QCM : Polynômes du second degré et dérivation (21 questions)

Question 1

1. Une équation du second degré, avec $a\ne0$ , possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Quelle relation relie leur somme aux coefficients ?

x_1+x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

Explication

La somme des deux racines réelles vaut l’opposé du quotient du coefficient de $x$ par le coefficient de $x^2$ . Le quotient $\frac{c}{a}$ correspond au produit des racines, et non à leur somme.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

Question 2

2. Dans une équation quadratique à deux racines réelles, $a$ et $c$ sont de même signe. Que peut-on en déduire au sujet des racines ?

Elles sont de même signe, car leur produit

\frac{c}{a}

est positif.

Elles sont égales, car leur produit

\frac{c}{a}

est positif.

Elles sont de signes opposés, car leur somme

-\frac{b}{a}

est positive.

Elles sont de même signe, car leur somme

-\frac{b}{a}

est nulle.

Explication

Comme $a$ et $c$ ont le même signe, leur quotient $\frac{c}{a}$ est positif, donc les deux racines sont de même signe. Une somme positive ne découle pas de cette hypothèse et ne permettrait pas à elle seule de déterminer les signes des racines.

Answer

Elles sont de même signe, car leur produit $$\frac{c}{a}$$ est positif.

Question 3

3. Quelle propriété caractérise la forme canonique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

Il peut s’écrire

f(x)=(ax+b)^2+c

, avec

a

et

b

non nuls.

Il peut s’écrire

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

\alpha

et

\beta

réels.

Il peut s’écrire

f(x)=a(x+\alpha)^2+\beta

, avec

\alpha

égal au discriminant.

Il peut s’écrire

f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)

, avec

\alpha

et

\beta

réels.

Explication

La forme canonique isole un carré centré en $\alpha$ , multiplié par $a$ , auquel s’ajoute la constante réelle $\beta$ . L’écriture en deux facteurs linéaires correspond plutôt à une factorisation liée aux racines.

Answer

Il peut s’écrire $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$, avec $$\alpha$$ et $$\beta$$ réels.

Question 4

4. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ , quelle expression donne sa forme canonique en fonction du discriminant $\Delta$ ?

f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}

f(x)=a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}

f(x)=a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\frac{\Delta}{2a}

f(x)=a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{\Delta}{4a}

Explication

La forme canonique s’écrit avec le carré $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ et le terme constant $-\frac{\Delta}{4a}$ . Changer le signe devant $\frac{b}{2a}$ donne un sommet d’abscisse incorrecte.

Answer

$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$$

Question 5

5. Comment définit-on le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

\Delta=b^2-4ac

\Delta=b^2+4ac

\Delta=2b-4ac

\Delta=4ac-b^2

Explication

Le discriminant est calculé en soustrayant $4ac$ au carré du coefficient $b$ . L’expression $b^2+4ac$ change le signe du terme lié au produit des coefficients.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 6

6. Une équation quadratique a un discriminant nul. Quelle est sa solution réelle ?

Les deux solutions distinctes sont

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

.

L’unique solution est

x_0=-\frac{b}{2a}

.

Il n’existe aucune solution réelle, car le discriminant ne peut pas être extrait comme une racine carrée.

L’unique solution est

x_0=-\frac{c}{b}

.

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , l’équation admet une racine réelle unique, $-\frac{b}{2a}$ . Les deux formules avec les signes plus et moins donnent alors la même valeur, et non deux solutions distinctes.

Answer

L’unique solution est $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Question 7

7. Si le produit de deux nombres réels $a$ et $b$ est nul, que peut-on conclure ?

Au moins l’un des deux nombres est nul.

Les deux nombres sont opposés.

Les deux nombres sont nécessairement nuls.

Au moins l’un des deux nombres vaut un.

Explication

Un produit réel est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. La conclusion que les deux facteurs sont nuls est trop forte : un seul facteur nul suffit.

Answer

Au moins l’un des deux nombres est nul.

Question 8

8. Quelle expression est égale à $(a-b)^2$ ?

a^2-b^2

a^2-2b+b^2

a^2-2ab+b^2

a^2+2ab+b^2

Explication

Le carré d’une différence se développe en $a^2-2ab+b^2$ . L’expression $a^2+2ab+b^2$ correspond au carré d’une somme, car son terme croisé est positif.

Answer

$$a^2-2ab+b^2$$

Question 9

9. Pour $h\ne0$ , quelle expression définit le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ ?

\frac{f(a+h)}{f(a)}

\frac{f(a)-f(a+h)}{h}

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

\frac{f(a+h)-f(a)}{a}

Explication

Le taux de variation est la différence des valeurs de la fonction, dans l’ordre correspondant aux abscisses, divisée par l’écart $h$ . Inverser les valeurs au numérateur change le signe du taux.

