QCM : Calcul différentiel appliqué — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si une variable passe de x0x_0 à x1x_1, comment exprime-t-on l’accroissement algébrique de la variable et celui de la fonction associée ?

Δx=x1−x0\Delta x=x_1-x_0 et Δf=f(x1)−f(x0)\Delta f=f(x_1)-f(x_0)
Δx=f(x0+Δx)\Delta x=f(x_0+\Delta x) et Δf=x0+Δx\Delta f=x_0+\Delta x
Δx=x1+x0\Delta x=x_1+x_0 et Δf=f(x1)+f(x0)\Delta f=f(x_1)+f(x_0)
Δx=f(x1)−f(x0)\Delta x=f(x_1)-f(x_0) et Δf=x1−x0\Delta f=x_1-x_0

$$\Delta x=x_1-x_0$$ et $$\Delta f=f(x_1)-f(x_0)$$

Explication

L’accroissement de la variable compare les deux valeurs de x, tandis que celui de la fonction compare les valeurs fonctionnelles correspondantes. La confusion fréquente consiste à attribuer à Δx\Delta x la variation de la fonction.

2. Pour calculer le taux d’accroissement de ff entre x0x_0 et x0+Δxx_0+\Delta x, quelle expression faut-il utiliser ?

f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
f(x0+Δx)−f(x0)x0\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{x_0}
lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
f(x0+Δx)+f(x0)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)+f(x_0)}{\Delta x}

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

Explication

Le taux d’accroissement est le quotient de l’accroissement de la fonction par l’accroissement de la variable. L’expression avec une limite définit la dérivée, et non le quotient fini lui-même.

3. Dans quelles conditions la dérivée de ff en x0x_0 est-elle donnée par une limite ?

Lorsque la limite du taux d’accroissement existe et est finie
Lorsque le taux d’accroissement est calculé pour une valeur fixe de Δx\Delta x
Lorsque la valeur f(x0)f(x_0) est égale à zéro
Lorsque la fonction possède une tangente horizontale en x0x_0

Lorsque la limite du taux d’accroissement existe et est finie

Explication

La dérivée en x0x_0 est la limite du taux d’accroissement lorsque Δx\Delta x tend vers zéro, à condition que cette limite existe et soit finie. Une tangente horizontale correspondrait à une dérivée nulle, ce qui n’est pas requis dans la définition.

4. Quelle interprétation géométrique correspond à la dérivée f′(x0)f'(x_0) ?

L’ordonnée du point (x0,f(x0))\bigl(x_0,f(x_0)\bigr) sur la courbe
La distance entre le point x0x_0 et la tangente à la courbe
Le coefficient directeur de la sécante reliant deux points distincts de la courbe
Le coefficient directeur de la tangente au point (x0,f(x0))\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)

Le coefficient directeur de la tangente au point $$\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$$

Explication

La dérivée représente géométriquement la pente de la tangente à la courbe au point considéré. La pente de la sécante correspond au taux d’accroissement entre deux abscisses distinctes.

5. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse x0x_0 ?

t(x)=f(x0)(x−x0)+f′(x)t(x)=f(x_0)(x-x_0)+f'(x)
t(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
t(x)=f′(x0)+f(x0)(x−x0)t(x)=f'(x_0)+f(x_0)(x-x_0)
t(x)=f(x)+f′(x)(x0−x)t(x)=f(x)+f'(x)(x_0-x)

$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

Explication

La tangente passe par (x0,f(x0))\bigl(x_0,f(x_0)\bigr) et possède pour pente f′(x0)f'(x_0), d’où cette forme affine. La fonction f(x)f(x) décrit la courbe complète et ne doit pas être confondue avec l’équation de sa tangente.

