Fiche de révision : Calcul différentiel et intégrales

📋 Plan du Cours

1. Repérage et géométrie vectorielle
2. Coordonnées polaires planes
3. Coordonnées polaires et cylindriques
4. Champs, intégrales curvilignes et gradient
5. Formes exactes et intégrales doubles
6. Aire et intégrabilité des domaines
7. Calcul des intégrales multiples
8. Surfaces et éléments de surface
9. Éléments de surface et flux
10. Divergence et théorèmes de Green
11. Rotationnel et théorèmes de Stokes
12. Opérateurs et potentiels
13. Intégrales premières et trajectoires
14. Résolution des EDP du premier ordre
15. Équations générales et principe d’Huyghens
16. Surfaces et points critiques
17. Fonctions implicites et extrema contraints
18. Opérateurs vectoriels et théorème de Stokes

📖 1. Repérage et géométrie vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : La relation de Chasles exprime que, pour trois points A, B et C, le vecteur AB plus le vecteur BC est égal au vecteur AC.
• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre $u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos(\widehat{u,v})$ ; dans une base orthonormée du plan, il vaut $u_1v_1+u_2v_2$.
• Produit vectoriel : Le produit vectoriel u ∧ v est le vecteur perpendiculaire à u et v, orienté pour que le trièdre (u,v,u ∧ v) soit direct, et dont la norme égale l’aire du parallélogramme construit sur u et v.

★ À maîtriser

• Un point du plan est repéré par deux coordonnées cartésiennes dans un réseau de droites orthogonales ; un point de l’espace est repéré par trois coordonnées à l’intersection de trois plans orthogonaux.

• Dans le plan, la norme d’un vecteur de coordonnées (u₁,u₂) vaut $\sqrt{u_1^2+u_2^2}$, et la distance entre deux points est la norme de leur vecteur différence.

📌 Dans le plan, le déterminant de deux vecteurs représente l’aire algébrique du parallélogramme qu’ils définissent ; dans l’espace, le déterminant de trois vecteurs représente le volume algébrique du parallélépipède qu’ils définissent.

Compléments

• Les constructions à la règle et au compas permettent de tracer des perpendiculaires, de reporter des distances, de déterminer le milieu d’un segment et de partager un angle en deux.

📐 Formule - Dans une base orthonormée du plan, $\operatorname{Det}(u,v)=ad-bc$ pour $u=(a,b)$ et $v=(c,d)$.

📐 Formule - Le produit mixte vérifie $(u\wedge v)\cdot w=\operatorname{Det}(u,v,w)$.

📖 2. Coordonnées polaires planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Les coordonnées polaires planes d’un point M différent de l’origine sont son rayon ρ, positif, et l’angle φ de la demi-droite OM avec l’axe Ox.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes est donné par $x=\rho\cos\phi,\quad y=\rho\sin\phi$.

📐 Formule - La base polaire orthonormée directe est donnée par $e_\rho=\cos\phi\,e_x+\sin\phi\,e_y$ et $e_\phi=-\sin\phi\,e_x+\cos\phi\,e_y$, et le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=\rho e_\rho$.

📐 Formule - Pour un point mobile en coordonnées polaires, la vitesse vaut $v=\dot\rho e_\rho+\rho\dot\phi e_\phi$ et le déplacement élémentaire vaut $d\ell=d\rho e_\rho+\rho d\phi e_\phi$.

Compléments

📐 Formule - Pour un point différent de l’origine, $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ et l’angle φ peut s’écrire $\phi=2\arctan\!\left(\frac{y}{x+\rho}\right)$.

• À l’origine, la coordonnée polaire φ n’est pas définie, de sorte que le changement de coordonnées polaires n’est pas bijectif sur tout le plan.

📐 Formule - Les dérivées des vecteurs de base vérifient $\frac{de_\rho}{d\phi}=e_\phi$ et $\frac{de_\phi}{d\phi}=-e_\rho$.

📖 3. Coordonnées polaires et cylindriques

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées polaires planes, l’accélération vaut $\mathbf a=(\ddot\rho-\rho\dot\phi^2)\mathbf e_\rho+(2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi)\mathbf e_\phi$.

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon constant $R$, la vitesse vaut $\mathbf v=R\dot\phi\mathbf e_\phi$, l’accélération tangentielle vaut $a_T=R\ddot\phi$ et l’accélération normale vaut $a_N=-R\dot\phi^2=-\frac{v^2}{R}$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $x=\rho\cos\phi$ et $y=\rho\sin\phi$, tandis que $z$ est la coordonnée cartésienne usuelle.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\rho\dot\phi\mathbf e_\phi+\dot z\mathbf e_z$ et $d\mathbf l=d\rho\mathbf e_\rho+\rho d\phi\mathbf e_\phi+dz\mathbf e_z$.

