Flashcards : Calcul différentiel et intégrales (94 cartes)

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1Question

Combien de coordonnées repèrent un point du plan et un point de l’espace ?

Réponse

Deux dans le plan et trois dans l’espace.

2Question

Que donne la relation de Chasles pour trois points A, B et C ?

Réponse

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

3Question

Comment calcule-t-on la norme d’un vecteur plan de coordonnées $(u_1,u_2)$ ?

Réponse

$\sqrt{u_1^2+u_2^2}$

4Question

Quelle est la définition géométrique du produit scalaire de $u$ et $v$ ?

Réponse

$u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos(\widehat{u,v})$

5Question

Que représente le déterminant de deux vecteurs dans le plan ?

Réponse

L’aire algébrique du parallélogramme qu’ils définissent.

6Question

Quelle est la norme de $u\wedge v$ ?

Réponse

L’aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ .

7Question

Quelles coordonnées polaires planes repèrent un point M différent de l’origine ?

Réponse

Son rayon positif ρ et l’angle φ entre OM et l’axe Ox.

8Question

Comment obtenir les coordonnées cartésiennes depuis ρ et φ ?

Réponse

$x=\rho\cos\phi,\quad y=\rho\sin\phi$

9Question

Comment s’écrit le vecteur position en base polaire ?

Réponse

$\overrightarrow{OM}=\rho e_\rho$

10Question

Comment s’écrit la vitesse en coordonnées polaires ?

Réponse

$v=\dot\rho e_\rho+\rho\dot\phi e_\phi$

11Question

Quelle est l’expression de l’accélération en coordonnées polaires planes ?

Réponse

$\mathbf a=(\ddot\rho-\rho\dot\phi^2)\mathbf e_\rho+(2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi)\mathbf e_\phi$

12Question

Quelle est l’accélération normale d’un mouvement circulaire de rayon constant $R$ ?

Réponse

$a_N=-R\dot\phi^2=-\frac{v^2}{R}$

13Question

Quelle est l’expression de la vitesse en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\rho\dot\phi\mathbf e_\phi+\dot z\mathbf e_z$

14Question

À quels phénomènes les coordonnées sphériques sont-elles adaptées ?

Réponse

Aux phénomènes à symétrie sphérique.

15Question

Comment s’écrit le vecteur position en base sphérique ?

Réponse

$\overrightarrow{OM}=r\mathbf e_r$

16Question

Quelle est la formule du déplacement élémentaire en coordonnées sphériques ?

Réponse

$d\mathbf l=dr\mathbf e_r+r\,d\theta\mathbf e_\theta+r\sin\theta\,d\phi\mathbf e_\phi$

17Question

Comment s’écrit le déplacement élémentaire en coordonnées curvilignes orthonormées ?

Réponse

$d\mathbf l=G_1dx_1\mathbf e_1+G_2dx_2\mathbf e_2+G_3dx_3\mathbf e_3$

18Question

Qu’associe un champ de scalaires à chaque point de son domaine ?

Réponse

Un nombre réel.

19Question

Quand une forme différentielle $\omega$ est-elle exacte, et quelle relation lie-t-elle à un potentiel $V$ ?

Réponse

Il existe $f$ tel que $df=\omega$ , avec $f=-V$ .

20Question

Sur un ouvert connexe par arcs, que vaut l’intégrale d’une forme exacte sur tout chemin fermé ?

Réponse

Elle est nulle.

21Question

Dans un domaine étoilé du plan, quelle condition caractérise l’exactitude de $\omega=P\,dx+Q\,dy$ ?

Réponse

$\partial_xQ=\partial_yP$ .

22Question

Comment calcule-t-on la mesure du pavé défini par $a\leq x\leq b$ et $c\leq y\leq d$ ?

Réponse

$(b-a)(d-c)$

23Question

Comment exprime-t-on l’aire d’un domaine pavable à l’aide de sa fonction indicatrice ?

Réponse

C’est l’intégrale de sa fonction indicatrice sur le domaine.

24Question

Quand un ensemble est-il négligeable ?

Réponse

Quand, pour tout $\varepsilon>0$ , il est recouvrable par un nombre fini de pavés dont la somme des aires est inférieure à $\varepsilon$ .

25Question

Quand une fonction bornée sur un pavé est-elle intégrable selon les fonctions en escalier ?

Réponse

Quand les bornes supérieure et inférieure des intégrales minorantes et majorantes coïncident.