6. Comment s’écrivent, en notation de Leibniz, la dérivée première et la dérivée seconde de ff ?

f′(x)=d2fdx2f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2} et f′′(x)=dfdxf''(x)=\frac{df}{dx}
f′(x)=dxdff'(x)=\frac{dx}{df} et f′′(x)=dx2df2f''(x)=\frac{dx^2}{df^2}
f′(x)=dfdxf'(x)=\frac{df}{dx} et f′′(x)=d2fdx2f''(x)=\frac{d^2f}{dx^2}
f′(x)=dfdx2f'(x)=\frac{df}{dx^2} et f′′(x)=d2fdxf''(x)=\frac{d^2f}{dx}

$$f'(x)=\frac{df}{dx}$$ et $$f''(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$$

Explication

La notation dfdx\frac{df}{dx} désigne une dérivation de f par rapport à x, tandis que d2fdx2\frac{d^2f}{dx^2} désigne une dérivation effectuée deux fois. La dérivée seconde ne correspond donc pas à la notation de la dérivée première.

7. En physique, quelle notation représente une dérivée seconde de la position yy par rapport au temps ?

ay(t)=dydxa_y(t)=\frac{dy}{dx}
ay(t)=y¨a_y(t)=\ddot y
vy(t)=y¨v_y(t)=\ddot y
ay(t)=y˙a_y(t)=\dot y

$$a_y(t)=\ddot y$$

Explication

Deux points au-dessus de yy indiquent une dérivée temporelle effectuée deux fois, associée à l’accélération. Un seul point représente la dérivée première par rapport au temps, c’est-à-dire la vitesse.

8. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ?

−sin⁡x-\sin x
−cos⁡x-\cos x
sin⁡x\sin x
cos⁡x\cos x

$$-\sin x$$

Explication

La dérivée de cos⁡x\cos x est −sin⁡x-\sin x, tandis que celle de sin⁡x\sin x est cos⁡x\cos x. Confondre ces deux dérivées conduit à choisir un signe ou une fonction incorrecte.

9. Si ff et gg sont dérivables, quelle formule permet de calculer la dérivée de leur produit ?

f′g+fg′g2\frac{f'g+fg'}{g^2}
f′g+fg′f'g+fg'
f′g′f'g'
f′g−fg′f'g-fg'

$$f'g+fg'$$

Explication

La règle du produit additionne les deux contributions obtenues en dérivant alternativement chaque facteur : ddx(fg)=f′g+fg′\frac{d}{dx}(fg)=f'g+fg'. La formule avec un dénominateur au carré appartient à la règle du quotient.

10. Quelle expression donne la dérivée de f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} lorsque g(x)≠0g(x)\neq 0 ?

f′g−fg′g2\frac{f'g-fg'}{g^2}
f′g′g2\frac{f'g'}{g^2}
f′g−fg′g\frac{f'g-fg'}{g}
f′g+fg′g2\frac{f'g+fg'}{g^2}

$$\frac{f'g-fg'}{g^2}$$

Explication

La règle du quotient impose un numérateur f′g−fg′f'g-fg' et un dénominateur g2g^2. La somme au numérateur correspondrait à une autre structure et ne respecte pas la règle de dérivation d’un quotient.

11. Pour F(x)=f(u(x))F(x)=f(u(x)), quelle règle permet de calculer F′(x)F'(x) ?

f′(u′(x))u(x)f'(u'(x))u(x)
f′(u(x))u′(x)f'(u(x))u'(x)
f′(x)u′(x)f'(x)u'(x)
f(u(x))u′(x)f(u(x))u'(x)

$$f'(u(x))u'(x)$$

Explication

La règle de la chaîne consiste à dériver la fonction extérieure au point u(x)u(x), puis à multiplier par la dérivée de la fonction intérieure. On obtient donc F′(x)=f′(u(x))u′(x)F'(x)=f'(u(x))u'(x).

12. Sur un intervalle où f′(x)≤0f'(x)\leq 0, quelle propriété peut-on attribuer à la fonction ff ?

Elle possède un minimum local en chaque point.
Elle est constante sur cet intervalle.
Elle est croissante sur cet intervalle.
Elle est décroissante sur cet intervalle.

Elle est décroissante sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée négative ou nulle sur un intervalle indique que la fonction y est décroissante. La croissance correspond plutôt à la condition f′(x)≥0f'(x)\geq 0, tandis que la constance demanderait une information plus précise.

