Fiche de révision : Calcul différentiel appliqué

📋 Plan du Cours

1. Accroissement et taux de variation
2. Définition géométrique de la dérivée
3. Notations et dérivées d’ordre supérieur
4. Formulaire et règles de dérivation
5. Applications de la dérivée
6. Optimisation et approximation affine
7. Définition de la différentielle
8. Opérations sur les différentielles
9. Applications physiques de la différentielle
10. Erreurs et validité des approximations

📖 1. Accroissement et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Accroissement algébrique : L’accroissement algébrique de la variable est $\Delta x=x_1-x_0$ et celui de la fonction est $\Delta f=f(x_1)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$.
• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement de f entre x_0 et x_0+\Delta x est $\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$.

💡 Astuce mémo

Variation de x → variation de f → taux de variation

📖 2. Définition géométrique de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : La dérivée de f au point x_0 est $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ lorsque cette limite existe et est finie.

📝 Points essentiels

• Géométriquement, la dérivée f'(x_0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point (x_0,f(x_0)).

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe au point x_0 est $t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

💡 Astuce mémo

Une sécante qui glisse jusqu’à devenir la tangente

📖 3. Notations et dérivées d’ordre supérieur

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée en notation de Leibniz vérifie $f'(x)=\frac{df}{dx}$ et la dérivée seconde vérifie $f''(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$.

Compléments

• En physique, une dérivée par rapport au temps peut être notée avec un point, par exemple $v_y(t)=\dot y$ et $a_y(t)=\ddot y$.

📖 4. Formulaire et règles de dérivation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $\frac{d}{dx}(C)=0$, $\frac{d}{dx}(x^m)=mx^{m-1}$, $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x$, $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$, $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$ et $\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$.

📐 Formule — La dérivée d’un produit est $\frac{d}{dx}(fg)=f'g+fg'$.

📐 Formule — La dérivée d’un quotient est $\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.

📐 Formule — Pour une fonction composée F(x)=f(u(x)), la règle de dérivation est $F'(x)=f'(u(x))u'(x)$.

📖 5. Applications de la dérivée

★ À maîtriser

📌 Si f'(x)≥0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle, et si f'(x)≤0, f est décroissante sur cet intervalle.

📌 Si f'(x_0)=0, f''(x_0)>0 indique un minimum local et f''(x_0)<0 indique un maximum local.

Compléments

📌 La condition f'(x_0)=0 est nécessaire pour un extremum intérieur mais ne suffit pas à déterminer s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.

💡 Astuce mémo

f′ > 0 : montée ; f′ < 0 : descente

📖 6. Optimisation et approximation affine

★ À maîtriser

📌 Pour une petite variation Δx autour de x_0, l’approximation affine est $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$.

• Avec P mètres de grillage pour trois côtés d’un rectangle bordant une rivière, l’aire est maximale lorsque la longueur L est le double de la largeur l, soit $L=2l$.

Compléments

• Pour f(x)=x^2, l’approximation affine en x_0=3 avec Δx=0,35 donne f(3,35)≈11,1, tandis que la valeur exacte est 11,2225.

💡 Astuce mémo

Petite variation de x → approximation par la tangente

📖 7. Définition de la différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : Si f est dérivable en x_0, sa différentielle associe à l’accroissement Δx le nombre $df_{x_0}=f'(x_0)\Delta x$.

★ À maîtriser

📐 Formule — En notation différentielle, on écrit $df=f'(x)dx$ et, pour la fonction identité, $dx=\Delta x$.

Compléments

• Géométriquement, df représente la variation de la tangente au point considéré lorsque x varie de Δx.

💡 Astuce mémo

Δf suit la courbe, df suit la tangente

📖 8. Opérations sur les différentielles

★ À maîtriser

📐 Formule — Les différentielles suivent les règles $d(f+g)=df+dg$, $d(fg)=gdf+fdg$ et $d(kf)=kdf$ pour une constante k.

Compléments

📐 Formule — La différentielle d’un logarithme vérifie $d(\ln f)=\frac{df}{f}$.

📖 9. Applications physiques de la différentielle

★ À maîtriser

📐 Formule — Le volume d’une sphère de rayon r est $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ et sa différentielle est $dV=4\pi r^2dr$.

📐 Formule — Pour une petite variation du rayon d’une sphère, la variation relative approchée du volume vérifie $\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}$.

Compléments

• Une augmentation de 1 % du rayon d’une cellule sphérique entraîne une augmentation approchée de 3 % de son volume.

💡 Astuce mémo

Variation relative du rayon → variation relative amplifiée du volume

📖 10. Erreurs et validité des approximations

★ À maîtriser

📐 Formule — L’écart absolu entre une valeur approchée et une valeur exacte est $E_a=\text{valeur approchée}-\text{valeur exacte}$, et l’écart relatif est $E_r=\frac{\text{valeur approchée}-\text{valeur exacte}}{\text{valeur exacte}}\times100$.

📌 L’approximation différentielle est valable lorsque la variation relative est faible, c’est-à-dire lorsque $\frac{\Delta r}{r}\ll1$.

Compléments

• Pour une variation relative du rayon de 1 %, l’approximation du volume donne 3 % contre 3,0301 % exactement, soit une erreur relative de 0,03 %; pour 20 %, elle donne 60 % contre 72,8 %, soit une erreur relative de 12,8 %.

💡 Astuce mémo

Variation faible : approximation valable ; variation importante : calcul exact

📊 Tableaux de synthèse

Accroissement, dérivée et différentielle