QCM : Calcul différentiel et intégrales (68 questions)

Question 1

1. Comment repère-t-on un point de l’espace dans un système cartésien orthogonal ?

Par trois coordonnées dans un réseau de droites parallèles

Par deux coordonnées et un angle dans un plan de référence

Par deux coordonnées à l’intersection de deux droites orthogonales

Par trois coordonnées à l’intersection de trois plans orthogonaux

Explication

Les trois coordonnées situent le point à l’intersection de trois plans orthogonaux. Deux coordonnées associées à des droites orthogonales décrivent plutôt un point du plan.

Answer

Par trois coordonnées à l’intersection de trois plans orthogonaux

Question 2

2. Si l’on connaît les vecteurs allant de A à B et de B à C, quel vecteur leur somme donne-t-elle selon la relation de Chasles ?

Le vecteur allant directement de A à C

Le vecteur allant directement de C à B

Le vecteur allant directement de A à B

Le vecteur allant directement de C à A

Explication

La relation de Chasles donne l’égalité $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Le vecteur allant de C à A a le sens opposé au résultat de cette somme.

Answer

Le vecteur allant directement de A à C

Question 3

3. Dans le plan, quelle expression donne la norme d’un vecteur de coordonnées $(u_1,u_2)$ ?

\sqrt{u_1+u_2}

\sqrt{u_1^2+u_2^2}

|u_1|+|u_2|

u_1^2+u_2^2

Explication

La norme est la racine carrée de la somme des carrés des deux coordonnées. La somme des valeurs absolues correspond à une autre mesure et ne donne pas, en général, la norme euclidienne.

Answer

$$\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Question 4

4. Deux vecteurs du plan sont orthogonaux : quelle conclusion peut-on tirer sur leur produit scalaire ?

Il est nul seulement si leur déterminant est également nul.

Il est égal au produit de leurs normes, qui est positif.

Il est nul, même si leur déterminant peut être non nul.

Il est égal à leur déterminant, qui est alors nul.

Explication

Le cosinus de l’angle entre deux vecteurs orthogonaux est nul, donc leur produit scalaire est nul. Leur déterminant peut toutefois être non nul, car il mesure une aire algébrique et non leur orthogonalité.

Answer

Il est nul, même si leur déterminant peut être non nul.

Question 5

5. Quelles données constituent les coordonnées polaires planes d’un point différent de l’origine ?

Deux distances signées mesurées parallèlement aux axes Ox et Oy

Un rayon positif et l’angle de la demi-droite issue de l’origine avec l’axe Ox

Une distance positive à l’axe Ox et un angle avec l’axe Oy

Un rayon signé et l’angle de la demi-droite issue de l’origine avec l’axe Oy

Explication

Les coordonnées polaires sont le rayon positif $\rho$ et l’angle $\phi$ de la demi-droite $OM$ avec l’axe $Ox$ . Deux distances signées parallèles aux axes sont des coordonnées cartésiennes.

Answer

Un rayon positif et l’angle de la demi-droite issue de l’origine avec l’axe Ox

Question 6

6. Un point a pour coordonnées polaires $\rho=4$ et $\phi=\frac{\pi}{3}$ ; quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

x=-2,\quad y=2\sqrt{3}

x=2,\quad y=-2\sqrt{3}

x=2,\quad y=2\sqrt{3}

x=2\sqrt{3},\quad y=2

Explication

Les relations $x=\rho\cos\phi$ et $y=\rho\sin\phi$ donnent $x=2$ et $y=2\sqrt{3}$ . Inverser sinus et cosinus donnerait les coordonnées de l’autre angle complémentaire.

Answer

$$x=2,\quad y=2\sqrt{3}$$

Question 7

7. En coordonnées polaires planes, comment s’écrit le vecteur position d’un point M dans la base polaire ?

\overrightarrow{OM}=\rho\mathbf e_\phi

\overrightarrow{OM}=\rho(\mathbf e_\rho+\mathbf e_\phi)

\overrightarrow{OM}=\phi\mathbf e_\rho

\overrightarrow{OM}=\rho\mathbf e_\rho

Explication

Le vecteur position est radial et s’écrit $\overrightarrow{OM}=\rho\mathbf e_\rho$ . Le vecteur $\mathbf e_\phi$ est tangent au cercle centré à l’origine et ne donne pas la direction de $OM$ .

Answer

$$\overrightarrow{OM}=\rho\mathbf e_\rho$$

Question 8

8. Pour un point mobile en coordonnées polaires, quelle expression donne sa vitesse ?

\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\rho\dot\phi\mathbf e_\phi

\mathbf v=\rho\dot\rho\mathbf e_\rho+\dot\phi\mathbf e_\phi

\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\phi+\rho\dot\phi\mathbf e_\rho

\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\dot\phi\mathbf e_\phi

Explication

La variation radiale contribue par $\dot\rho\mathbf e_\rho$ , tandis que la variation angulaire contribue par $\rho\dot\phi\mathbf e_\phi$ . L’expression sans facteur $\rho$ dans la composante tangentielle ne tient pas compte de la longueur parcourue pour une variation angulaire.

Answer

$$\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\rho\dot\phi\mathbf e_\phi$$

Question 9

9. En coordonnées polaires, quelle est la composante radiale de l’accélération d’un point mobile ?

\dot\rho\ddot\phi-\rho\dot\phi^2

\ddot\rho-\rho\dot\phi^2

2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi

\ddot\rho+\rho\dot\phi^2

Explication

La composante selon $\mathbf e_\rho$ est $\ddot\rho-\rho\dot\phi^2$ . Le terme $2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi$ appartient à la composante orthoradiale.

Answer

$$\ddot\rho-\rho\dot\phi^2$$

Question 10

10. Un point se déplace sur un cercle de rayon constant $R$ avec une vitesse angulaire $\dot\phi$ ; quelle est la composante normale de son accélération ?

a_N=R\ddot\phi

a_N=-R\dot\phi^2=-\frac{v^2}{R}

a_N=-\frac{\dot\phi^2}{R}

a_N=R\dot\phi^2=\frac{v^2}{R}

Explication

Pour un mouvement circulaire, l’accélération normale est dirigée vers le centre et vaut $-R\dot\phi^2=-v^2/R$ dans la convention indiquée. La quantité $R\ddot\phi$ correspond à l’accélération tangentielle.

Answer

$$a_N=-R\dot\phi^2=-\frac{v^2}{R}$$

Question 11

11. Dans un repérage cylindrique, comment obtient-on les coordonnées cartésiennes à partir de $\rho$ , $\phi$ et $z$ ?

x=\rho\cos\phi,\quad y=\rho\sin\phi

, et

z=\rho\sin\phi

x=\rho\sin\phi,\quad y=\rho\cos\phi

, et

z

reste la coordonnée cartésienne usuelle

x=\rho,\quad y=\phi

, et

z

reste la coordonnée cartésienne usuelle

x=\rho\cos\phi,\quad y=\rho\sin\phi

, et

z

reste la coordonnée cartésienne usuelle

Explication

Les coordonnées cylindriques utilisent les relations polaires dans le plan horizontal, avec $z$ comme coordonnée cartésienne usuelle. Échanger sinus et cosinus changerait l’angle associé aux coordonnées $x$ et $y$ .

Answer

$$x=\rho\cos\phi,\quad y=\rho\sin\phi$$, et $$z$$ reste la coordonnée cartésienne usuelle

Question 12

12. En coordonnées cylindriques, quelle expression décrit la vitesse lorsque les coordonnées $\rho$ , $\phi$ et $z$ varient avec le temps ?

\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\rho\dot\phi\mathbf e_\phi+\dot z\mathbf e_z

\mathbf v=\rho\dot\rho\mathbf e_\rho+\rho\dot\phi\mathbf e_\phi+\dot z\mathbf e_z

\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\dot\phi\mathbf e_\phi+\dot z\mathbf e_z

\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\phi+\rho\dot\phi\mathbf e_\rho+\dot z\mathbf e_z

Explication

La vitesse comporte une composante radiale, une composante angulaire pondérée par $\rho$ et une composante verticale. Omettre ce facteur dans la composante angulaire ne tient pas compte de la distance à l’axe lors d’une rotation.