13. Si f′(x0)=0f'(x_0)=0 et f′′(x0)>0f''(x_0)>0, quelle conclusion est justifiée ?

ff possède un maximum local en x0x_0.
ff possède un minimum local en x0x_0.
ff est croissante sur tout son domaine.
ff est décroissante au voisinage de x0x_0.

$$f$$ possède un minimum local en $$x_0$$.

Explication

Lorsque la dérivée première s’annule et que la dérivée seconde est positive, la courbure locale correspond à un minimum local. Une dérivée seconde négative serait associée à un maximum local dans cette situation.

14. Quelle expression fournit l’approximation affine de f(x0+Δx)f(x_0+\Delta x) pour une variation Δx\Delta x suffisamment petite ?

f′(x0)+f(x0)Δxf'(x_0)+f(x_0)\Delta x
f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0)+f'(x_0)\Delta x
f(x0)+f′′(x0)Δxf(x_0)+f''(x_0)\Delta x
f(x0+Δx)−f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)-f'(x_0)\Delta x

$$f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

Explication

L’approximation affine utilise la valeur de la fonction et sa pente au point x0x_0 : f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x. Cette relation est approchée pour une petite variation et ne donne pas nécessairement la valeur exacte.

15. Un rectangle possède trois côtés bordés par une clôture de longueur fixée, le quatrième côté longeant une rivière. Dans quelle configuration son aire est-elle maximale ?

La largeur est le double de la longueur, soit l=2Ll=2L.
La longueur et la largeur sont égales, soit L=lL=l.
La longueur est le triple de la largeur, soit L=3lL=3l.
La longueur est le double de la largeur, soit L=2lL=2l.

La longueur est le double de la largeur, soit $$L=2l$$.

Explication

Sous cette contrainte de clôturage sur trois côtés, l’aire maximale est atteinte lorsque L=2lL=2l. Les autres rapports modifient la répartition des dimensions et ne correspondent pas à la configuration optimale.

16. Pour une fonction dérivable en x0x_0, comment la différentielle associe-t-elle un accroissement Δx\Delta x à une variation au point considéré ?

Elle lui associe le nombre f(x0)Δxf(x_0)\Delta x
Elle lui associe le nombre f′(x0)Δxf'(x_0)\Delta x
Elle lui associe le quotient Δx/f′(x0)\Delta x/f'(x_0)
Elle lui associe la variation exacte Δf\Delta f

Elle lui associe le nombre $$f'(x_0)\Delta x$$

Explication

La différentielle est l’accroissement de la tangente et vaut dfx0=f′(x0)Δxdf_{x_0}=f'(x_0)\Delta x. La variation exacte de la fonction est notée Δf\Delta f, ce qui la distingue de la différentielle.

17. Quelle écriture exprime correctement la différentielle d’une fonction dérivable, en utilisant la différentielle de l’identité ?

df=f′(x)dxdf=f'(x)dx avec dx=Δxdx=\Delta x
df=f(x)dxdf=f(x)dx avec dx=Δfdx=\Delta f
df=f′(x)Δfdf=f'(x)\Delta f avec dx=xdx=x
df=dx/f′(x)df=dx/f'(x) avec dx=Δfdx=\Delta f

$$df=f'(x)dx$$ avec $$dx=\Delta x$$

Explication

La notation différentielle s’écrit df=f′(x)dxdf=f'(x)dx, et la fonction identité donne dx=Δxdx=\Delta x. Ainsi, dxdx représente la différentielle de l’identité, tandis que dfdf est celle de la fonction étudiée.

18. Quelle expression donne correctement la différentielle du produit de deux fonctions ff et gg ?

d(fg)=fg d(f+g)d(fg)=f g\,d(f+g)
d(fg)=gdf+fdgd(fg)=gdf+fdg
d(fg)=df+dgd(fg)=df+dg
d(fg)=gdf−fdgd(fg)=gdf-fdg

$$d(fg)=gdf+fdg$$

Explication

La règle du produit comporte deux termes : d(fg)=gdf+fdgd(fg)=gdf+fdg. L’expression df+dgdf+dg correspond à la règle de la somme et ne tient pas compte des facteurs associés.