26Question

Quelle est l’intégrale d’une fonction bornée sur un pavé continue sauf sur un ensemble de mesure nulle ?

Réponse

Elle est intégrable sur ce pavé.

27Question

Comment définit-on l’intégrale d’une fonction bornée sur un domaine $D$ ?

Réponse

On prolonge la fonction par 0 hors de $D$ dans un pavé contenant $D$ , puis on intègre sur ce pavé.

28Question

Comment le théorème de Fubini transforme-t-il une intégrale double ?

Réponse

En deux intégrales simples, dans l’un ou l’autre ordre, avec des bornes adaptées.

29Question

Quelle formule applique le changement inverse $(x,y)=(X(\alpha,\beta),Y(\alpha,\beta))$ à une intégrale double ?

Réponse

$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_\Delta f(X(\alpha,\beta),Y(\alpha,\beta))\left|\det J(X,Y)\right|\,d\alpha\,d\beta$

30Question

Quel est l’élément d’aire en coordonnées polaires planes ?

Réponse

$\rho\,d\rho\,d\varphi$

31Question

Que peut-on faire si l’intégrabilité de $|f|$ est difficile à vérifier directement ?

Réponse

La majorer par une fonction intégrable $g$ telle que $g\ge |f|$ .

32Question

Quel jacobien intervient en coordonnées cylindriques et sphériques ?

Réponse

$\rho$ en coordonnées cylindriques et $r^2\sin\theta$ en coordonnées sphériques.

33Question

Combien de fonctions paramètrent une surface en fonction de quels paramètres ?

Réponse

Trois fonctions de deux paramètres, $u$ et $v$ .

34Question

Quel plan définissent les deux vecteurs tangents non colinéaires d’une surface ?

Réponse

Le plan tangent à la surface.

35Question

Quelle formule donne l’élément de surface orienté à partir des vecteurs tangents ?

Réponse

$dS=u\wedge v\,du\,dv$ .

36Question

Quelle formule donne l’aire d’une surface paramétrée sur le domaine $D$ ?

Réponse

$A=\iint_D\|dS\|$ .

37Question

Quelle est la norme de l’élément de surface sur une sphère de rayon $R$ ?

Réponse

$R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ .

38Question

Quelle est l’aire totale d’une sphère de rayon $R$ ?

Réponse

$4\pi R^2$ .

39Question

Comment définit-on le flux d’un champ vectoriel $V$ à travers une surface orientée $S$ ?

Réponse

$\Phi=\iint_S V\cdot dS$ .

40Question

Quelle est la divergence plane de $V=(V_x,V_y)$ en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\operatorname{div}V=\partial_xV_x+\partial_yV_y$

41Question

Quelle relation le théorème de Green établit-il entre flux extérieur et divergence ?

Réponse

$\oint_{\partial D}V\cdot dn=\iint_D\operatorname{div}V\,dx\,dy$

42Question

Quelle est la divergence plane en coordonnées polaires ?

Réponse

$\operatorname{div}V=\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho(\rho V_\rho)+\partial_\phi V_\phi\right]$

43Question

Quelle est la divergence en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles ?

Réponse

$\operatorname{div}V=\partial_xV_x+\partial_yV_y+\partial_zV_z$

44Question

Quelle relation le théorème d’Ostrogradsky établit-il entre flux et divergence ?

Réponse

$\iint_{\partial D}V\cdot dS=\iiint_D\operatorname{div}V\,dx\,dy\,dz$

45Question

Comment définit-on le rotationnel scalaire de $V=(V_x,V_y)$ en coordonnées cartésiennes planes ?

Réponse

$\operatorname{rot}V=\partial_xV_y-\partial_yV_x$

46Question

Quelle relation exprime la seconde forme du théorème de Green ?

Réponse

$\oint_{\partial D}V\cdot dl=\iint_D\operatorname{rot}V\,dx\,dy$

47Question

Quelle égalité exprime le théorème de Stokes pour un contour orienté $C$ et une surface $S$ compatible ?

Réponse

$\oint_CV\cdot dl=\iint_S\operatorname{rot}V\cdot dS$

48Question

Que faut-il dériver avant les produits scalaires en coordonnées curvilignes ?

Réponse

Les vecteurs de base mobiles.

49Question

Comment définit-on le laplacien scalaire de $f$ ?

Réponse

$\Delta f=\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)$

50Question

Quelles constructions la règle et le compas permettent-ils de réaliser ?