Answer

$$\mathbf v=\dot\rho\mathbf e_\rho+\rho\dot\phi\mathbf e_\phi+\dot z\mathbf e_z$$

Question 13

13. Dans une situation à symétrie sphérique, quelles relations relient les coordonnées sphériques $(r,\theta,\phi)$ aux coordonnées cylindriques $(\rho,z,\phi)$ ?

\rho=r\sin\theta

et

z=r\cos\theta

, avec le même angle

\phi

\rho=r\cos\theta

et

z=r\sin\theta

, avec le même angle

\phi

\rho=r

et

z=r\cos\theta

, avec un angle

\phi

différent

\rho=r\sin\phi

et

z=r\cos\phi

, avec le même angle

\theta

Explication

Les coordonnées sphériques sont adaptées à la symétrie sphérique et donnent $\rho=r\sin\theta$ , $z=r\cos\theta$ ; leur angle $\phi$ est celui des coordonnées cylindriques. La permutation du sinus et du cosinus dans une autre relation ne respecte pas ces définitions.

Answer

$$\rho=r\sin\theta$$ et $$z=r\cos\theta$$, avec le même angle $$\phi$$

Question 14

14. Quelle expression donne le vecteur position d’un point $M$ en coordonnées sphériques ?

\overrightarrow{OM}=r\mathbf e_\theta

\overrightarrow{OM}=r\mathbf e_r

\overrightarrow{OM}=r\sin\theta\mathbf e_\phi

\overrightarrow{OM}=r(\mathbf e_r+\mathbf e_\theta)

Explication

Le vecteur position est radial et s’écrit $\overrightarrow{OM}=r\mathbf e_r$ . Le vecteur $\mathbf e_\theta$ indique une direction angulaire, et non la direction du point depuis l’origine.

Answer

$$\overrightarrow{OM}=r\mathbf e_r$$

Question 15

15. Un point se déplace en coordonnées sphériques avec $r$ et $\theta$ constants, tandis que $\phi$ varie. Quelle est alors l’expression de son déplacement infinitésimal ?

d\mathbf l=r\,d\theta\,\mathbf e_\theta

d\mathbf l=r\sin\theta\,d\phi\,\mathbf e_\phi

d\mathbf l=r\,d\phi\,\mathbf e_\phi

d\mathbf l=dr\,\mathbf e_r

Explication

Dans la direction de variation de $\phi$ , le déplacement sphérique comporte le facteur géométrique $r\sin\theta$ , d’où $d\mathbf l=r\sin\theta\,d\phi\,\mathbf e_\phi$ . L’expression sans $\sin\theta$ omet ce facteur et ne décrit pas la longueur d’arc correspondante.

Answer

$$d\mathbf l=r\sin\theta\,d\phi\,\mathbf e_\phi$$

Question 16

16. Dans un système curviligne orthonormé de coordonnées $x_1,x_2,x_3$ , comment s’écrit le déplacement élémentaire à l’aide des facteurs géométriques ?

d\mathbf l=dx_1\mathbf e_1+dx_2\mathbf e_2+dx_3\mathbf e_3

d\mathbf l=G_1G_2G_3(dx_1+dx_2+dx_3)

d\mathbf l=G_1dx_1\mathbf e_2+G_2dx_2\mathbf e_3+G_3dx_3\mathbf e_1

d\mathbf l=G_1dx_1\mathbf e_1+G_2dx_2\mathbf e_2+G_3dx_3\mathbf e_3

Explication

Chaque variation de coordonnée contribue dans la direction de son vecteur unitaire et est pondérée par le facteur géométrique correspondant. La somme sans facteurs géométriques ne tient pas compte du fait que les coordonnées curvilignes peuvent avoir des échelles différentes.

Answer

$$d\mathbf l=G_1dx_1\mathbf e_1+G_2dx_2\mathbf e_2+G_3dx_3\mathbf e_3$$

Question 17

17. Si une forme différentielle est exacte, comment calcule-t-on son intégrale le long d’un chemin allant de $A$ à $B$ ?

On compare les valeurs de la forme différentielle au milieu du chemin

On intègre la norme de

\omega

le long du chemin, indépendamment de ses extrémités

On calcule

f(A)-f(B)

pour une fonction

f

telle que

df=\omega

On calcule

f(B)-f(A)

pour une fonction

f

telle que

df=\omega

Explication

Pour une forme exacte, il existe un potentiel $f$ tel que $df=\omega$ , et l’intégrale entre les extrémités vaut $f(B)-f(A)$ . La différence prise dans l’ordre inverse donne le signe opposé et ne correspond pas à l’intégrale orientée de $A$ vers $B$ .

Answer

On calcule $$f(B)-f(A)$$ pour une fonction $$f$$ telle que $$df=\omega$$

Question 18

18. Sur un domaine ouvert et connexe par arcs, quelle condition caractérise l’exactitude d’une forme différentielle ?

Son intégrale est positive sur tout chemin fermé du domaine

Son intégrale est nulle sur tout chemin fermé du domaine

Son intégrale est nulle sur tout chemin reliant deux points distincts

Sa valeur est constante le long de chaque chemin ouvert du domaine

Explication

Dans un domaine ouvert et connexe par arcs, une forme est exacte si et seulement si son intégrale sur tout chemin fermé est nulle. Une intégrale nulle sur les chemins entre points distincts n’est pas le critère caractérisant l’exactitude.

Answer

Son intégrale est nulle sur tout chemin fermé du domaine

Question 19

19. Dans un domaine étoilé du plan, une forme $\omega=P\,dx+Q\,dy$ avec $P$ et $Q$ continûment différentiables satisfait quelle condition nécessaire et suffisante pour être exacte ?

\partial_xP=\partial_yQ

\partial_xQ=\partial_yP

P=Q

dans tout le domaine

\partial_xQ=-\partial_yP

Explication

Dans les conditions indiquées, l’exactitude équivaut à l’égalité des dérivées croisées $\partial_xQ=\partial_yP$ . L’égalité des dérivées de chaque coefficient par rapport à sa propre variable n’est pas le critère d’exactitude.

Answer

$$\partial_xQ=\partial_yP$$

Question 20

20. Une fonction en escalier vaut $e_{i,j}$ sur chaque pavé de côtés $\delta x_i$ et $\delta y_j$ . Quelle somme donne son intégrale sur le pavé total ?

I=\sum_{i,j}e_{i,j}(\delta x_i+\delta y_j)

I=\sum_{i,j}\frac{e_{i,j}}{\delta x_i\delta y_j}

I=\sum_{i,j}(\delta x_i+\delta y_j)

I=\sum_{i,j}e_{i,j}\,\delta x_i\delta y_j

Explication

Chaque contribution est la valeur constante de la fonction multipliée par l’aire du pavé correspondant, soit $e_{i,j}\,\delta x_i\delta y_j$ . La somme des longueurs des côtés ne représente pas l’aire des pavés et ne donne donc pas cette intégrale.

Answer

$$I=\sum_{i,j}e_{i,j}\,\delta x_i\delta y_j$$

Question 21

21. Quelle est la mesure du pavé défini par $a\le x\le b$ et $c\le y\le d$ ?

(b-a)(d-c)

(b-a)+(d-c)

(b-c)(d-a)

bd-ac

Explication

La mesure du pavé est le produit de sa largeur $b-a$ par sa hauteur $d-c$ . La somme de ces deux longueurs donne un périmètre partiel, pas une aire.

