Fiche de révision : Asservissement et modélisation des systèmes

📋 Plan du Cours

1. Principes des systèmes asservis
2. Performances des portes rétractables
3. Stabilisation active des navires
4. Mesure de vitesse de rotation
5. Asservissement du télescope
6. Signaux canoniques et consignes
7. Modélisation du moteur à courant continu
8. Régulation du niveau d’eau

📖 1. Principes des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Système asservi : Système qui mesure sa sortie, la compare à la consigne et utilise l’écart pour élaborer la commande.
• Erreur statique : L’erreur statique est la limite de l’écart entre la consigne et la réponse lorsque le temps tend vers l’infini.
• Temps de réponse à 5 % : Le temps de réponse à 5 % est le premier instant à partir duquel la réponse reste dans la bande de ±5 % autour de sa valeur finale.
• Loi de comportement linéaire : Parmi les relations proposées, seule la loi homogène y(t) = ax(t) est linéaire lorsque a est constant.

📝 Points essentiels

📌 La poursuite étudie la réponse à une consigne variable, tandis que la régulation étudie le maintien de la sortie malgré une perturbation.

💡 Astuce mémo

Mesurer la sortie → la comparer à la consigne → corriger la commande.

📖 2. Performances des portes rétractables

🔑 Notions clés & Définitions

• Dépassement maximal : Pour une consigne échelon de valeur x₀, une valeur finale x∞ et un maximum xm, le dépassement maximal est xm − x∞.

📝 Points essentiels

• Le cahier des charges des portes impose un temps de réponse à 5 % inférieur à 2 s, une erreur statique inférieure à 5 cm pour une consigne de 1 m, un dépassement inférieur à 10 % et une stabilité assurée.

📖 3. Stabilisation active des navires

🔑 Notions clés & Définitions

• Retard de réponse : Pour une consigne en rampe, le retard est la durée t₂ − t₁ lorsque la réponse à t₂ atteint la valeur de consigne à l’instant t₁.

★ À maîtriser

• Le cahier des charges du système de stabilisation limite à 0,05 s le retard sur une consigne en rampe et à 0,2 % le dépassement maximal de la position visée.

• Le cahier des charges fixe une précision de positionnement angulaire de 0,5° et limite l’accélération angulaire à 1 rad/s² et la vitesse angulaire à 0,5 rad/s.

Compléments

• La servovalve délivre un débit hydraulique Q proportionnel au courant de commande i, le vérin transforme ce débit en déplacement λ et une chaîne cinématique transforme λ en angle α.

• Dans l’asservissement de l’appendice, l’effort hydrodynamique F est une perturbation et l’angle souhaité αc est la consigne.

📖 4. Mesure de vitesse de rotation

★ À maîtriser

• La dynamo tachymétrique transforme la rotation de l’arbre en tension continue proportionnelle à sa vitesse angulaire.

• Un codeur incrémental à deux pistes possède n fentes par piste, déphasées d’un quart de fente, et la mesure incrémente l’angle à chaque front montant et descendant des deux voies.

Compléments

• La dynamo étudiée présente un écart à la linéarité de 0,15 %, soit une erreur de mesure relative de 0,15 % de la vitesse réelle.

• Le convertisseur analogique-numérique utilisé avec la dynamo possède une résolution de 12 bits et une erreur de quantification maximale de Ωmax/2¹².

📐 Formule - Pour une mesure de vitesse par durée entre incréments, l’approximation est $\tilde{\omega}=\frac{\Delta\theta}{\Delta T}$ et l’erreur d’arrondi donnée est $e_{a1}=\frac{\gamma_{max}\Delta\theta}{2\tilde{\omega}}$.

📐 Formule - Pour la mesure périodique de l’angle, l’erreur totale donnée est $e_{a2}+e_t=\frac{\gamma_{max}T_v}{2}+\frac{2\Delta\theta}{T_v}$.

💡 Astuce mémo

La dynamo mesure une tension continue ; le codeur compte des fronts.

📖 5. Asservissement du télescope

★ À maîtriser

• Le cahier des charges du télescope impose un asservissement en vitesse angulaire autour de l’axe vertical, un dépassement nul, un temps de réponse à 5 % de 0,3 s et une erreur statique nulle.

Compléments

📐 Formule - La vitesse angulaire du télescope et celle du moteur sont reliées par $\omega(t)=\frac{\omega_m(t)}{3080}$.

• Le télescope est alimenté en 12 V continu et ses deux axes sont motorisés par des moteurs à courant continu avec réducteurs et codeurs incrémentaux.

📖 6. Signaux canoniques et consignes

★ À maîtriser

📐 Formule - Une rampe de pente a s’écrit comme le produit de sa pente, de l’échelon unitaire et du temps : $r(t)=a\,t\,u(t)$.

📐 Formule - Un retard de durée T transforme un signal d’entrée f(t) en un signal de sortie $g(t)=f(t-T)$.

Compléments

📐 Formule - Pour un système modélisé par un gain pur K entre une entrée de dimension E et une sortie de dimension S, la dimension du gain est $[K]=\frac{S}{E}$.

📐 Formule - Une consigne de vitesse constante Vc entre T₁ et T₂, nulle avant et après, s’écrit $v_{c1}(t)=V_c\left[u(t-T_1)-u(t-T_2)\right]$.

📖 7. Modélisation du moteur à courant continu

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moteur à courant continu est décrit par $u_m(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+e(t)$, $J\frac{d\omega_m(t)}{dt}=C_m(t)-C_r(t)$, $e(t)=K_e\omega_m(t)$ et $C_m(t)=K_ci(t)$.

📐 Formule - Dans l’asservissement du moteur, l’écart est $\varepsilon(t)=u_{cons}(t)-u_{mes}(t)$, le correcteur délivre $u_{corr}(t)=K_{corr}\varepsilon(t)$ et le hacheur applique $u_m(t)=K_pu_{corr}(t)$.

Compléments

📐 Formule - Le capteur tachymétrique délivre $u_{mes}(t)=K_{capt}\omega_m(t)$ et l’adaptateur de consigne délivre $u_{cons}(t)=K_{capt}\omega_{mc}(t)$.

📐 Formule - Pour le modèle simplifié du moteur, la réponse à un échelon de vitesse de consigne est $\omega_m(t)=\frac{\Omega K_{corr}K_0}{1+K_{corr}K_0}\left(1-\exp\left(-\frac{t(1+K_{corr}K_0)}{\tau}\right)\right)\Upsilon(t)$.

📖 8. Régulation du niveau d’eau

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le réservoir, le bilan de débit vérifie $q_e(t)-q_s(t)=S\frac{dh(t)}{dt}$.

📐 Formule - Le moteur du système de régulation vérifie $\tau\frac{d\omega_m(t)}{dt}+\omega_m(t)=K_mu_m(t)$, le réducteur vérifie $\theta_v(t)=r\theta_m(t)$ et la vanne vérifie $q_e(t)=K_v\theta_v(t)$.

📐 Formule - Le régulateur compare les tensions par $\varepsilon(t)=u_c(t)-u_{mes}(t)$ et commande le moteur selon $u_m(t)=A\varepsilon(t)$.

Compléments

📐 Formule - Le limnimètre et le potentiomètre convertissent respectivement le niveau mesuré et le niveau de consigne en tensions selon $u_{mes}(t)=a h(t)$ et $u_c(t)=a h_c(t)$.

📐 Formule - La position angulaire du moteur est liée à sa vitesse par $\frac{d\theta_m(t)}{dt}=\omega_m(t)$.

💡 Astuce mémo

Un débit net dans le réservoir → une variation du niveau d’eau.