Answer

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 10

10. Sur le graphique d’une fonction, à quoi correspond le taux de variation entre deux abscisses distinctes $a$ et $a+h$ ?

Au coefficient directeur de la sécante reliant les points de la courbe d’abscisses

a

et

a+h

.

À la distance entre les deux points de la courbe.

À l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse

a+h

.

Au coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse

a

.

Explication

Le taux de variation entre ces deux abscisses est le coefficient directeur de la sécante passant par les points correspondants de la courbe. Le coefficient directeur de la tangente en $a$ correspond plutôt au nombre dérivé lorsqu’il existe.

Answer

Au coefficient directeur de la sécante reliant les points de la courbe d’abscisses $$a$$ et $$a+h$$.

Question 11

11. Comment définit-on le nombre dérivé $f'(a)$ lorsque la limite considérée existe dans $\mathbb R$ ?

Comme le taux de variation entre

a

et

a+1

.

Comme la limite du taux de variation entre

a

et

a+h

lorsque

h

tend vers zéro.

Comme la limite de

f(a+h)

lorsque

h

tend vers zéro.

Comme la valeur

f(a)

lorsque

h

tend vers zéro.

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est la limite réelle du taux de variation lorsque l’accroissement $h$ tend vers zéro. Le taux calculé pour $h=1$ est une variation sur un intervalle donné, pas cette limite.

Answer

Comme la limite du taux de variation entre $$a$$ et $$a+h$$ lorsque $$h$$ tend vers zéro.

Question 12

12. Une fonction affine est donnée par $f(x)= -4x+7$ . Quelle est sa dérivée pour tout réel $x$ ?

f'(x)=-4x

f'(x)=3

f'(x)=7

f'(x)=-4

Explication

Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$ , la dérivée vaut le coefficient directeur $m$ , ici $-4$ . Le terme constant $7$ ne donne pas la dérivée de la fonction affine.

Answer

$$f'(x)=-4$$

Question 13

13. Quelle est la dérivée de la fonction carré $f(x)=x^2$ ?

f'(x)=x

f'(x)=2

f'(x)=x^2

f'(x)=2x

Explication

La dérivée de la fonction carré est $2x$ . La réponse constante $2$ confond cette dérivée avec un coefficient qui ne dépendrait pas de la variable.

Answer

$$f'(x)=2x$$

Question 14

14. Pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ , quelle affirmation décrit correctement sa dérivabilité et sa dérivée ?

Elle est dérivable en

0

et

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

.

Elle est dérivable pour

x\ne0

et

f'(x)=\frac{1}{x^2}

.

Elle est dérivable pour

x\ne0

et

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

.

Elle est dérivable pour

x>0

et

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

.

Explication

La fonction inverse est dérivable pour tout $x\ne0$ , avec une dérivée égale à $-\frac{1}{x^2}$ . L’expression positive $\frac{1}{x^2}$ a le mauvais signe pour cette dérivée.

Answer

Elle est dérivable pour $$x\ne0$$ et $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$.

Question 15

15. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de la fonction racine carrée ?

\frac{1}{\sqrt{x}}

\frac{1}{2\sqrt{x}}

2\sqrt{x}

\frac{1}{2x}

Explication

Pour $x>0$ , la dérivée de la fonction racine carrée est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . L’expression $2\sqrt{x}$ correspond à la dérivée de la fonction carré composée avec une racine, et non à celle de la racine carrée.

Answer

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Question 16

16. Si une fonction $f$ est dérivable en $a$ , quelles caractéristiques possède la tangente à sa courbe au point d’abscisse $a$ ?

Elle passe par

A(a;f(a))

et son coefficient directeur est

f'(a)

.

Elle passe par

A(a;f(a))

et son coefficient directeur est

f(a)

.

Elle passe par

A(a;f'(a))

et son coefficient directeur est

f(a)

.

Elle passe par

A(f(a);a)

et son coefficient directeur est

f'(a)

.

Explication

La tangente passe par le point de la courbe d’abscisse $a$ , soit $A(a;f(a))$ , et sa pente est donnée par $f'(a)$ . Confondre les valeurs de la fonction et de sa dérivée attribue à tort la pente à $f(a)$ .

Answer

Elle passe par $$A(a;f(a))$$ et son coefficient directeur est $$f'(a)$$.