Answer

$$(b-a)(d-c)$$

Question 22

22. Quelle propriété définit un ensemble négligeable dans le plan ?

Pour tout

\varepsilon>0

, il admet un recouvrement fini par des pavés dont la somme des aires est inférieure à

\varepsilon

Il peut être recouvert par un pavé dont l’aire est égale à une constante positive fixée

Sa mesure est déterminée par le nombre de points qu’il contient

Il contient un pavé de mesure positive, quel que soit le choix de

\varepsilon

Explication

Un ensemble est négligeable si, pour toute aire positive prescrite $\varepsilon$ , on peut le recouvrir par un nombre fini de pavés d’aire totale inférieure à cette valeur. Un recouvrement d’aire positive fixée ne garantit pas que l’aire totale puisse être rendue arbitrairement petite.

Answer

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il admet un recouvrement fini par des pavés dont la somme des aires est inférieure à $$\varepsilon$$

Question 23

23. Une fonction bornée sur un pavé est continue sauf sur un ensemble de mesure nulle. Que peut-on conclure de son intégrabilité ?

Sa bornitude permet de conclure qu’elle n’est pas intégrable

Elle est intégrable uniquement si elle est constante sur chaque sous-pavé

Elle est intégrable sur ce pavé

Elle est intégrable uniquement si elle est continue sur tout le pavé

Explication

Toute fonction bornée sur un pavé et continue sauf éventuellement sur un ensemble de mesure nulle est intégrable sur ce pavé. La continuité en chaque point est une condition plus forte que celle requise ici.

Answer

Elle est intégrable sur ce pavé

Question 24

24. Pour définir l’intégrale d’une fonction bornée sur un domaine $D$ , quelle démarche utilise un pavé $P$ contenant $D$ ?

Prolonger la fonction par zéro hors de

D

, puis intégrer ce prolongement sur

P

Découper

D

en pavés, puis intégrer la fonction sans prolongement hors de

D

Remplacer la fonction par sa valeur maximale sur

D

, puis intégrer sur

P

Prolonger la fonction par une constante hors de

D

, puis intégrer sur

D

Explication

La fonction est prolongée par zéro à l’extérieur de $D$ dans le pavé contenant ce domaine, puis le prolongement est intégré sur $P$ . La prolonger par une constante modifierait les valeurs hors de $D$ et ne serait pas la démarche définie.

Answer

Prolonger la fonction par zéro hors de $$D$$, puis intégrer ce prolongement sur $$P$$

Question 25

25. Comment le théorème de Fubini permet-il de calculer une intégrale double sur un domaine adapté ?

Il la transforme en intégrale curviligne le long du contour du domaine.

Il la ramène à deux intégrales simples successives, dans l’un ou l’autre ordre, avec des bornes adaptées au domaine.

Il la remplace par une intégrale simple dont l’intégrande est évalué au centre du domaine.

Il impose d’intégrer d’abord selon la variable dont les bornes sont constantes.

Explication

Le théorème de Fubini exprime l’intégrale double comme deux intégrales simples successives et autorise le choix de l’ordre si les bornes décrivent correctement le domaine. L’ordre n’est pas imposé par la variable dont les bornes sont constantes.

Answer

Il la ramène à deux intégrales simples successives, dans l’un ou l’autre ordre, avec des bornes adaptées au domaine.

Question 26

26. Lors d’un changement de variables inverse dans une intégrale double, quel facteur accompagne l’intégrande transformé ?

Le carré du déterminant jacobien, sans tenir compte de son signe.

La valeur absolue du déterminant jacobien de la transformation.

La trace de la matrice jacobienne, prise en valeur absolue.

Le déterminant jacobien conservé avec son signe.

Explication

Le changement de variables multiplie l’intégrande par la valeur absolue du déterminant jacobien, qui mesure le facteur d’aire. Conserver le signe du déterminant pourrait attribuer un signe négatif à l’élément d’aire.

Answer

La valeur absolue du déterminant jacobien de la transformation.

Question 27

27. En coordonnées polaires planes, quel élément remplace $dx\,dy$ dans une intégrale double ?

\rho\,d\rho\,d\phi

\rho^2\,d\rho\,d\phi

d\rho\,d\phi

\sin\phi\,d\rho\,d\phi

Explication

Le jacobien des coordonnées polaires planes introduit le facteur $\rho$ , d’où l’élément d’aire $\rho\,d\rho\,d\phi$ . L’élément sans facteur correspondrait à omettre le jacobien.

Answer

$$\rho\,d\rho\,d\phi$$

Question 28

28. Pour établir la convergence d’une intégrale généralisée lorsque le calcul direct est difficile, quelle démarche est appropriée ?

Vérifier l’intégrabilité de

f

sans examiner sa valeur absolue ni son signe.

Remplacer

f

par une fonction minorante qui n’est pas nécessairement intégrable.

Calculer l’intégrale sur un domaine borné puis supposer que la convergence est préservée.

Vérifier l’intégrabilité de

|f|

, éventuellement en la majorant par une fonction intégrable.

Explication

La démarche consiste d’abord à vérifier l’intégrabilité de $|f|$ et, si cela est difficile, à la comparer à une fonction intégrable qui la majore. Une majoration par une fonction non intégrable ne fournit pas le critère de convergence requis.

Answer

Vérifier l’intégrabilité de $$|f|$$, éventuellement en la majorant par une fonction intégrable.

Question 29

29. Comment une surface est-elle paramétrée dans la description considérée ici ?

Par deux fonctions de trois paramètres, de classe

C^2

sur un domaine borné de

\mathbb{R}^3

.

Par trois fonctions de deux paramètres, de classe

C^2

sur un domaine borné de

\mathbb{R}^2

.

Par trois fonctions d’un seul paramètre, de classe

C^1

sur un intervalle borné.

Par une fonction de trois coordonnées, de classe

C^2

sur un domaine du plan.

Explication

Une paramétrisation de surface utilise deux paramètres et trois fonctions de classe $C^2$ définies sur un domaine borné du plan des paramètres. Une représentation par trois paramètres décrit une structure différente de celle d’une surface paramétrée ainsi.

Answer

Par trois fonctions de deux paramètres, de classe $$C^2$$ sur un domaine borné de $$\mathbb{R}^2$$.

Question 30

30. Quelle condition sur les deux vecteurs tangents permet de définir le plan tangent à une surface paramétrée ?

Ils sont orthogonaux et de même norme.

Ils sont non nuls et colinéaires.

Ils sont non nuls et non colinéaires.

Ils sont de normes différentes et pointent dans le même sens.

Explication

Les vecteurs tangents associés aux variations des deux paramètres doivent être non nuls et non colinéaires pour définir le plan tangent. Des vecteurs colinéaires ne fournissent pas deux directions indépendantes dans ce plan.

Answer

Ils sont non nuls et non colinéaires.

Question 31

31. Comment l’ordre des vecteurs tangents intervient-il dans l’élément de surface orienté d’une paramétrisation ?

La somme des vecteurs tangents fixe l’orientation, indépendamment de leur ordre.

Le produit scalaire des vecteurs tangents détermine le sens de l’élément de surface.

Le produit vectoriel dans l’ordre

v

puis

u

conserve la même orientation de

dS

.

Le produit vectoriel des vecteurs tangents dans l’ordre

u

puis

v

fixe l’orientation de

dS

.

Explication

L’élément orienté est donné par le produit vectoriel des vecteurs tangents dans l’ordre $u$ puis $v$ , multiplié par $du\,dv$ . Inverser cet ordre change le signe du produit vectoriel et donc l’orientation.

Answer

Le produit vectoriel des vecteurs tangents dans l’ordre $$u$$ puis $$v$$ fixe l’orientation de $$dS$$.

Question 32

32. Comment calcule-t-on l’aire d’une surface paramétrée sur un domaine $D$ de paramètres ?

En intégrant sur

D

la norme de l’élément de surface.

En calculant le produit scalaire des vecteurs tangents puis en l’intégrant sur

D

.

En intégrant sur le contour de la surface la norme de l’un des vecteurs tangents.

En intégrant sur

D

la composante signée de l’élément de surface selon un axe fixé.