19. Si ff est une fonction dérivable, quelle formule donne la différentielle de ln⁡f\ln f ?

d(ln⁡f)=dffd(\ln f)=\frac{df}{f}
d(ln⁡f)=f dfd(\ln f)=f\,df
d(ln⁡f)=fdfd(\ln f)=\frac{f}{df}
d(ln⁡f)=dfln⁡fd(\ln f)=\frac{df}{\ln f}

$$d(\ln f)=\frac{df}{f}$$

Explication

La règle logarithmique donne d(ln⁡f)=dffd(\ln f)=\frac{df}{f}. La formule dx/xdx/x est le cas particulier obtenu lorsque la fonction considérée est l’identité, c’est-à-dire lorsque f=xf=x.

20. Quelle différentielle correspond au volume V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3 d’une sphère ?

dV=3πr2drdV=3\pi r^2dr
dV=43πr3drdV=\frac{4}{3}\pi r^3dr
dV=4πr2drdV=4\pi r^2dr
dV=4πr3drdV=4\pi r^3dr

$$dV=4\pi r^2dr$$

Explication

En dérivant le volume par rapport au rayon, on obtient dV=4πr2drdV=4\pi r^2dr. Le volume lui-même dépend de r3r^3, tandis que sa différentielle dépend de r2drr^2dr.

21. Pour une petite variation du rayon d’une sphère, quelle relation approxime la variation relative de son volume ?

dVV=3drr\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}
dVV=dr3r2\frac{dV}{V}=\frac{dr}{3r^2}
dVV=13drr\frac{dV}{V}=\frac{1}{3}\frac{dr}{r}
dVV=3rdr\frac{dV}{V}=3\frac{r}{dr}

$$\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}$$

Explication

En divisant dV=4πr2drdV=4\pi r^2dr par V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3, on obtient dVV=3drr\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}. Le facteur 3 traduit la dépendance cubique du volume par rapport au rayon.

22. Quelle expression décrit l’écart relatif entre une valeur approchée et une valeur exacte ?

valeur approcheˊevaleur exacte×100\frac{\text{valeur approchée}}{\text{valeur exacte}}\times100
valeur exacte−valeur approcheˊevaleur approcheˊe×100\frac{\text{valeur exacte}-\text{valeur approchée}}{\text{valeur approchée}}\times100
valeur approcheˊe−valeur exacte\text{valeur approchée}-\text{valeur exacte}
valeur approcheˊe−valeur exactevaleur exacte×100\frac{\text{valeur approchée}-\text{valeur exacte}}{\text{valeur exacte}}\times100

$$\frac{\text{valeur approchée}-\text{valeur exacte}}{\text{valeur exacte}}\times100$$

Explication

L’écart relatif compare la différence entre les deux valeurs à la valeur exacte, puis l’exprime en pourcentage. L’écart absolu correspond à une simple soustraction et ne comporte pas ce rapport à la valeur exacte.

23. Dans quelle situation l’approximation différentielle peut-elle être considérée comme valable ?

Lorsque le rayon initial vérifie r≪Δrr\ll\Delta r
Lorsque la variation relative vérifie Δrr≈1\frac{\Delta r}{r}\approx1
Lorsque la variation relative vérifie Δrr≪1\frac{\Delta r}{r}\ll1
Lorsque la variation absolue vérifie Δr≪1\Delta r\ll1

Lorsque la variation relative vérifie $$\frac{\Delta r}{r}\ll1$$

Explication

L’approximation différentielle est valable lorsque la variation relative est très faible devant l’unité, soit Δrr≪1\frac{\Delta r}{r}\ll1. Une variation relative proche de 11 représente au contraire une modification importante, incompatible avec cette condition.

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Qu'est-ce que l'accroissement algébrique de la variable ?

C'est Δx=x1−x0\Delta x = x_1 - x_0.

Comment s'exprime l'accroissement algébrique de la fonction ?

C'est Δf=f(x1)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta f = f(x_1) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0).

Comment se calcule le taux d'accroissement de f entre x0x_0 et x0+Δxx_0 + \Delta x ?

C'est ΔfΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.

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