Question 17

17. Quelle équation donne la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

y=f'(x)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

y=f'(a)(x+a)+f(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Explication

La tangente s’écrit avec la pente constante $f'(a)$ et passe par le point de coordonnées $(a;f(a))$ , d’où cette équation. Remplacer $f'(a)$ par $f'(x)$ fait varier la pente selon le point considéré et ne donne pas l’équation de cette tangente.

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 18

18. Pour estimer $f(a+h)$ lorsque $h$ est proche de zéro, quelle approximation affine peut-on utiliser ?

f(a+h)\simeq f'(a)+f(a)h

f(a+h)\simeq f(a)+f'(a+h)h

f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h^2

f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h

Explication

Près de $a$ , l’approximation affine utilise la valeur $f(a)$ et la variation linéaire $f'(a)h$ . Employer la dérivée en $a+h$ modifie le point où la pente est évaluée et ne correspond pas à cette approximation.

Answer

$$f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h$$

Question 19

19. Si $f(t)$ désigne la distance parcourue en fonction du temps, que représente $f'(t)$ à l’instant $t$ ?

La durée écoulée depuis le début du mouvement.

La distance totale parcourue jusqu’à cet instant.

La variation moyenne de distance sur toute la durée.

La vitesse instantanée à cet instant.

Explication

La dérivée de la distance par rapport au temps représente la vitesse instantanée à l’instant considéré. La distance totale est donnée par $f(t)$ , et non par sa dérivée.

Answer

La vitesse instantanée à cet instant.

Question 20

20. Après avoir produit $x-1$ unités, comment définit-on le coût marginal $C_m(x)$ associé à la production d’une unité supplémentaire ?

C_m(x)=C(x)-C(1)

C_m(x)=C(x-1)-C(x)

C_m(x)=C(x)-C(x-1)

C_m(x)=C(x)+C(x-1)

Explication

Le coût marginal est la différence entre le coût de production de $x$ unités et celui de $x-1$ unités. Additionner ces deux coûts ne mesure pas le coût de l’unité supplémentaire.

Answer

$$C_m(x)=C(x)-C(x-1)$$

Question 21

21. Un trinôme du second degré a un discriminant nul et une racine double $x_0$ . Quelle est sa forme factorisée ?

Il ne se factorise pas dans

\mathbb R

a(x-x_0)^2

a(x-x_1)(x-x_2)

avec deux racines distinctes

a(x+x_0)^2

Explication

Avec un discriminant nul, le trinôme possède une racine double et s’écrit comme un carré de facteur linéaire. La forme avec deux facteurs distincts correspond à un discriminant strictement positif.

Answer

$$a(x-x_0)^2$$

QCM : Polynômes du second degré et dérivation (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une équation du second degré, avec $a\ne0$ , possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Quelle relation relie leur somme aux coefficients ?

2. Dans une équation quadratique à deux racines réelles, $a$ et $c$ sont de même signe. Que peut-on en déduire au sujet des racines ?

3. Quelle propriété caractérise la forme canonique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

4. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ , quelle expression donne sa forme canonique en fonction du discriminant $\Delta$ ?

5. Comment définit-on le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

6. Une équation quadratique a un discriminant nul. Quelle est sa solution réelle ?

7. Si le produit de deux nombres réels $a$ et $b$ est nul, que peut-on conclure ?

8. Quelle expression est égale à $(a-b)^2$ ?

9. Pour $h\ne0$ , quelle expression définit le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ ?

10. Sur le graphique d’une fonction, à quoi correspond le taux de variation entre deux abscisses distinctes $a$ et $a+h$ ?

11. Comment définit-on le nombre dérivé $f'(a)$ lorsque la limite considérée existe dans $\mathbb R$ ?

12. Une fonction affine est donnée par $f(x)= -4x+7$ . Quelle est sa dérivée pour tout réel $x$ ?

13. Quelle est la dérivée de la fonction carré $f(x)=x^2$ ?

14. Pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ , quelle affirmation décrit correctement sa dérivabilité et sa dérivée ?

15. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de la fonction racine carrée ?

16. Si une fonction $f$ est dérivable en $a$ , quelles caractéristiques possède la tangente à sa courbe au point d’abscisse $a$ ?

17. Quelle équation donne la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

18. Pour estimer $f(a+h)$ lorsque $h$ est proche de zéro, quelle approximation affine peut-on utiliser ?

19. Si $f(t)$ désigne la distance parcourue en fonction du temps, que représente $f'(t)$ à l’instant $t$ ?

20. Après avoir produit $x-1$ unités, comment définit-on le coût marginal $C_m(x)$ associé à la production d’une unité supplémentaire ?