Explication

L’aire est l’intégrale double de $\|dS\|$ sur le domaine des paramètres, ce qui additionne des contributions de surface non négatives. Une composante signée selon un axe mesure une projection orientée, pas l’aire totale.

Answer

En intégrant sur $$D$$ la norme de l’élément de surface.

Question 33

33. Quelle expression donne l’aire totale d’une sphère de rayon $R$ à partir de son élément de surface ?

\pi R^2

4\pi R^2

2\pi R^2

4\pi R

Explication

L’élément de surface d’une sphère de rayon $R$ a pour norme $R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ , dont l’intégration sur toute la sphère donne $4\pi R^2$ . L’expression $\pi R^2$ correspond à l’aire d’un disque de rayon $R$ , et non à celle de la sphère.

Answer

$$4\pi R^2$$

Question 34

34. Quelle intégrale définit le flux d’un champ vectoriel $V$ à travers une surface orientée $S$ ?

\Phi=\iint_S \|V\|\,\|dS\|

\Phi=\iint_S V\cdot dS

\Phi=\iint_S V\times dS

\Phi=\int_{\partial S} V\cdot dl

Explication

Le flux est l’intégrale de surface du produit scalaire entre le champ et l’élément de surface orienté. Intégrer le produit des normes ignorerait l’orientation relative du champ et de la surface.

Answer

$$\Phi=\iint_S V\cdot dS$$

Question 35

35. Pour un champ plan $V=(V_x,V_y)$ en coordonnées cartésiennes, quelle expression donne sa divergence ?

\partial_x V_y-\partial_y V_x

\partial_x V_x-\partial_y V_y

\partial_x V_x+\partial_y V_y

\partial_x V_y+\partial_y V_x

Explication

La divergence additionne la dérivée de chaque composante selon la coordonnée correspondante. La différence croisée décrit plutôt le rotationnel scalaire plan.

Answer

$$\partial_x V_x+\partial_y V_y$$

Question 36

36. Pour calculer le flux extérieur d’un champ à travers le bord d’un domaine plan à l’aide du théorème de Green, quelle intégrale faut-il évaluer ?

L’intégrale du rotationnel sur le domaine, avec le bord orienté dans le sens trigonométrique direct

L’intégrale de la divergence sur le bord, avec le bord orienté dans le sens trigonométrique direct

L’intégrale du champ sur le domaine, avec le bord orienté dans le sens horaire

L’intégrale de la divergence sur le domaine, avec le bord orienté dans le sens trigonométrique direct

Explication

Le théorème de Green pour le flux égalise le flux extérieur au bord et l’intégrale surfacique de la divergence, le bord étant orienté dans le sens trigonométrique direct. L’intégrale du rotationnel correspond à la relation de Green portant sur la circulation.

Answer

L’intégrale de la divergence sur le domaine, avec le bord orienté dans le sens trigonométrique direct

Question 37

37. En coordonnées polaires, quelle expression de la divergence inclut correctement la dépendance radiale et angulaire d’un champ plan ?

\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho(\rho V_\phi)+\partial_\phi V_\rho\right]

\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho V_\rho+\partial_\phi(\rho V_\phi)\right]

\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho(\rho V_\rho)+\partial_\phi V_\phi\right]

\partial_\rho(\rho V_\rho)+\frac{1}{\rho}\partial_\phi V_\phi

Explication

La formule polaire place le facteur radial dans la dérivée de la composante radiale, puis divise la somme par $\rho$ . Une confusion plausible consiste à appliquer ce facteur à la composante angulaire plutôt qu’à la composante radiale.

Answer

$$\frac{1}{\rho}\left[\partial_\rho(\rho V_\rho)+\partial_\phi V_\phi\right]$$

Question 38

38. Pour obtenir le flux d’un champ à travers une surface fermée en trois dimensions, comment le théorème d’Ostrogradsky permet-il de procéder ?

Intégrer le rotationnel sur le volume intérieur, avec la surface orientée vers l’extérieur

Intégrer la divergence sur le volume intérieur, avec la surface orientée vers l’extérieur

Intégrer le champ sur une courbe intérieure, avec la courbe orientée vers l’extérieur

Intégrer la divergence sur la surface, avec la normale orientée vers l’intérieur

Explication

Le théorème d’Ostrogradsky transforme le flux extérieur à travers la surface fermée en intégrale volumique de la divergence. L’intégrale du rotationnel n’est pas l’intégrale volumique qui donne ce flux.

Answer

Intégrer la divergence sur le volume intérieur, avec la surface orientée vers l’extérieur

Question 39

39. Pour un champ plan $V=(V_x,V_y)$ en coordonnées cartésiennes, quelle expression correspond à son rotationnel scalaire ?

\partial_x V_x+\partial_y V_y

\partial_x V_y-\partial_y V_x

\partial_x V_x-\partial_y V_y

\partial_x V_y+\partial_y V_x

Explication

Le rotationnel scalaire plan soustrait la dérivée de la composante horizontale selon $y$ à celle de la composante verticale selon $x$ . La somme des dérivées des composantes selon leurs propres coordonnées est la divergence.

Answer

$$\partial_x V_y-\partial_y V_x$$

Question 40

40. Pour relier la circulation d’un champ le long du bord d’un domaine plan à une intégrale sur ce domaine, quelle quantité faut-il intégrer ?

La norme du champ sur le bord

La divergence du champ sur le domaine

Le flux normal du champ sur le domaine

Le rotationnel scalaire du champ sur le domaine

Explication

La seconde forme du théorème de Green exprime la circulation au bord comme l’intégrale du rotationnel scalaire sur le domaine. La divergence intervient plutôt dans la formule de Green qui relie le flux extérieur au bord.

Answer

Le rotationnel scalaire du champ sur le domaine

Question 41

41. Pour appliquer le théorème de Stokes à une surface bordée par une courbe, quelle condition d’orientation doit être respectée ?

L’orientation de la surface doit être compatible avec celle de son contour

L’orientation de la surface doit être opposée à celle de son contour

Le contour doit être orienté dans le sens trigonométrique, quelle que soit la surface

La surface doit être orientée vers l’extérieur d’un volume fermé

Explication

Stokes relie la circulation le long du contour au flux du rotationnel à travers une surface dont l’orientation est compatible avec celle du contour. Une orientation opposée modifierait le signe dans cette relation.

Answer

L’orientation de la surface doit être compatible avec celle de son contour

Question 42

42. Lorsqu’on calcule un opérateur en coordonnées curvilignes, pourquoi faut-il tenir compte de la variation des vecteurs de base avant les produits scalaires ?

Parce que la variation de la base transforme toute divergence en rotationnel

Parce que dériver une base mobile après avoir pris les produits scalaires peut omettre des termes comme

V_\rho/\rho

Parce que les produits scalaires remplacent les dérivées partielles par des intégrales de contour

Parce que les vecteurs de base curvilignes sont constants et annulent les dérivées des composantes

Explication

Les vecteurs de base mobiles varient avec la position; en les ignorant dans le calcul, on peut perdre des termes tels que $V_\rho/\rho$ dans la divergence cylindrique. Les produits scalaires ne transforment pas les dérivées en intégrales de contour.

Answer

Parce que dériver une base mobile après avoir pris les produits scalaires peut omettre des termes comme $$V_\rho/\rho$$

Question 43

43. Comment définit-on le laplacien scalaire d’un champ $f$ à partir des opérateurs gradient et divergence ?

Comme la divergence du gradient de

f

Comme le rotationnel du gradient de

f

Comme le gradient de la divergence de

f

Comme la divergence du rotationnel de

f

Explication

Le laplacien scalaire est défini par $\Delta f=\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)$ . Le rotationnel du gradient est une autre combinaison d’opérateurs et ne définit pas le laplacien.