Réponse

Tracer des perpendiculaires, reporter des distances, trouver un milieu et partager un angle en deux.

51Question

Comment calculer $\operatorname{Det}(u,v)$ pour $u=(a,b)$ et $v=(c,d)$ dans une base orthonormée du plan ?

Réponse

$ad-bc$

52Question

Comment exprimer le rayon polaire ρ à partir de x et y ?

Réponse

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$

53Question

Comment s’écrit l’angle φ à partir de x, y et ρ ?

Réponse

$\phi=2\arctan\!\left(\frac{y}{x+\rho}\right)$

54Question

Pourquoi φ n’est-il pas défini à l’origine en coordonnées polaires ?

Réponse

À l’origine, la coordonnée polaire φ n’est pas définie.

55Question

Quelle est la dérivée de $e_\rho$ par rapport à φ ?

Réponse

$\frac{de_\rho}{d\phi}=e_\phi$

56Question

À quelle dérivée s’exprime le terme angulaire de l’accélération polaire ?

Réponse

$\frac{1}{\rho}\frac{d}{dt}(\rho^2\dot\phi)$

57Question

Quelle est l’accélération normale d’un mouvement circulaire uniforme ?

Réponse

$a_N=-\frac{v^2}{R}$

58Question

Quels mouvements les coordonnées cylindriques $(\rho,\phi,z)$ décrivent-elles notamment ?

Réponse

Les phénomènes à symétrie cylindrique et les mouvements hélicoïdaux.

59Question

Quelle est l’expression du vecteur position en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$\overrightarrow{OM}=\rho\mathbf e_\rho+z\mathbf e_z$

60Question

Quelle est la formule de l’accélération sphérique ?

Réponse

$\mathbf a=(\ddot r-r\dot\theta^2-r\sin^2\theta\dot\phi^2)\mathbf e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta-r\sin\theta\cos\theta\dot\phi^2)\mathbf e_\theta+(2\sin\theta\dot r\dot\phi+2r\cos\theta\dot\theta\dot\phi+r\sin\theta\ddot\phi)\mathbf e_\phi$

61Question

Comment se réécrit le terme azimutal de l’accélération sphérique ?

Réponse

$2\sin\theta\dot r\dot\phi+2r\cos\theta\dot\theta\dot\phi+r\sin\theta\ddot\phi=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{d}{dt}(r^2\sin^2\theta\dot\phi)$

62Question

Quels sont les facteurs géométriques en coordonnées sphériques ?

Réponse

$(1,r,r\sin\theta)$

63Question

Sur un cercle centré en $O$ , quelle intégrale la forme $\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$ possède-t-elle ?

Réponse

$2\pi$ .

64Question

Quelle formule donne le gradient en coordonnées curvilignes orthonormées tridimensionnelles ?

Réponse

$\operatorname{grad}f=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{G_i}\frac{\partial F}{\partial x_i}\mathbf e_i$ .

65Question

Quelle formule donne le gradient en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$\operatorname{grad}f=\frac{\partial F}{\partial\rho}\mathbf e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial\phi}\mathbf e_\phi+\frac{\partial F}{\partial z}\mathbf e_z$ .

66Question

Quelle formule donne le gradient en coordonnées sphériques ?

Réponse

$\operatorname{grad}f=\frac{\partial F}{\partial r}\mathbf e_r+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial\theta}\mathbf e_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F}{\partial\phi}\mathbf e_\phi$ .

67Question

Comment s’écrit la condition locale d’exactitude de $\omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ dans l’espace ?

Réponse

$\operatorname{rot}\mathbf A=0$ , où $\mathbf A=P\mathbf e_x+Q\mathbf e_y+R\mathbf e_z$ .

68Question

Quelle propriété possède le bord des domaines considérés ?

Réponse

Il est négligeable.

69Question

Que représente l’intégrale de la fonction constante 1 sur un domaine D ?

Réponse

L’aire de D.

70Question

Quelle formule intègre sur un domaine décrit par $c\le y\le d$ et $X_g(y)\le x\le X_d(y)$ ?

Réponse

$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\int_c^d\left[\int_{X_g(y)}^{X_d(y)}f(x,y)\,dx\right]dy$

71Question

Quelle valeur donne l’intégration selon $x$ sur le carré unité pour $\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ?

Réponse

$\frac{\pi}{4}$

72Question

Que représente l’intégrale triple de $1$ sur un domaine spatial borné ?

Réponse

Le volume du domaine.