21. Un trinôme du second degré a un discriminant nul et une racine double $x_0$ . Quelle est sa forme factorisée ?

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QCM : Polynômes du second degré et dérivation (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une équation du second degré, avec a≠0a\ne0a=0, possède deux racines réelles x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle relation relie leur somme aux coefficients ?

2. Dans une équation quadratique à deux racines réelles, aaa et ccc sont de même signe. Que peut-on en déduire au sujet des racines ?

3. Quelle propriété caractérise la forme canonique d’un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0 ?

4. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, avec a≠0a\ne0a=0, quelle expression donne sa forme canonique en fonction du discriminant Δ\DeltaΔ ?

5. Comment définit-on le discriminant du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, avec a≠0a\ne0a=0 ?

6. Une équation quadratique a un discriminant nul. Quelle est sa solution réelle ?

7. Si le produit de deux nombres réels aaa et bbb est nul, que peut-on conclure ?

8. Quelle expression est égale à (a−b)2(a-b)^2(a−b)2 ?

9. Pour h≠0h\ne0h=0, quelle expression définit le taux de variation de fff entre aaa et a+ha+ha+h ?

10. Sur le graphique d’une fonction, à quoi correspond le taux de variation entre deux abscisses distinctes aaa et a+ha+ha+h ?

11. Comment définit-on le nombre dérivé f′(a)f'(a)f′(a) lorsque la limite considérée existe dans R\mathbb RR ?

12. Une fonction affine est donnée par f(x)=−4x+7f(x)= -4x+7f(x)=−4x+7. Quelle est sa dérivée pour tout réel xxx ?

13. Quelle est la dérivée de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 ?

14. Pour la fonction inverse f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​, quelle affirmation décrit correctement sa dérivabilité et sa dérivée ?

15. Pour x>0x>0x>0, quelle est la dérivée de la fonction racine carrée ?

16. Si une fonction fff est dérivable en aaa, quelles caractéristiques possède la tangente à sa courbe au point d’abscisse aaa ?

17. Quelle équation donne la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

18. Pour estimer f(a+h)f(a+h)f(a+h) lorsque hhh est proche de zéro, quelle approximation affine peut-on utiliser ?

19. Si f(t)f(t)f(t) désigne la distance parcourue en fonction du temps, que représente f′(t)f'(t)f′(t) à l’instant ttt ?

20. Après avoir produit x−1x-1x−1 unités, comment définit-on le coût marginal Cm(x)C_m(x)Cm​(x) associé à la production d’une unité supplémentaire ?

21. Un trinôme du second degré a un discriminant nul et une racine double x0x_0x0​. Quelle est sa forme factorisée ?

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1. Une équation du second degré, avec $a\ne0$ , possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Quelle relation relie leur somme aux coefficients ?

2. Dans une équation quadratique à deux racines réelles, $a$ et $c$ sont de même signe. Que peut-on en déduire au sujet des racines ?

3. Quelle propriété caractérise la forme canonique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

4. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ , quelle expression donne sa forme canonique en fonction du discriminant $\Delta$ ?

5. Comment définit-on le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

7. Si le produit de deux nombres réels $a$ et $b$ est nul, que peut-on conclure ?

8. Quelle expression est égale à $(a-b)^2$ ?

9. Pour $h\ne0$ , quelle expression définit le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ ?

10. Sur le graphique d’une fonction, à quoi correspond le taux de variation entre deux abscisses distinctes $a$ et $a+h$ ?

11. Comment définit-on le nombre dérivé $f'(a)$ lorsque la limite considérée existe dans $\mathbb R$ ?

12. Une fonction affine est donnée par $f(x)= -4x+7$ . Quelle est sa dérivée pour tout réel $x$ ?

13. Quelle est la dérivée de la fonction carré $f(x)=x^2$ ?

14. Pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ , quelle affirmation décrit correctement sa dérivabilité et sa dérivée ?

15. Pour $x>0$ , quelle est la dérivée de la fonction racine carrée ?

16. Si une fonction $f$ est dérivable en $a$ , quelles caractéristiques possède la tangente à sa courbe au point d’abscisse $a$ ?

17. Quelle équation donne la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

18. Pour estimer $f(a+h)$ lorsque $h$ est proche de zéro, quelle approximation affine peut-on utiliser ?

19. Si $f(t)$ désigne la distance parcourue en fonction du temps, que représente $f'(t)$ à l’instant $t$ ?

20. Après avoir produit $x-1$ unités, comment définit-on le coût marginal $C_m(x)$ associé à la production d’une unité supplémentaire ?

21. Un trinôme du second degré a un discriminant nul et une racine double $x_0$ . Quelle est sa forme factorisée ?