Answer

Comme la divergence du gradient de $$f$$

Question 44

44. Sur un domaine étoilé, un champ $E$ est de rotationnel nul : quelle conclusion peut-on tirer sur son potentiel ?

Il existe une fonction dont le gradient est

E

, déterminée à une constante additive près

Il existe une fonction dont le laplacien est

E

, déterminée à un facteur près

Il existe un champ dont la divergence est

E

, déterminé à un champ constant près

Il existe un potentiel vecteur dont le rotationnel est

E

, déterminé à un gradient près

Explication

Sur un domaine étoilé, tout champ de rotationnel nul est le gradient d’une fonction, et cette fonction est déterminée à une constante additive près. L’indétermination par ajout d’un gradient concerne le potentiel vecteur associé à un champ de divergence nulle.

Answer

Il existe une fonction dont le gradient est $$E$$, déterminée à une constante additive près

Question 45

45. Sur un domaine étoilé, un champ $B$ a une divergence nulle et s’écrit comme le rotationnel d’un potentiel vecteur $A$ : quelle affirmation décrit correctement l’indétermination de $A$ ?

On peut remplacer

A

par le gradient d’une fonction sans changer le champ

B

On peut ajouter à

A

le gradient d’une fonction scalaire sans changer son rotationnel

On peut ajouter à

A

une constante scalaire sans changer sa divergence

On peut multiplier

A

par une fonction scalaire sans changer son rotationnel

Explication

Un champ de divergence nulle est le rotationnel d’un potentiel vecteur, lequel peut être modifié par l’ajout du gradient d’une fonction scalaire. Ce potentiel n’est donc pas unique, contrairement à une fonction potentielle déterminée à une constante additive près.

Answer

On peut ajouter à $$A$$ le gradient d’une fonction scalaire sans changer son rotationnel

Question 46

46. Quelle caractéristique distingue un système différentiel autonome du premier ordre ?

Les variables d’état sont déterminées par une équation algébrique sans dérivées.

Le champ de vecteurs dépend des variables d’état, mais pas explicitement du paramètre d’évolution.

Le champ de vecteurs dépend explicitement du paramètre d’évolution, mais pas des variables d’état.

Les dérivées des variables d’état sont toutes constantes au cours de l’évolution.

Explication

Dans un système autonome, chaque dérivée est donnée par une fonction des variables d’état, sans dépendance explicite en le paramètre d’évolution. Un champ qui dépend explicitement de ce paramètre décrit plutôt un système non autonome.

Answer

Le champ de vecteurs dépend des variables d’état, mais pas explicitement du paramètre d’évolution.

Question 47

47. Que signifie qu’une fonction est une intégrale première d’un système différentiel ?

Elle conserve la même valeur le long de chaque solution du système.

Elle détermine la valeur initiale nécessaire pour définir une solution.

Elle s’annule en chaque point où le champ de vecteurs est non nul.

Elle donne la vitesse de chaque coordonnée le long des solutions.

Explication

Une intégrale première est une fonction des variables d’état qui reste constante lorsque l’on suit une solution. Une fonction donnant les vitesses correspond plutôt aux composantes du champ de vecteurs.

Answer

Elle conserve la même valeur le long de chaque solution du système.

Question 48

48. Quelle équation vérifie une intégrale première $F$ d’un système dont le champ est $V$ ?

V_1F+\cdots+V_nF=0

\partial_1F+\cdots+\partial_nF=0

V_1\partial_1F+\cdots+V_n\partial_nF=0

V_1\partial_1F+\cdots+V_n\partial_nF=1

Explication

La dérivée de $F$ dans la direction du champ $V$ doit être nulle, ce qui donne $V_1\partial_1F+\cdots+V_n\partial_nF=0$ . Une égalité à une constante non nulle correspondrait à une variation de $F$ le long des trajectoires, et non à une intégrale première.

Answer

$$V_1\partial_1F+\cdots+V_n\partial_nF=0$$

Question 49

49. Comment interpréter géométriquement une solution d’un système autonome dans $\mathbb{R}^n$ ?

Comme une courbe dont le vecteur tangent en chaque point est le champ de vecteurs en ce point.

Comme une suite de points où le champ de vecteurs s’annule.

Comme une surface dont le vecteur normal en chaque point est le champ de vecteurs en ce point.

Comme une courbe dont le vecteur tangent est constant, quelle que soit sa position.

Explication

Les dérivées des coordonnées d’une solution forment son vecteur tangent, égal au champ de vecteurs au point correspondant. Un champ nul en chaque point décrirait des équilibres, et non le comportement général des trajectoires.

Answer

Comme une courbe dont le vecteur tangent en chaque point est le champ de vecteurs en ce point.

Question 50

50. Pour $V_1\partial_1f+V_2\partial_2f=G$ , quelle distinction sépare le caractère linéaire du cas homogène ?

L’équation est linéaire si

V_1=V_2

; elle est homogène si les dérivées de

f

s’annulent.

L’équation est linéaire si

G=0

; elle est homogène si ses coefficients dépendent de

f

.

L’équation est linéaire si ses coefficients dépendent de

f

; elle est homogène si

G

est constant.

L’équation est linéaire si ses coefficients et son terme

G

sont indépendants de

f

; elle est homogène si

G=0

.

Explication

La linéarité exige que les coefficients et le terme de droite ne dépendent pas de l’inconnue $f$ , tandis que l’homogénéité correspond à $G=0$ . L’annulation de $G$ caractérise donc le cas homogène, mais ne définit pas à elle seule la linéarité.

Answer

L’équation est linéaire si ses coefficients et son terme $$G$$ sont indépendants de $$f$$; elle est homogène si $$G=0$$.

Question 51

51. Quel système décrit les caractéristiques de $V_1\partial_1f+V_2\partial_2f=G$ ?

x_1'=V_1(x_1,x_2,f),\quad x_2'=V_2(x_1,x_2,f),\quad f'=G(x_1,x_2,f)

x_1'=G,\quad x_2'=V_1,\quad f'=V_2

x_1'=\partial_1V_1,\quad x_2'=\partial_2V_2,\quad f'=V_1+V_2

x_1'=V_1,\quad x_2'=V_2,\quad f'=0

Explication

Le long des caractéristiques, les coordonnées évoluent selon les composantes de $V$ , et la valeur de $f$ évolue selon $G$ . Poser systématiquement $f'=0$ négligerait le terme de droite de l’EDP.

Answer

$$x_1'=V_1(x_1,x_2,f),\quad x_2'=V_2(x_1,x_2,f),\quad f'=G(x_1,x_2,f)$$

Question 52

52. Quelle condition sur le champ et la courbe de données initiales permet de construire localement une solution de l’EDP ?

Le champ doit être tangent à la courbe en chacun de ses points, même s’il s’y annule.

La courbe doit être perpendiculaire à elle-même et le champ doit s’annuler sur celle-ci.

Le champ doit être non nul en un point de la courbe, sans condition sur sa direction.

Le champ doit être non nul et transverse à la courbe, donc non tangent en chacun de ses points.

Explication

La transversalité signifie que le champ est non nul et ne se confond pas avec la direction tangente à la courbe de données. Si le champ est tangent à cette courbe, la condition nécessaire à l’inversion locale des paramètres n’est pas satisfaite.

Answer

Le champ doit être non nul et transverse à la courbe, donc non tangent en chacun de ses points.

Question 53

53. Quel système caractéristique correspond à $F(x_1,x_2,f,p,q)=0$ ?

x_1'=\partial_pF,\quad x_2'=\partial_qF,\quad p'=-(\partial_1F+p\partial_fF),\quad q'=-(\partial_2F+q\partial_fF),\quad f'=p\partial_pF+q\partial_qF

x_1'=\partial_1F,\quad x_2'=\partial_2F,\quad p'=\partial_pF,\quad q'=\partial_qF,\quad f'=F

x_1'=p,\quad x_2'=q,\quad p'=-\partial_1F,\quad q'=-\partial_2F,\quad f'=p+q

x_1'=\partial_qF,\quad x_2'=\partial_pF,\quad p'=\partial_2F,\quad q'=\partial_1F,\quad f'=F

Explication

Le système associe aux coordonnées les dérivées de $F$ par rapport à $p$ et $q$ , et fait intervenir les termes $-(\partial_1F+p\partial_fF)$ et $-(\partial_2F+q\partial_fF)$ pour l’évolution de $p$ et $q$ . Le choix des dérivées spatiales comme vitesses des coordonnées ne correspond pas à ce système caractéristique.

Answer

$$x_1'=\partial_pF,\quad x_2'=\partial_qF,\quad p'=-(\partial_1F+p\partial_fF),\quad q'=-(\partial_2F+q\partial_fF),\quad f'=p\partial_pF+q\partial_qF$$

Question 54

54. Pourquoi une solution construite par la méthode des caractéristiques peut-elle ne pas s’étendre globalement ?

Plusieurs caractéristiques peuvent atteindre un même point en lui attribuant des valeurs différentes.

Les caractéristiques peuvent atteindre un même point seulement si le champ y est nul.

La construction locale impose que toutes les caractéristiques restent parallèles.

Une solution locale ne peut pas être prolongée dès que les données initiales sont régulières.

Explication

La construction locale ne garantit pas l’existence globale, notamment lorsque des caractéristiques donnent des valeurs incompatibles au même point. La régularité des données n’empêche pas à elle seule un tel échec global.

Answer

Plusieurs caractéristiques peuvent atteindre un même point en lui attribuant des valeurs différentes.

Question 55

55. Quels objets composent la matrice Hessienne d’une fonction $f$ ?

Les produits de ses dérivées partielles premières, de la forme

\partial_{x_i}f\,\partial_{x_j}f

.

Ses dérivées partielles secondes, de la forme

\partial^2_{i,j}f=\partial_{x_i}(\partial_{x_j}f)

.

Ses dérivées partielles premières, de la forme

\partial_{x_i}f

.

Les valeurs de la fonction aux points voisins, de la forme

f(x_i+x_j)

.

Explication

La Hessienne regroupe les dérivées partielles secondes de la fonction, avec des coefficients indexés par deux variables. Les dérivées premières constituent plutôt le gradient.

Answer

Ses dérivées partielles secondes, de la forme $$\partial^2_{i,j}f=\partial_{x_i}(\partial_{x_j}f)$$.

Question 56

56. Sous quelle condition la matrice Hessienne de $f$ est-elle symétrique ?

Lorsque les dérivées partielles secondes de

f

existent et sont continues.

Lorsque

f

est définie sur un domaine borné.

Lorsque les dérivées partielles premières de

f

sont constantes.

Lorsque la matrice Hessienne a un déterminant nul.

Explication

La continuité des dérivées partielles secondes garantit l’égalité des dérivées croisées et donc la symétrie de la Hessienne. Un déterminant nul concerne la dégénérescence de la matrice et n’est pas la condition de symétrie.

Answer

Lorsque les dérivées partielles secondes de $$f$$ existent et sont continues.

Question 57

57. Pour la surface $z=f(x,y)$ , quelle équation décrit le plan tangent au point $M_0=(x_0,y_0)$ ?

z-f(M_0)=\partial_x f(M_0)(x-x_0)+\partial_y f(M_0)(y-y_0)

z=f(M_0)+\partial_x f(M_0)(x-x_0)(y-y_0)

z-f(M_0)=\partial_x f(M_0)(y-y_0)+\partial_y f(M_0)(x-x_0)

z-f(M_0)=\partial_x f(x,y)(x-x_0)+\partial_y f(x,y)(y-y_0)

Explication

Le plan tangent utilise les dérivées partielles de f évaluées en M₀ et les déplacements respectifs selon x et y. L’expression qui échange les déplacements applique chaque dérivée à la mauvaise coordonnée.

Answer

$$z-f(M_0)=\partial_x f(M_0)(x-x_0)+\partial_y f(M_0)(y-y_0)$$

Question 58

58. Comment caractérise-t-on un point critique d’une fonction différentiable f ?

C’est un point où la différentielle de f est nulle.

C’est un point où la fonction f prend nécessairement sa valeur maximale.

C’est un point où la fonction f n’est pas définie.

C’est un point où toutes les dérivées secondes de f sont nulles.

Explication

Un point critique est défini par l’annulation de la différentielle de f en ce point. Une différentielle nulle ne garantit pas un maximum, car le point peut notamment être un minimum ou un point selle.

Answer

C’est un point où la différentielle de f est nulle.

Question 59

59. En un point critique, que révèle une Hessienne dont les valeurs propres sont de signes contraires ?

La fonction est constante au voisinage du point.

Le point est un minimum local de la fonction.

Le point est un maximum local de la fonction.

Le point est un point selle, aussi appelé col.

Explication

Des valeurs propres de signes contraires indiquent un point selle, où la fonction présente des comportements différents selon les directions. Deux valeurs propres positives signaleraient plutôt un minimum.

Answer

Le point est un point selle, aussi appelé col.

Question 60

60. Une application différentiable f possède une réciproque locale et sa différentielle L en a est bijective. Quelle est la différentielle de f⁻¹ en b=f(a) ?

Elle est égale à

-L^{-1}

.

Elle est égale à la transposée de

L

.

Elle est égale à

L

.

Elle est égale à

L^{-1}

.

Explication

Lorsque les conditions du théorème de la fonction réciproque sont satisfaites, la différentielle de l’application inverse en b est l’inverse de L. La différentielle de f⁻¹ n’est donc pas en général égale à L elle-même.

Answer

Elle est égale à $$L^{-1}$$.

Question 61

61. Si $f(x_1,x_2)=0$ définit localement $x_2=\phi(x_1)$ et si $\partial_{x_2}f\ne0$ , quelle relation donne $\phi'(x_1)$ ?

\phi'(x_1)=\frac{\partial_{x_2}f}{\partial_{x_1}f}

, les dérivées étant évaluées sur la courbe.

\phi'(x_1)=-\frac{\partial_{x_1}f}{\partial_{x_2}f}

, les dérivées étant évaluées sur la courbe.

\phi'(x_1)=\partial_{x_1}f+\partial_{x_2}f

, les dérivées étant évaluées sur la courbe.

\phi'(x_1)=-\frac{\partial_{x_2}f}{\partial_{x_1}f}

, les dérivées étant évaluées sur la courbe.

Explication

La dérivation de l’équation implicite donne le rapport opposé entre la dérivée selon x₁ et celle selon x₂. Inverser ce rapport ne respecte pas la relation issue de la différentiation de f(x₁, φ(x₁))=0.

Answer

$$\phi'(x_1)=-\frac{\partial_{x_1}f}{\partial_{x_2}f}$$, les dérivées étant évaluées sur la courbe.

Question 62

62. Une fonction différentiable atteint un extremum en un point intérieur de son domaine. Quelle conclusion est justifiée ?

Sa différentielle est non nulle en ce point, ce qui suffit à prouver un extremum.

Sa différentielle est nulle en ce point, sans que cette condition suffise à prouver un extremum.

Sa Hessienne est nulle en ce point, ce qui suffit à prouver un extremum.

Sa fonction est constante dans un voisinage de ce point.

Explication

Un extremum d’une fonction différentiable implique l’annulation de sa différentielle au point concerné. La réciproque est fausse : une différentielle nulle peut aussi correspondre à un point selle.

Answer

Sa différentielle est nulle en ce point, sans que cette condition suffise à prouver un extremum.

Question 63

63. Une fonction f présente un extremum sous la contrainte régulière $g(x)=0$ en a, avec $dg_a\ne0$ . Quelle condition doit alors satisfaire leur différentielles ?

Il existe un réel λ tel que

df_a=\lambda dg_a

.

Il existe un réel λ tel que

dg_a=\lambda df_a

, avec λ nécessairement nul.

Les différentielles

df_a

et

dg_a

sont nécessairement nulles séparément.

Il existe un réel λ tel que

df_a+dg_a=\lambda

.

Explication

À un extremum sur la contrainte, la différentielle de f est proportionnelle à celle de g, ce qui exprime la condition de Lagrange à une contrainte. La condition n’impose pas que les deux différentielles soient nulles séparément.

Answer

Il existe un réel λ tel que $$df_a=\lambda dg_a$$.

Question 64

64. À un extremum sous plusieurs contraintes régulières indépendantes $g_i(x)=0$ , quelle relation caractérise les multiplicateurs de Lagrange ?

df_a=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i\,dg_{i,a}

df_a=\sum_{i=1}^{p}dg_{i,a}

df_a=\prod_{i=1}^{p}\lambda_i\,dg_{i,a}

df_a=\lambda_1\,dg_{1,a}

Explication

La différentielle de f doit être une combinaison linéaire des différentielles des contraintes, avec un multiplicateur associé à chacune. Le produit des multiplicateurs ne représente pas cette combinaison linéaire.

Answer

$$df_a=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i\,dg_{i,a}$$

Accepted Answer

Par $$df=\operatorname{grad}f\cdot dl$$.

Accepted Answer

$$d(A\cdot dl)=\operatorname{rot}A\cdot dS$$

Accepted Answer

$$d(A\cdot dS)=\operatorname{div}A\,dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3$$

Accepted Answer

$$\int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega$$

QCM : Calcul différentiel et intégrales (68 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment repère-t-on un point de l’espace dans un système cartésien orthogonal ?

2. Si l’on connaît les vecteurs allant de A à B et de B à C, quel vecteur leur somme donne-t-elle selon la relation de Chasles ?

3. Dans le plan, quelle expression donne la norme d’un vecteur de coordonnées (u1,u2)(u_1,u_2)(u1​,u2​) ?

4. Deux vecteurs du plan sont orthogonaux : quelle conclusion peut-on tirer sur leur produit scalaire ?

5. Quelles données constituent les coordonnées polaires planes d’un point différent de l’origine ?

6. Un point a pour coordonnées polaires ρ=4\rho=4ρ=4 et ϕ=π3\phi=\frac{\pi}{3}ϕ=3π​ ; quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

7. En coordonnées polaires planes, comment s’écrit le vecteur position d’un point M dans la base polaire ?

8. Pour un point mobile en coordonnées polaires, quelle expression donne sa vitesse ?

9. En coordonnées polaires, quelle est la composante radiale de l’accélération d’un point mobile ?

10. Un point se déplace sur un cercle de rayon constant RRR avec une vitesse angulaire ϕ˙\dot\phiϕ˙​ ; quelle est la composante normale de son accélération ?

11. Dans un repérage cylindrique, comment obtient-on les coordonnées cartésiennes à partir de ρ\rhoρ, ϕ\phiϕ et zzz ?

12. En coordonnées cylindriques, quelle expression décrit la vitesse lorsque les coordonnées ρ\rhoρ, ϕ\phiϕ et zzz varient avec le temps ?

13. Dans une situation à symétrie sphérique, quelles relations relient les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) (r,\theta,\phi) (r,θ,ϕ) aux coordonnées cylindriques (ρ,z,ϕ) (\rho,z,\phi) (ρ,z,ϕ) ?

14. Quelle expression donne le vecteur position d’un point MMM en coordonnées sphériques ?

15. Un point se déplace en coordonnées sphériques avec rrr et θ\thetaθ constants, tandis que ϕ\phiϕ varie. Quelle est alors l’expression de son déplacement infinitésimal ?

16. Dans un système curviligne orthonormé de coordonnées x1,x2,x3x_1,x_2,x_3x1​,x2​,x3​, comment s’écrit le déplacement élémentaire à l’aide des facteurs géométriques ?

17. Si une forme différentielle est exacte, comment calcule-t-on son intégrale le long d’un chemin allant de AAA à BBB ?

18. Sur un domaine ouvert et connexe par arcs, quelle condition caractérise l’exactitude d’une forme différentielle ?

19. Dans un domaine étoilé du plan, une forme ω=P dx+Q dy\omega=P\,dx+Q\,dyω=Pdx+Qdy avec PPP et QQQ continûment différentiables satisfait quelle condition nécessaire et suffisante pour être exacte ?

20. Une fonction en escalier vaut ei,je_{i,j}ei,j​ sur chaque pavé de côtés δxi\delta x_iδxi​ et δyj\delta y_jδyj​. Quelle somme donne son intégrale sur le pavé total ?

21. Quelle est la mesure du pavé défini par a≤x≤ba\le x\le ba≤x≤b et c≤y≤dc\le y\le dc≤y≤d ?

22. Quelle propriété définit un ensemble négligeable dans le plan ?

23. Une fonction bornée sur un pavé est continue sauf sur un ensemble de mesure nulle. Que peut-on conclure de son intégrabilité ?

24. Pour définir l’intégrale d’une fonction bornée sur un domaine DDD, quelle démarche utilise un pavé PPP contenant DDD ?

25. Comment le théorème de Fubini permet-il de calculer une intégrale double sur un domaine adapté ?

26. Lors d’un changement de variables inverse dans une intégrale double, quel facteur accompagne l’intégrande transformé ?

27. En coordonnées polaires planes, quel élément remplace dx dydx\,dydxdy dans une intégrale double ?

28. Pour établir la convergence d’une intégrale généralisée lorsque le calcul direct est difficile, quelle démarche est appropriée ?

29. Comment une surface est-elle paramétrée dans la description considérée ici ?

30. Quelle condition sur les deux vecteurs tangents permet de définir le plan tangent à une surface paramétrée ?

31. Comment l’ordre des vecteurs tangents intervient-il dans l’élément de surface orienté d’une paramétrisation ?

32. Comment calcule-t-on l’aire d’une surface paramétrée sur un domaine DDD de paramètres ?

33. Quelle expression donne l’aire totale d’une sphère de rayon RRR à partir de son élément de surface ?

34. Quelle intégrale définit le flux d’un champ vectoriel VVV à travers une surface orientée SSS ?

35. Pour un champ plan V=(Vx,Vy)V=(V_x,V_y)V=(Vx​,Vy​) en coordonnées cartésiennes, quelle expression donne sa divergence ?

36. Pour calculer le flux extérieur d’un champ à travers le bord d’un domaine plan à l’aide du théorème de Green, quelle intégrale faut-il évaluer ?

37. En coordonnées polaires, quelle expression de la divergence inclut correctement la dépendance radiale et angulaire d’un champ plan ?

38. Pour obtenir le flux d’un champ à travers une surface fermée en trois dimensions, comment le théorème d’Ostrogradsky permet-il de procéder ?

39. Pour un champ plan V=(Vx,Vy)V=(V_x,V_y)V=(Vx​,Vy​) en coordonnées cartésiennes, quelle expression correspond à son rotationnel scalaire ?

40. Pour relier la circulation d’un champ le long du bord d’un domaine plan à une intégrale sur ce domaine, quelle quantité faut-il intégrer ?

41. Pour appliquer le théorème de Stokes à une surface bordée par une courbe, quelle condition d’orientation doit être respectée ?

42. Lorsqu’on calcule un opérateur en coordonnées curvilignes, pourquoi faut-il tenir compte de la variation des vecteurs de base avant les produits scalaires ?

43. Comment définit-on le laplacien scalaire d’un champ fff à partir des opérateurs gradient et divergence ?

44. Sur un domaine étoilé, un champ EEE est de rotationnel nul : quelle conclusion peut-on tirer sur son potentiel ?

45. Sur un domaine étoilé, un champ BBB a une divergence nulle et s’écrit comme le rotationnel d’un potentiel vecteur AAA : quelle affirmation décrit correctement l’indétermination de AAA ?

46. Quelle caractéristique distingue un système différentiel autonome du premier ordre ?

47. Que signifie qu’une fonction est une intégrale première d’un système différentiel ?

48. Quelle équation vérifie une intégrale première FFF d’un système dont le champ est VVV ?

49. Comment interpréter géométriquement une solution d’un système autonome dans Rn\mathbb{R}^nRn ?

50. Pour V1∂1f+V2∂2f=GV_1\partial_1f+V_2\partial_2f=GV1​∂1​f+V2​∂2​f=G, quelle distinction sépare le caractère linéaire du cas homogène ?

51. Quel système décrit les caractéristiques de V1∂1f+V2∂2f=GV_1\partial_1f+V_2\partial_2f=GV1​∂1​f+V2​∂2​f=G ?

52. Quelle condition sur le champ et la courbe de données initiales permet de construire localement une solution de l’EDP ?

53. Quel système caractéristique correspond à F(x1,x2,f,p,q)=0F(x_1,x_2,f,p,q)=0F(x1​,x2​,f,p,q)=0 ?

54. Pourquoi une solution construite par la méthode des caractéristiques peut-elle ne pas s’étendre globalement ?

55. Quels objets composent la matrice Hessienne d’une fonction fff ?

56. Sous quelle condition la matrice Hessienne de fff est-elle symétrique ?

57. Pour la surface z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y), quelle équation décrit le plan tangent au point M0=(x0,y0)M_0=(x_0,y_0)M0​=(x0​,y0​) ?

58. Comment caractérise-t-on un point critique d’une fonction différentiable f ?

59. En un point critique, que révèle une Hessienne dont les valeurs propres sont de signes contraires ?

60. Une application différentiable f possède une réciproque locale et sa différentielle L en a est bijective. Quelle est la différentielle de f⁻¹ en b=f(a) ?

61. Si f(x1,x2)=0f(x_1,x_2)=0f(x1​,x2​)=0 définit localement x2=ϕ(x1)x_2=\phi(x_1)x2​=ϕ(x1​) et si ∂x2f≠0\partial_{x_2}f\ne0∂x2​​f=0, quelle relation donne ϕ′(x1)\phi'(x_1)ϕ′(x1​) ?

62. Une fonction différentiable atteint un extremum en un point intérieur de son domaine. Quelle conclusion est justifiée ?

63. Une fonction f présente un extremum sous la contrainte régulière g(x)=0g(x)=0g(x)=0 en a, avec dga≠0dg_a\ne0dga​=0. Quelle condition doit alors satisfaire leur différentielles ?

64. À un extremum sous plusieurs contraintes régulières indépendantes gi(x)=0g_i(x)=0gi​(x)=0, quelle relation caractérise les multiplicateurs de Lagrange ?

65. Comment le gradient d’une fonction f est-il défini à l’aide de sa différentielle ?

66. Quelle relation définit le rotationnel d’un champ vectoriel A ?

67. Quelle relation définit la divergence d’un champ vectoriel A en dimension trois ?

68. Quelle égalité exprime la formule de Stokes généralisée pour un domaine D et son bord ∂D\partial D∂D ?

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Polynômes du second degré et dérivation

Composition de la matière

Transformateurs et machines électriques

Crée tes propres QCM

3. Dans le plan, quelle expression donne la norme d’un vecteur de coordonnées $(u_1,u_2)$ ?

6. Un point a pour coordonnées polaires $\rho=4$ et $\phi=\frac{\pi}{3}$ ; quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?

10. Un point se déplace sur un cercle de rayon constant $R$ avec une vitesse angulaire $\dot\phi$ ; quelle est la composante normale de son accélération ?

11. Dans un repérage cylindrique, comment obtient-on les coordonnées cartésiennes à partir de $\rho$ , $\phi$ et $z$ ?

12. En coordonnées cylindriques, quelle expression décrit la vitesse lorsque les coordonnées $\rho$ , $\phi$ et $z$ varient avec le temps ?

13. Dans une situation à symétrie sphérique, quelles relations relient les coordonnées sphériques $(r,\theta,\phi)$ aux coordonnées cylindriques $(\rho,z,\phi)$ ?

14. Quelle expression donne le vecteur position d’un point $M$ en coordonnées sphériques ?

15. Un point se déplace en coordonnées sphériques avec $r$ et $\theta$ constants, tandis que $\phi$ varie. Quelle est alors l’expression de son déplacement infinitésimal ?

16. Dans un système curviligne orthonormé de coordonnées $x_1,x_2,x_3$ , comment s’écrit le déplacement élémentaire à l’aide des facteurs géométriques ?

17. Si une forme différentielle est exacte, comment calcule-t-on son intégrale le long d’un chemin allant de $A$ à $B$ ?

19. Dans un domaine étoilé du plan, une forme $\omega=P\,dx+Q\,dy$ avec $P$ et $Q$ continûment différentiables satisfait quelle condition nécessaire et suffisante pour être exacte ?

20. Une fonction en escalier vaut $e_{i,j}$ sur chaque pavé de côtés $\delta x_i$ et $\delta y_j$ . Quelle somme donne son intégrale sur le pavé total ?

21. Quelle est la mesure du pavé défini par $a\le x\le b$ et $c\le y\le d$ ?

24. Pour définir l’intégrale d’une fonction bornée sur un domaine $D$ , quelle démarche utilise un pavé $P$ contenant $D$ ?

27. En coordonnées polaires planes, quel élément remplace $dx\,dy$ dans une intégrale double ?

32. Comment calcule-t-on l’aire d’une surface paramétrée sur un domaine $D$ de paramètres ?

33. Quelle expression donne l’aire totale d’une sphère de rayon $R$ à partir de son élément de surface ?

34. Quelle intégrale définit le flux d’un champ vectoriel $V$ à travers une surface orientée $S$ ?

35. Pour un champ plan $V=(V_x,V_y)$ en coordonnées cartésiennes, quelle expression donne sa divergence ?

39. Pour un champ plan $V=(V_x,V_y)$ en coordonnées cartésiennes, quelle expression correspond à son rotationnel scalaire ?

43. Comment définit-on le laplacien scalaire d’un champ $f$ à partir des opérateurs gradient et divergence ?

44. Sur un domaine étoilé, un champ $E$ est de rotationnel nul : quelle conclusion peut-on tirer sur son potentiel ?

45. Sur un domaine étoilé, un champ $B$ a une divergence nulle et s’écrit comme le rotationnel d’un potentiel vecteur $A$ : quelle affirmation décrit correctement l’indétermination de $A$ ?

48. Quelle équation vérifie une intégrale première $F$ d’un système dont le champ est $V$ ?

49. Comment interpréter géométriquement une solution d’un système autonome dans $\mathbb{R}^n$ ?

50. Pour $V_1\partial_1f+V_2\partial_2f=G$ , quelle distinction sépare le caractère linéaire du cas homogène ?

51. Quel système décrit les caractéristiques de $V_1\partial_1f+V_2\partial_2f=G$ ?

53. Quel système caractéristique correspond à $F(x_1,x_2,f,p,q)=0$ ?

55. Quels objets composent la matrice Hessienne d’une fonction $f$ ?

56. Sous quelle condition la matrice Hessienne de $f$ est-elle symétrique ?

57. Pour la surface $z=f(x,y)$ , quelle équation décrit le plan tangent au point $M_0=(x_0,y_0)$ ?

61. Si $f(x_1,x_2)=0$ définit localement $x_2=\phi(x_1)$ et si $\partial_{x_2}f\ne0$ , quelle relation donne $\phi'(x_1)$ ?

63. Une fonction f présente un extremum sous la contrainte régulière $g(x)=0$ en a, avec $dg_a\ne0$ . Quelle condition doit alors satisfaire leur différentielles ?

64. À un extremum sous plusieurs contraintes régulières indépendantes $g_i(x)=0$ , quelle relation caractérise les multiplicateurs de Lagrange ?

68. Quelle égalité exprime la formule de Stokes généralisée pour un domaine D et son bord $\partial D$ ?