73Question

Que peut-on obtenir en éliminant les paramètres d’une paramétrisation de surface ?

Réponse

Une équation cartésienne.

74Question

Vers où est orienté l’élément de surface d’une surface fermée ?

Réponse

Vers l’extérieur.

75Question

Quels sont les éléments orientés des plans de coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$dS_x=dy\,dz\,e_x$ , $dS_y=dz\,dx\,e_y$ et $dS_z=dx\,dy\,e_z$ .

76Question

Quels sont les éléments de surface orientés en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$dS_\rho=\rho\,d\phi\,dz\,e_\rho$ , $dS_\phi=dz\,d\rho\,e_\phi$ et $dS_z=\rho\,d\rho\,d\phi\,e_z$ .

77Question

Quel est le déterminant jacobien du changement cylindrique-sphérique défini par $z=r\cos\theta$ et $\rho=r\sin\theta$ ?

Réponse

$r$ .

78Question

Qu’est-ce qui détermine le signe de l’élément de surface dans un changement de variables ?

Réponse

L’ordre des différentielles.

79Question

Comment retrouve-t-on un élément de surface à partir du déplacement élémentaire $dl$ ?

Réponse

En calculant le produit vectoriel de deux termes de $dl$ .

80Question

Que représente $\rho V\cdot dS\,dt$ pour un fluide traversant un élément de surface ?

Réponse

La masse traversant l’élément de surface pendant le temps $dt$ .

81Question

Comment obtient-on le vecteur normal $dn$ à une courbe plane orientée à partir de $dl$ ?

Réponse

En tournant $dl$ de $-\pi/2$ .

82Question

Que caractérise la divergence d’un champ au voisinage d’un point ?

Réponse

Son caractère divergent ou convergent.

83Question

Quelle est la formule de la divergence en coordonnées curvilignes orthonormales de facteurs d’échelle $G_1,G_2,G_3$ ?

Réponse

$\operatorname{div}V=\frac{1}{G_1G_2G_3}\left[\partial_{x_1}(G_2G_3V_1)+\partial_{x_2}(G_3G_1V_2)+\partial_{x_3}(G_1G_2V_3)\right]$

84Question

Quelle est la formule de la divergence en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$\operatorname{div}V=\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho(\rho V_\rho)+\partial_\phi V_\phi\right]+\partial_zV_z$

85Question

Que caractérise le rotationnel d’un champ autour d’un point ?

Réponse

La façon dont le champ s’enroule autour du point.

86Question

Quelle formule donne la composante $R_1$ du rotationnel en coordonnées curvilignes orthonormales ?

Réponse

$R_1=\frac{\partial_{x_2}(G_3V_3)-\partial_{x_3}(G_2V_2)}{G_2G_3}$

87Question

Quelle formule donne la composante $R_2$ du rotationnel en coordonnées curvilignes orthonormales ?

Réponse

$R_2=\frac{\partial_{x_3}(G_1V_1)-\partial_{x_1}(G_3V_3)}{G_3G_1}$

88Question

Quelle formule donne la composante $R_3$ du rotationnel en coordonnées curvilignes orthonormales ?

Réponse

$R_3=\frac{\partial_{x_1}(G_2V_2)-\partial_{x_2}(G_1V_1)}{G_1G_2}$

89Question

Comment la notation nabla exprime-t-elle le gradient en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\operatorname{grad}f=\nabla f$

90Question

Quelle est l’expression du laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles ?

Réponse

$\Delta f=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f+\partial_{zz}f$

91Question

Quelle propriété d’unicité possède le problème de Dirichlet $\Delta f=g$ sur un domaine borné ?

Réponse

Il admet une unique solution si la condition de bord $f=h$ est continue.

92Question

Comment définit-on le laplacien vectoriel d’un champ $A$ ?

Réponse

$\vec{\Delta}A=\operatorname{grad}(\operatorname{div}A)-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}A)$

93Question

Comment s’exprime le laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\vec{\Delta}A=\Delta A_xe_x+\Delta A_ye_y+\Delta A_ze_z$

94Question

Quelle relation lie un champ électrique $E$ à son potentiel scalaire $V$ selon la convention du cours ?

Réponse

$E=-\operatorname{grad}V$

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1. Comment repère-t-on un point de l’espace dans un système cartésien orthogonal ?

2. Si l’on connaît les vecteurs allant de A à B et de B à C, quel vecteur leur somme donne-t-elle selon la relation de Chasles ?

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