Compléments

📐 Formule - Le terme angulaire de l’accélération polaire s’écrit $2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi=\frac{1}{\rho}\frac{d}{dt}(\rho^2\dot\phi)$.

• Dans un mouvement circulaire uniforme, $\dot\phi=\omega$ est constant, la vitesse vaut $\mathbf v=R\omega\mathbf e_\phi$, l’accélération tangentielle est nulle et l’accélération normale vaut $a_N=-v^2/R$.

• Les coordonnées cylindriques $(\rho,\phi,z)$ décrivent notamment les phénomènes à symétrie cylindrique et les mouvements hélicoïdaux.

• La base cylindrique $(\mathbf e_\rho,\mathbf e_\phi,\mathbf e_z)$ est orthonormée directe et le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=\rho\mathbf e_\rho+z\mathbf e_z$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $\mathbf a=(\ddot\rho-\rho\dot\phi^2)\mathbf e_\rho+(2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi)\mathbf e_\phi+\ddot z\mathbf e_z$.

📖 4. Champs, intégrales curvilignes et gradient

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de scalaires : Associe un nombre réel à chaque point d’un domaine de l’espace ou du plan.
• Champ de vecteurs : Associe un vecteur à chaque point d’un domaine de l’espace ou du plan.
• Circulation : La circulation d’un champ vectoriel $\mathbf A$ le long d’un chemin $C$ est l’intégrale curviligne $I=\int_C\mathbf A\cdot d\mathbf l$.
• Gradient : Le gradient d’un champ scalaire $f=F(x_1,x_2)$ est le champ vectoriel défini par $df=\operatorname{grad}f\cdot d\mathbf l$.
• Abscisse curviligne : Mesure la longueur parcourue le long d’une courbe depuis un point origine et ne dépend pas de la paramétrisation choisie.

★ À maîtriser

• Les coordonnées sphériques $(r,\theta,\phi)$ sont adaptées aux phénomènes à symétrie sphérique; elles vérifient $\rho=r\sin\theta$ et $z=r\cos\theta$, avec $\phi$ identique à l’angle cylindrique.

• La base sphérique $(\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\phi)$ est orthonormée directe et le vecteur position vaut $\overrightarrow{OM}=r\mathbf e_r$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, $\mathbf v=\dot r\mathbf e_r+r\dot\theta\mathbf e_\theta+r\sin\theta\dot\phi\mathbf e_\phi$ et $d\mathbf l=dr\mathbf e_r+r d\theta\mathbf e_\theta+r\sin\theta d\phi\mathbf e_\phi$.

📐 Formule - Le déplacement élémentaire s’écrit dans un système curviligne orthonormé $d\mathbf l=G_1dx_1\mathbf e_1+G_2dx_2\mathbf e_2+G_3dx_3\mathbf e_3$, où les $G_i$ sont les facteurs géométriques.

• Le gradient est perpendiculaire aux isolignes d’un champ scalaire et pointe dans le sens de sa croissance; sa norme traduit la variation de ce champ pour un déplacement de longueur fixée.

Compléments

📐 Formule - L’accélération sphérique vaut $\mathbf a=(\ddot r-r\dot\theta^2-r\sin^2\theta\dot\phi^2)\mathbf e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta-r\sin\theta\cos\theta\dot\phi^2)\mathbf e_\theta+(2\sin\theta\dot r\dot\phi+2r\cos\theta\dot\theta\dot\phi+r\sin\theta\ddot\phi)\mathbf e_\phi$.

📐 Formule - Le terme azimutal de l’accélération sphérique s’écrit $2\sin\theta\dot r\dot\phi+2r\cos\theta\dot\theta\dot\phi+r\sin\theta\ddot\phi=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{d}{dt}(r^2\sin^2\theta\dot\phi)$.

• Les facteurs géométriques $(G_1,G_2,G_3)$ valent $(1{,}1{,}1)$ en coordonnées cartésiennes, $(1,\rho,1)$ en coordonnées cylindriques et $(1,r,r\sin\theta)$ en coordonnées sphériques.

• La circulation le long d’un chemin est indépendante de sa paramétrisation croissante, mais inverser le sens de parcours change le signe de l’intégrale.

📐 Formule - Dans des coordonnées curvilignes orthonormées, $\operatorname{grad}f=\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{G_i}\frac{\partial F}{\partial x_i}\mathbf e_i$ en dimension deux; en cartésien, $\operatorname{grad}f=\frac{\partial F}{\partial x}\mathbf e_x+\frac{\partial F}{\partial y}\mathbf e_y$, et en polaire, $\operatorname{grad}f=\frac{\partial F}{\partial\rho}\mathbf e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial\phi}\mathbf e_\phi$.

📖 5. Formes exactes et intégrales doubles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction en escalier : Constante à l’intérieur de chacun des pavés d’une subdivision, sa valeur sur les bords pouvant être quelconque.

★ À maîtriser

• Une forme différentielle $\omega$ est exacte s’il existe une fonction $f$ telle que $df=\omega$; alors l’intégrale le long d’un chemin de A à B vaut $f(B)-f(A)$ et le potentiel associé est défini par $f=-V$.

• Sur un domaine ouvert et connexe par arcs, une forme différentielle est exacte si et seulement si son intégrale sur tout chemin fermé est nulle.

• Dans un domaine étoilé du plan, une forme $\omega=P\,dx+Q\,dy$ avec $P$ et $Q$ continûment différentiables est exacte si et seulement si $\partial_xQ=\partial_yP$.

📐 Formule - Pour une fonction en escalier de valeur constante $e_{i,j}$ sur chaque pavé de côtés $\delta x_i$ et $\delta y_j$, son intégrale sur le pavé total est $I=\sum_{i,j}e_{i,j}\,\delta x_i\delta y_j$.

• L’intégrale d’une fonction en escalier sur un pavé ne dépend pas de la subdivision choisie.

📐 Formule - Pour deux fonctions en escalier e et f et deux réels λ et μ, $\iint_P (\lambda e + \mu f)=\lambda\iint_P e+\mu\iint_P f$.

📌 Si e est positive sur P, alors son intégrale sur P est positive ou nulle ; si e ≤ f sur P, alors l’intégrale de e est inférieure ou égale à celle de f.

📐 Formule - Pour des pavés P₁,…,Pₙ disjoints ou bord à bord et une fonction en escalier e définie sur leur réunion Q, $\iint_Q e=\sum_{i=1}^{n}\iint_{P_i}e$.

Compléments

• Sur le plan privé de l’origine, la forme $\omega=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$ a une intégrale égale à $2\pi$ sur un cercle centré en O et n’est donc pas exacte.

📐 Formule - En trois dimensions, le gradient en coordonnées curvilignes orthonormées s’écrit $\operatorname{grad}f=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{G_i}\frac{\partial F}{\partial x_i}\mathbf e_i$.

📐 Formule - En cylindriques, $\operatorname{grad}f=\frac{\partial F}{\partial\rho}\mathbf e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial\phi}\mathbf e_\phi+\frac{\partial F}{\partial z}\mathbf e_z$.

📐 Formule - En sphériques, $\operatorname{grad}f=\frac{\partial F}{\partial r}\mathbf e_r+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial\theta}\mathbf e_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F}{\partial\phi}\mathbf e_\phi$.

📌 Dans l’espace, pour $\omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz$, la condition locale d’exactitude est $\partial_yR-\partial_zQ=0$, $\partial_zP-\partial_xR=0$ et $\partial_xQ-\partial_yP=0$; elle s’écrit $\operatorname{rot}\mathbf A=0$ pour $\mathbf A=P\mathbf e_x+Q\mathbf e_y+R\mathbf e_z$.

• La définition par additivité permet d’intégrer sur des domaines formés de pavés, y compris lorsque le domaine n’est pas connexe.

📖 6. Aire et intégrabilité des domaines

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure d’un pavé : La mesure d’un pavé défini par a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d vaut (b − a)(d − c).
• Mesure d’un domaine : La mesure ou l’aire d’un domaine pavable est l’intégrale sur ce domaine de sa fonction indicatrice, qui vaut 1 dans le domaine et 0 ailleurs.
• Domaine négligeable : Un ensemble est négligeable si, pour tout ε > 0, il peut être recouvert par un nombre fini de pavés dont la somme des aires est inférieure à ε.
• Fonction intégrable : Une fonction bornée f sur un pavé P est intégrable lorsque la borne supérieure des intégrales de ses fonctions en escalier minorantes égale la borne inférieure des intégrales de ses fonctions en escalier majorantes ; cette valeur commune est son intégrale.

★ À maîtriser

• Toute fonction bornée sur un pavé et continue sauf éventuellement sur un ensemble de mesure nulle est intégrable sur ce pavé.

• Pour définir l’intégrale d’une fonction bornée sur un domaine D, on la prolonge par 0 hors de D dans un pavé P contenant D, puis on intègre ce prolongement sur P.

Compléments

• Les bords des domaines considérés sont négligeables.

• Lorsque f est positive, l’intégrale de f sur D représente le volume situé sous la surface z = f(x,y) et au-dessus de D ; pour f = 1, elle donne l’aire de D.

📖 7. Calcul des intégrales multiples

★ À maîtriser

• Le théorème de Fubini ramène une intégrale double à deux intégrales simples en intégrant dans l’un ou l’autre ordre, avec des bornes adaptées au domaine.

📐 Formule - Lors d’un changement de variables inverse (x,y) = (X(α,β),Y(α,β)), $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_\Delta f(X(\alpha,\beta),Y(\alpha,\beta))\left|\det J(X,Y)\right|\,d\alpha\,d\beta$.

• En coordonnées polaires planes, l’élément d’aire dxdy devient ρ dρ dφ.

📌 Pour une intégrale généralisée, on vérifie d’abord l’intégrabilité de |f| ; si elle est difficile à calculer, on peut la majorer par une fonction intégrable g telle que g ≥ |f|.

• En coordonnées cylindriques, le jacobien du changement de variables pour une intégrale de volume vaut ρ, et en coordonnées sphériques il vaut r² sin θ.

Compléments

📐 Formule - Pour un domaine décrit par c ≤ y ≤ d et Xg(y) ≤ x ≤ Xd(y), $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\int_c^d\left[\int_{X_g(y)}^{X_d(y)}f(x,y)\,dx\right]dy$.

• Sur le carré unité, l’intégrale de (y² − x²)/(x² + y²)² donne π/4 en intégrant d’abord selon x et −π/4 en intégrant d’abord selon y ; l’intégrale de sa valeur absolue diverge.

• Les intégrales multiples se généralisent à Rⁿ en remplaçant les pavés rectangulaires par des parallélépipèdes ; les théorèmes de Fubini et de changement de variables restent valables.

• Une intégrale triple de la fonction 1 sur un domaine spatial borné donne son volume, et les intégrales triples servent notamment à calculer la masse et les éléments d’inertie d’un solide.

📖 8. Surfaces et éléments de surface

🔑 Notions clés & Définitions

• Paramétrisation d’une surface : Une surface est paramétrée par trois fonctions de deux paramètres u et v, définies sur un domaine borné de R² ; les fonctions de la paramétrisation sont supposées de classe C².

★ À maîtriser

• Les deux vecteurs tangents associés aux variations de u et de v sont supposés non nuls et non colinéaires ; ils définissent le plan tangent à la surface.

📐 Formule - L’élément de surface orienté est $dS=u\wedge v\,du\,dv$, où u et v sont les vecteurs tangents associés aux paramètres.

📐 Formule - L’aire d’une surface paramétrée sur le domaine D des paramètres est $A=\iint_D\|dS\|$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, l’élément de surface d’une sphère de rayon r est $dS_r=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,e_r$.

Compléments

• Une paramétrisation de surface n’est pas unique, et l’élimination des paramètres peut conduire à une équation cartésienne.

• Pour une surface fermée, dS est orienté vers l’extérieur ; pour une surface bordée par un contour, l’orientation de la surface et celle du contour forment un système direct.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, les éléments orientés des plans de coordonnées sont $dS_x=dy\,dz\,e_x$, $dS_y=dz\,dx\,e_y$ et $dS_z=dx\,dy\,e_z$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, les éléments de surface orientés sont $dS_\rho=\rho\,d\phi\,dz\,e_\rho$, $dS_\phi=dz\,d\rho\,e_\phi$ et $dS_z=\rho\,d\rho\,d\phi\,e_z$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, l’élément de surface d’un demi-cône d’angle θ est $dS_\theta=r\sin\theta\,d\phi\,dr\,e_\theta$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, l’élément de surface d’un demi-plan méridien est $dS_\phi=r\,dr\,d\theta\,e_\phi$.

📖 9. Éléments de surface et flux

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux d’un champ : Le flux d’un champ vectoriel V à travers une surface orientée S est l’intégrale de surface $\Phi=\iint_S V\cdot dS$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur une sphère de rayon R, $\|dS_{\mathrm{sph}}\|=R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ et l’aire totale vaut $A_{\mathrm{sph}}=4\pi R^2$.

Compléments

• Le changement de variables cylindriques-sphériques défini par z = r cos θ et ρ = r sin θ a pour déterminant jacobien r, et l’ordre des différentielles détermine le signe de l’élément de surface.

• Les éléments de surface peuvent être retrouvés en prenant le produit vectoriel de deux termes du déplacement élémentaire dl.

• Pour un fluide de masse volumique ρ et de vitesse V, ρV·dS dt représente la masse traversant l’élément de surface dS pendant le temps dt.

• Pour une courbe plane orientée C, le flux est $\Phi=\int_C V\cdot dn$, où dn est obtenu en tournant dl de −π/2 et peut être choisi vers l’extérieur pour une courbe fermée orientée dans le sens direct.

📖 10. Divergence et théorèmes de Green

🔑 Notions clés & Définitions

• Divergence plane : En coordonnées cartésiennes, la divergence d’un champ V=(Vx,Vy) est $\operatorname{div}V=\partial_xV_x+\partial_yV_y$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de Green relie le flux extérieur au bord d’un domaine plan à l’intégrale de la divergence : $\oint_{\partial D}V\cdot dn=\iint_D\operatorname{div}V\,dx\,dy$, avec ∂D orienté dans le sens trigonométrique direct.

📐 Formule - En coordonnées polaires planes, $\operatorname{div}V=\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho(\rho V_\rho)+\partial_\phi V_\phi\right]$.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, $\operatorname{div}V=\partial_xV_x+\partial_yV_y+\partial_zV_z$.

📐 Formule - Le théorème d’Ostrogradsky donne $\iint_{\partial D}V\cdot dS=\iiint_D\operatorname{div}V\,dx\,dy\,dz$, avec dS orienté vers l’extérieur.

Compléments

• La divergence caractérise l’aspect divergent ou convergent d’un champ au voisinage d’un point.

📐 Formule - Dans des coordonnées curvilignes orthonormales de facteurs d’échelle G₁, G₂, G₃, $\operatorname{div}V=\frac{1}{G_1G_2G_3}\left[\partial_{x_1}(G_2G_3V_1)+\partial_{x_2}(G_3G_1V_2)+\partial_{x_3}(G_1G_2V_3)\right]$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $\operatorname{div}V=\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho(\rho V_\rho)+\partial_\phi V_\phi\right]+\partial_zV_z$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, $\operatorname{div}V=\frac{1}{r^2\sin\theta}\left[\partial_r(r^2\sin\theta V_r)+\partial_\theta(r\sin\theta V_\theta)+\partial_\phi(rV_\phi)\right]$.

💡 Astuce mémo

La divergence locale s’intègre en flux sortant sur le bord.

📖 11. Rotationnel et théorèmes de Stokes

🔑 Notions clés & Définitions

• Rotationnel scalaire : En coordonnées cartésiennes planes, le rotationnel scalaire de V=(Vx,Vy) est $\operatorname{rot}V=\partial_xV_y-\partial_yV_x$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La seconde forme du théorème de Green relie la circulation au rotationnel scalaire : $\oint_{\partial D}V\cdot dl=\iint_D\operatorname{rot}V\,dx\,dy$.

📐 Formule - Le théorème de Stokes affirme que $\oint_CV\cdot dl=\iint_S\operatorname{rot}V\cdot dS$ lorsque l’orientation de S est compatible avec celle de son contour C.

Compléments

• Le rotationnel caractérise la façon dont un champ s’enroule autour d’un point.

📐 Formule - Dans des coordonnées curvilignes orthonormales, les composantes du rotationnel sont $R_1=\frac{\partial_{x_2}(G_3V_3)-\partial_{x_3}(G_2V_2)}{G_2G_3},\quad R_2=\frac{\partial_{x_3}(G_1V_1)-\partial_{x_1}(G_3V_3)}{G_3G_1},\quad R_3=\frac{\partial_{x_1}(G_2V_2)-\partial_{x_2}(G_1V_1)}{G_1G_2}$.

📖 12. Opérateurs et potentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Laplacien scalaire : Le laplacien scalaire d’un champ f est la divergence de son gradient, $\Delta f=\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)$.
• Laplacien vectoriel : Le laplacien vectoriel d’un champ A est défini par $\vec{\Delta}A=\operatorname{grad}(\operatorname{div}A)-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}A)$.

★ À maîtriser

• En coordonnées curvilignes, il faut dériver les vecteurs de base mobiles avant d’effectuer les produits scalaires ; effectuer le produit scalaire avant la dérivation peut faire omettre des termes, comme Vρ/ρ dans la divergence cylindrique.

• Sur un domaine étoilé, rot grad f=0 ; réciproquement, tout champ E de rotationnel nul est le gradient d’une fonction, déterminée à une constante additive près.

• Sur un domaine étoilé, div rot A=0 ; réciproquement, tout champ B de divergence nulle est le rotationnel d’un champ A, déterminé à l’ajout du gradient d’une fonction scalaire près.

Compléments

📐 Formule - La notation nabla permet d’écrire en coordonnées cartésiennes $\operatorname{grad}f=\nabla f,\quad \operatorname{div}V=\nabla\cdot V,\quad \operatorname{rot}V=\nabla\wedge V$.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, $\Delta f=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f+\partial_{zz}f$.

📌 Sur un domaine borné avec condition de Dirichlet f=h continue au bord, le problème $\Delta f=g$ admet une unique solution, et l’opérateur inverse du laplacien lisse les fonctions.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, $\vec{\Delta}A=\Delta A_xe_x+\Delta A_ye_y+\Delta A_ze_z$.

📌 En physique, si E dérive d’un potentiel scalaire V, la convention du cours est $E=-\operatorname{grad}V$.

• Les identités différentielles données sont grad(fg)=f grad g+g grad f, grad(f∘g)=g′[(grad f)∘g], div(fA)=f div A+A·grad f, rot(fA)=f rot A+grad f∧A et div(A∧B)=B·rot A−A·rot B.

💡 Astuce mémo

Potentiel scalaire : gradient ; potentiel vecteur : rotationnel.

📖 13. Intégrales premières et trajectoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système différentiel autonome : Un système différentiel autonome du premier ordre s’écrit $x_i'(s)=V_i(x_1(s),\ldots,x_n(s))$ pour $i=1,\ldots,n$, où les fonctions inconnues dépendent de s et où le champ de vecteurs V ne dépend que des variables d’état.
• Intégrale première : Une intégrale première d’un système différentiel est une fonction F des variables d’état qui reste constante le long de toute solution du système.
• Courbe solution : Une solution d’un système autonome décrit une courbe dans $\mathbb{R}^n$ dont le vecteur tangent, formé par les dérivées des coordonnées, est égal au champ de vecteurs en chaque point.

★ À maîtriser

• Si les fonctions du champ de vecteurs sont continûment différentiables au voisinage de la donnée initiale, le système autonome admet une unique solution vérifiant cette donnée, définie sur un intervalle contenant le point initial.

📐 Formule - Toute intégrale première F d’un système de champ V vérifie l’équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre $V_1\partial_1F+\cdots+V_n\partial_nF=0$.

Compléments

• Une condition initiale donnée en s=s₀≠0 peut être ramenée à s=0 par translation de l’axe du paramètre s.

• Pour le système du pendule $x_1'=-\omega^2\sin x_2$ et $x_2'=x_1$, la fonction $F(x_1,x_2)=\frac12x_1^2-\omega^2\cos x_2$ est constante le long des solutions.

• Pour un système à n équations possédant n−1 intégrales premières indépendantes, leurs niveaux définissent n−1 surfaces dont l’intersection est une courbe dans $\mathbb{R}^n$, sans déterminer la dépendance des coordonnées au paramètre s.

• Dans le plan, une intégrale première F fournit des trajectoires de la forme $F(x_1,x_2)=C$, et changer la constante C change de trajectoire sans fournir le paramétrage en s.

• Pour un système plan, la forme différentielle $\omega=V_2\,dx_1-V_1\,dx_2$ est exacte lorsque $\partial_1V_1+\partial_2V_2=0$; un potentiel F tel que $dF=\omega$ est alors constant sur les solutions.

💡 Astuce mémo

Imaginez les trajectoires du champ de vecteurs : elles lui restent tangentes en chaque point.

📖 14. Résolution des EDP du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Système caractéristique : Le système caractéristique de $V_1\partial_1f+V_2\partial_2f=G$ est $x_1'=V_1(x_1,x_2,f),\ x_2'=V_2(x_1,x_2,f),\ f'=G(x_1,x_2,f)$, avec les valeurs initiales prescrites sur la courbe de départ.

★ À maîtriser

📌 L’équation $V_1\partial_1f+V_2\partial_2f=G$ est linéaire lorsque V₁, V₂ et G sont indépendants de f; lorsque G=0, les courbes de niveau de f sont tangentes au champ V.

📌 Pour construire localement une solution à partir d’une courbe de données initiales, le champ V doit être non nul et transverse à cette courbe, c’est-à-dire non tangent en chacun de ses points.

Compléments

• Sous la condition de transversalité, les solutions du système caractéristique permettent localement d’éliminer les paramètres et de construire une solution unique de l’EDP au voisinage de la courbe initiale.

• Pour $\partial_1f+\partial_2f=1$ avec $f(v,-v)=1/(1+v^2)$, les caractéristiques donnent $f(x_1,x_2)=\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{4}{4+(x_1-x_2)^2}$.

• Pour $\partial_1f+f\partial_2f=0$ avec $f(0,v)=g(v)$, les caractéristiques vérifient $x_1=s,\ x_2=g(v)s+v,\ f=g(v)$; si $g(v)=v$, alors $f(x_1,x_2)=x_2/(1+x_1)$ pour $x_1\ne-1$.

💡 Astuce mémo

Donnée initiale transverse → système caractéristique → élimination des paramètres.

📖 15. Équations générales et principe d’Huyghens

🔑 Notions clés & Définitions

• Système caractéristique général : Pour $F(x_1,x_2,f,p,q)=0$, le système caractéristique est $x_1'=\partial_pF,\ x_2'=\partial_qF,\ p'=-(\partial_1F+p\partial_fF),\ q'=-(\partial_2F+q\partial_fF),\ f'=p\partial_pF+q\partial_qF$.
• Matrice Hessienne : La matrice Hessienne de f regroupe ses dérivées partielles secondes, avec pour coefficients ∂²ᵢⱼf = ∂ₓᵢ(∂ₓⱼf).
• Petit o : Le terme o(‖u‖²) est une fonction de la forme ‖u‖²ε(u), où ε(u) tend vers 0 lorsque ‖u‖ tend vers 0.

★ À maîtriser

• Pour l’équation générale $F(x_1,x_2,f,p,q)=0$, on détermine d’abord p et q initiaux par l’équation de l’EDP et la relation $\Phi'=pX_1'+qX_2'$, puis on résout le système caractéristique et on élimine les paramètres pour obtenir la solution locale.

• La méthode caractéristique construit des solutions localement, mais l’existence d’une solution globale dépend du problème et peut échouer lorsque plusieurs caractéristiques attribuent des valeurs différentes à un même point.

📌 La matrice Hessienne est symétrique lorsque les dérivées partielles secondes de f existent et sont continues.

📐 Formule - Pour f deux fois continûment différentiable au voisinage de a, $f(a+u)=f(a)+\sum_{i=1}^{n}u_i\partial_{x_i}f(a)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}u_i u_j\partial^2_{i,j}f(a)+o(\|u\|^2).$

Compléments

• Pour $p^2+q^2-1=0$ avec f constante sur une parabole initiale, la solution caractéristique donne f égale à sa valeur initiale augmentée de la distance au point de départ sur la parabole.

• Le principe d’Huyghens décrit les surfaces de niveau de la solution de $p^2+q^2+r^2=1$ comme les enveloppes de sphères centrées sur la surface où les données initiales sont prescrites.

• En dimension n, le système caractéristique général est $x_i'=\partial_{p_i}F,\ p_i'=-(\partial_{x_i}F+p_i\partial_fF),\ f'=\sum_i p_i\partial_{p_i}F$.

📖 16. Surfaces et points critiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Un point critique de f est un point où sa différentielle est nulle.
• Courbures principales : Les courbures principales au point critique d’une surface z=f(x,y) sont les valeurs propres de la Hessienne.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le plan tangent à z=f(x,y) au point M₀=(x₀,y₀) vérifie $z-f(M_0)=\partial_x f(M_0)(x-x_0)+\partial_y f(M_0)(y-y_0).$

• Au point critique, deux valeurs propres positives de la Hessienne indiquent un minimum, deux valeurs propres négatives un maximum, et des valeurs propres de signes contraires un point selle, aussi appelé col.

• Si f est continue bijective entre des voisinages et sa différentielle L au point a est bijective, alors la réciproque g=f⁻¹ est différentiable en b=f(a) et sa différentielle vaut L⁻¹.

• Si f est continûment différentiable dans un disque et si ‖dfₓ·k‖≤C pour tout x du disque et tout vecteur k de norme 1, alors ‖f(y)−f(x)‖≤C‖y−x‖ pour tous x et y du disque.

Compléments

📐 Formule - Pour une surface implicite f(x,y,z)=0, le plan tangent en (x₀,y₀,z₀) vérifie $(x-x_0)\partial_xf+(y-y_0)\partial_yf+(z-z_0)\partial_zf=0,$ les dérivées étant évaluées en (x₀,y₀,z₀).

• Pour une surface paramétrée (X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)), un plan tangent au paramètre (u₀,v₀) est engendré par les dérivées selon u et v, avec pour point de base (X(u₀,v₀),Y(u₀,v₀),Z(u₀,v₀)).

• La courbure totale, ou courbure de Gauss, est le déterminant de la Hessienne et la courbure moyenne en est la trace.

📌 La matrice de la différentielle L est inversible si son déterminant, appelé jacobienne dans le cours, est non nul.

💡 Astuce mémo

Minimum et maximum ont des valeurs propres de même signe ; le point selle les oppose.

📖 17. Fonctions implicites et extrema contraints

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme différentielle : Une forme différentielle sur un ouvert de ℝⁿ s’écrit ω=∑ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ(x₁,…,xₙ)dxᵢ.
• 1-forme : Une 1-forme dans ℝ³ s’écrit ω=P₁(x₁,x₂,x₃)dx₁+P₂(x₁,x₂,x₃)dx₂+P₃(x₁,x₂,x₃)dx₃.
• 3-forme : Une 3-forme dans ℝ³ s’écrit P(x₁,x₂,x₃)dx₁∧dx₂∧dx₃ et s’intègre sur des volumes.

★ À maîtriser

• Si f est continûment différentiable, f(a)=0 et ∂ₓₙf(a)≠0, alors l’équation f(x₁,…,xₙ)=0 définit localement xₙ=φ(x₁,…,xₙ₋₁), avec $\frac{\partial\phi}{\partial x_i}=-\frac{\partial f/\partial x_i}{\partial f/\partial x_n},$ les dérivées de f étant évaluées en (x₁,…,xₙ₋₁,φ(x₁,…,xₙ₋₁)).

• Pour une fonction différentiable, l’existence d’un extremum implique que sa différentielle est nulle, mais cette condition n’est pas suffisante.

• Si f et g sont continûment différentiables, si f restreinte à A={x:g(x)=0} a un extremum en a et si dgₐ≠0, alors il existe λ réel tel que dfₐ=λdgₐ.

• Avec p contraintes gᵢ(x)=0 dont les différentielles d gᵢₐ sont indépendantes, un extremum de f sur leur ensemble commun implique $df_a=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i\,dg_{i,a},$ où les λᵢ sont les multiplicateurs de Lagrange.

• Sur un ouvert étoilé de ℝⁿ, une forme ω=∑ᵢ₌₁ⁿAᵢdxᵢ à coefficients continûment différentiables est la différentielle d’une fonction si et seulement si ∂ⱼAᵢ=∂ᵢAⱼ pour les n(n−1)/2 paires d’indices distincts.

• La dérivée extérieure est linéaire, augmente le degré d’une forme de un et vérifie d(dω)=0.

Compléments

• Pour chercher les points les plus éloignés de l’origine sur l’intersection d’une quadrique et d’un plan dans ℝ³, le cours maximise f(x)=x₁²+x₂²+x₃² sous ces deux contraintes et obtient 2xᵢ=λbᵢ+2μ∑ⱼaᵢⱼxⱼ.

📌 Le produit extérieur est anticommutatif, ω₁∧ω₂=−ω₂∧ω₁, et distributif par rapport à l’addition et à la multiplication par une fonction.

• Les 2-formes s’intègrent sur des surfaces et représentent notamment les flux à travers celles-ci.

• Pour une fonction f, sa dérivée extérieure est df=∑ᵢ₌₁³(∂f/∂xᵢ)dxᵢ.

📖 18. Opérateurs vectoriels et théorème de Stokes

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Le gradient de f est le champ de vecteurs défini par df=grad f·dl.
• Rotationnel : Le rotationnel de A est défini par d(A·dl)=rot A·dS.
• Divergence : La divergence de A est définie par d(A·dS)=div A dx₁∧dx₂∧dx₃.

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule de Stokes généralisée s’écrit $\int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega,$ où ∂D est le bord du domaine D.

Compléments

📐 Formule - La circulation d’un gradient le long d’une courbe de A à B vaut $\int_C \operatorname{grad}f\cdot dl=f(B)-f(A).$

📐 Formule - Le théorème de Stokes sur une surface orientée donne $\iint_S\operatorname{rot}A\cdot dS=\oint_C A\cdot dl,$ où C est le bord orienté de S.

📐 Formule - Le théorème d’Ostrogradsky donne $\iiint_V\operatorname{div}A\,dV=\iint_S A\cdot dS,$ où S est la frontière orientée vers l’extérieur de V.

📐 Formule - Pour tout champ A et toute fonction f, $\operatorname{div}(\operatorname{rot}A)=0$ et $\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=0.$