. Un ensemble fini $E$ possède $5$ éléments. Quel est le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ ?

12. Quelle égalité applique correctement la relation de Pascal pour calculer $\binom{7}{3}$ ?

13. Dans le développement de $(a+b)^4$ , quel est le coefficient du terme $a^2b^2$ ?

14. Quelle conversion est correcte pour un angle de $60^\circ$ ?

15. Laquelle des situations caractérise la congruence de deux réels $x$ et $y$ modulo $2\pi$ ?

16. Sur le cercle trigonométrique, quelles coordonnées représentent respectivement le cosinus et le sinus d’un angle $x$ ?

17. Quelle relation est vraie pour tout angle réel $x$ ?

18. Quelles sont les valeurs de $\cos(\pi/2)$ et de $\sin(\pi/2)$ ?

19. Quelle expression est équivalente à $\cos(2x)$ ?

20. Quelle formule permet de développer $\sin(x+y)$ ?

21. Après avoir trouvé les solutions d’une équation trigonométrique sur un tour du cercle, que faut-il faire pour obtenir toutes les solutions réelles ?

22. Quelles sont les solutions réelles de $\sin(x)=\frac12$ ?

23. Quelles sont les solutions réelles de $\cos(x)=\frac{\sqrt2}{2}$ ?

24. Pourquoi peut-on écrire une famille de solutions sous la forme $x=x_0+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ ?

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QCM : Ensembles, combinatoire et trigonométrie — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle méthode consiste à définir un ensemble en donnant explicitement la liste de tous ses éléments ?

2. Quelle écriture utilise une propriété caractéristique pour définir un ensemble ?

3. Un ensemble fini contient 7 éléments distincts ; quelle est la valeur de son cardinal ?

4. Si un élément appartient à EEE ou à FFF, dans quel ensemble est-il nécessairement inclus ?

5. Soient E={1,2,3,4}E=\{1,2,3,4\}E={1,2,3,4} et F={3,4,5}F=\{3,4,5\}F={3,4,5} ; quel est l’ensemble E∩FE\cap FE∩F ?

6. Quelle affirmation distingue correctement E⊆FE\subseteq FE⊆F de x∈Ex\in Ex∈E ?

7. Si E={a,b}E=\{a,b\}E={a,b} et F={1,2}F=\{1,2\}F={1,2}, lequel de ces ensembles est le produit cartésien E×FE\times FE×F ?

8. Si Card⁡(E)=3\operatorname{Card}(E)=3Card(E)=3 et Card⁡(F)=4\operatorname{Card}(F)=4Card(F)=4, combien d’éléments possède E×FE\times FE×F ?

9. Si Card⁡(E)=8\operatorname{Card}(E)=8Card(E)=8, Card⁡(F)=5\operatorname{Card}(F)=5Card(F)=5 et Card⁡(E∩F)=2\operatorname{Card}(E\cap F)=2Card(E∩F)=2, quelle est la valeur de Card⁡(E∪F)\operatorname{Card}(E\cup F)Card(E∪F) ?

10. Que contient l’ensemble des parties P(E)\mathcal{P}(E)P(E) d’un ensemble EEE ?

11. Un ensemble fini EEE possède 555 éléments. Quel est le cardinal de P(E)\mathcal{P}(E)P(E) ?

12. Quelle égalité applique correctement la relation de Pascal pour calculer (73)\binom{7}{3}(37​) ?

13. Dans le développement de (a+b)4(a+b)^4(a+b)4, quel est le coefficient du terme a2b2a^2b^2a2b2 ?

14. Quelle conversion est correcte pour un angle de 60∘60^\circ60∘ ?

15. Laquelle des situations caractérise la congruence de deux réels xxx et yyy modulo 2π2\pi2π ?

16. Sur le cercle trigonométrique, quelles coordonnées représentent respectivement le cosinus et le sinus d’un angle xxx ?

17. Quelle relation est vraie pour tout angle réel xxx ?

18. Quelles sont les valeurs de cos⁡(π/2)\cos(\pi/2)cos(π/2) et de sin⁡(π/2)\sin(\pi/2)sin(π/2) ?

19. Quelle expression est équivalente à cos⁡(2x)\cos(2x)cos(2x) ?

20. Quelle formule permet de développer sin⁡(x+y)\sin(x+y)sin(x+y) ?

21. Après avoir trouvé les solutions d’une équation trigonométrique sur un tour du cercle, que faut-il faire pour obtenir toutes les solutions réelles ?

22. Quelles sont les solutions réelles de sin⁡(x)=12\sin(x)=\frac12sin(x)=21​ ?

23. Quelles sont les solutions réelles de cos⁡(x)=22\cos(x)=\frac{\sqrt2}{2}cos(x)=22​​ ?

24. Pourquoi peut-on écrire une famille de solutions sous la forme x=x0+2kπx=x_0+2k\pix=x0​+2kπ avec k∈Zk\in\mathbb{Z}k∈Z ?

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4. Si un élément appartient à $E$ ou à $F$ , dans quel ensemble est-il nécessairement inclus ?

5. Soient $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{3,4,5\}$ ; quel est l’ensemble $E\cap F$ ?

6. Quelle affirmation distingue correctement $E\subseteq F$ de $x\in E$ ?

7. Si $E=\{a,b\}$ et $F=\{1,2\}$ , lequel de ces ensembles est le produit cartésien $E\times F$ ?

8. Si $\operatorname{Card}(E)=3$ et $\operatorname{Card}(F)=4$ , combien d’éléments possède $E\times F$ ?

9. Si $\operatorname{Card}(E)=8$ , $\operatorname{Card}(F)=5$ et $\operatorname{Card}(E\cap F)=2$ , quelle est la valeur de $\operatorname{Card}(E\cup F)$ ?

10. Que contient l’ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ d’un ensemble $E$ ?

11. Un ensemble fini $E$ possède $5$ éléments. Quel est le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ ?

12. Quelle égalité applique correctement la relation de Pascal pour calculer $\binom{7}{3}$ ?

13. Dans le développement de $(a+b)^4$ , quel est le coefficient du terme $a^2b^2$ ?

14. Quelle conversion est correcte pour un angle de $60^\circ$ ?

15. Laquelle des situations caractérise la congruence de deux réels $x$ et $y$ modulo $2\pi$ ?

16. Sur le cercle trigonométrique, quelles coordonnées représentent respectivement le cosinus et le sinus d’un angle $x$ ?

17. Quelle relation est vraie pour tout angle réel $x$ ?

18. Quelles sont les valeurs de $\cos(\pi/2)$ et de $\sin(\pi/2)$ ?

19. Quelle expression est équivalente à $\cos(2x)$ ?

20. Quelle formule permet de développer $\sin(x+y)$ ?

22. Quelles sont les solutions réelles de $\sin(x)=\frac12$ ?

23. Quelles sont les solutions réelles de $\cos(x)=\frac{\sqrt2}{2}$ ?

24. Pourquoi peut-on écrire une famille de solutions sous la forme $x=x_0+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ ?