Fiche de révision : Polynômes du second degré et dérivation

📋 Plan du Cours

1. Somme et produit des racines
2. Forme canonique et discriminant
3. Résolution et factorisation quadratiques
4. Calcul algébrique et équations élémentaires
5. Taux de variation et nombre dérivé
6. Dérivées des fonctions usuelles
7. Tangente et approximation affine
8. Applications physiques et économiques

📖 1. Somme et produit des racines

📝 Points essentiels

• Pour une équation quadratique à deux racines réelles x₁ et x₂, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ lorsque $a\ne0$.

• Lorsque $a$ et $c$ sont de même signe, le produit des racines $\frac{c}{a}$ est positif ; les deux racines sont alors de même signe.

📖 2. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Tout trinôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ s’écrit sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont réels.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, la forme canonique est $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

Compléments

• Le trinôme $x^2+6x+5$ a pour forme canonique $(x+3)^2-4$.

• Le trinôme $2x^2-10x+12$ a pour forme canonique $2\left(x-\frac52\right)^2-\frac12$.

📖 3. Résolution et factorisation quadratiques

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, si $\Delta<0$ il n’existe aucune solution réelle, si $\Delta=0$ l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}$, et si $\Delta>0$ les deux solutions distinctes sont $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

📌 Un trinôme du second degré ne se factorise pas dans $\mathbb R$ et n’a pas de racine si $\Delta<0$ ; si $\Delta>0$, il s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$, il s’écrit $a(x-x_0)^2$.

Compléments

📌 La courbe représentative d’un trinôme du second degré coupe l’axe des abscisses en zéro, un ou deux points selon que son discriminant est négatif, nul ou positif.

• Le trinôme $6x^2-13x-5$ a pour racines $-\frac13$ et $\frac52$ et se factorise en $6\left(x+\frac13\right)\left(x-\frac52\right)$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine réelle ; Δ = 0 : racine double ; Δ > 0 : deux racines.

📖 4. Calcul algébrique et équations élémentaires

★ À maîtriser

📌 Pour tous réels $a$ et $b$, $ab=0$ équivaut à $a=0$ ou $b=0$.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• L’équation $(x+1)(2x-3)=0$ a pour solutions $-1$ et $\frac32$.

• L’équation $x^2=-9$ n’a pas de solution dans $\mathbb R$.

• Pour développer un produit de facteurs, on distribue chaque terme puis on réduit les termes semblables.

📖 5. Taux de variation et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$, pour $h\ne0$, est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers zéro, si cette limite réelle existe.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le coefficient directeur de la sécante à sa courbe passant par les points d’abscisses $a$ et $a+h$.

📖 6. Dérivées des fonctions usuelles

★ À maîtriser

• Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$, on a $f'(x)=m$ pour tout réel $x$.

• La dérivée de la fonction carré $f(x)=x^2$ est $f'(x)=2x$.

• La fonction inverse $f(x)=\frac1x$ est dérivable pour $x\ne0$ et sa dérivée est $f'(x)=-\frac1{x^2}$.

• La fonction racine carrée est dérivable pour $x>0$ et sa dérivée est $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$.

Compléments

• La dérivée de la fonction constante $f(x)=p$ est nulle, tandis que celle de la fonction identité $f(x)=x$ vaut 1.

📖 7. Tangente et approximation affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : Lorsque $f$ est dérivable en $a$, la tangente à sa courbe au point d’abscisse $a$ passe par $A(a;f(a))$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$.
• Fonction affine tangente : La fonction affine tangente de $f$ en $a$ est la fonction $x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)$ lorsque $f$ est dérivable en $a$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Pour $h$ suffisamment proche de zéro, l’approximation affine donne $f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h$.

Compléments

• Si $f'(a)=0$, la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ est horizontale, donc parallèle à l’axe des abscisses.

• L’approximation affine de $1{,}02^2$ à partir de la fonction carré et du point $a=1$ donne $1{,}02^2\simeq1{,}04$.

📖 8. Applications physiques et économiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coût marginal : Le coût marginal $C_m(x)$ est le coût de production d’une unité supplémentaire lorsque $x-1$ unités ont déjà été produites ; il est défini par $C_m(x)=C(x)-C(x-1)$.

★ À maîtriser

• Si $f(t)$ représente la distance parcourue en fonction du temps, le nombre dérivé $f'(t)$ représente la vitesse instantanée à l’instant $t$.

Compléments

• Pour la distance $d(t)=5t^2$ en mètres, la vitesse instantanée à $t=4$ secondes est $40\ \text{m/s}$.

• Pour une production élevée, le coût marginal peut être approché par le nombre dérivé du coût total, $C'(x)$.

• Dans l’exemple de production de granulés, le coût supplémentaire de la vingtième tonne est de 2 600 euros et $C'(20)=0{,}88$ dans les unités du coût exprimé en dizaines de milliers d’euros.