Flashcards : Calcul indiciel et tenseurs — 81 cartes

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1Question

Que signifie un indice présent une fois en dimension trois ?

Réponse

Il est libre et varie de 1 à 3.

2Question

Que signifie un indice répété deux fois en dimension trois ?

Réponse

Il implique une somme de 1 à 3.

3Question

Combien de fois un indice peut-il apparaître dans une même expression indicielle ?

Réponse

Il ne doit jamais apparaître plus de deux fois.

4Question

Que faut-il faire lors d'une substitution indicielle pour éviter un indice apparaissant plus de deux fois ?

Réponse

Il faut renommer un indice muet.

5Question

Quelle valeur prend le symbole de Kronecker $\delta_{ij}$ si $i=j$ ?

Réponse

Il vaut 1.

6Question

Quelle valeur prend le symbole de Kronecker $\delta_{ij}$ si $i \neq j$ ?

Réponse

Il vaut 0.

7Question

Pour quelles permutations le symbole de Levi-Civita vaut-il +1 ?

Réponse

Pour les permutations cycliques 123, 231 et 312.

8Question

Pour quelles permutations le symbole de Levi-Civita vaut-il -1 ?

Réponse

Pour les permutations anticycliques 132, 213 et 321.

9Question

Quelle valeur prend le symbole de Levi-Civita dans les cas non cycliques ni anticycliques ?

Réponse

Il vaut 0.

10Question

Quelle formule relie la contraction de deux symboles de Levi-Civita à des symboles de Kronecker ?

Réponse

$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$ .

11Question

Comment s'exprime le produit scalaire dans une base orthonormée ?

Réponse

$\vec u\cdot\vec v=u_i v_i$

12Question

Quelle formule donne le produit vectoriel dans une base orthonormée orientée positivement ?

Réponse

$\vec u\times\vec v=\epsilon_{ijk}u_jv_k\vec e_i$

13Question

Quelle est la formule de l'opérateur nabla en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\vec\nabla=\vec e_i\frac{\partial}{\partial x_i}$

14Question

Comment s'exprime la divergence d'un champ vectoriel en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\vec\nabla\cdot\vec u=\frac{\partial u_i}{\partial x_i}$

15Question

Quelle est la formule du rotationnel d'un champ vectoriel en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\vec\nabla\times\vec u=\epsilon_{ijk}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\vec e_i$

16Question

Comment s'écrit le laplacien d'un champ scalaire ?

Réponse

$\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_j}$

17Question

Quelle est la formule du laplacien d'un champ vectoriel ?

Réponse

$\nabla^2\vec u=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}\vec e_i$

18Question

Qu'est-ce que le tenseur gradient d'un champ vectoriel ?

Réponse

Un tenseur représenté par une matrice des neuf dérivées partielles des composantes du champ.

19Question

Quelle est la formule du tenseur d'inertie d'un solide de masse volumique $\rho$ ?

Réponse

$\mathbf I=\int_V\rho(\vec r\otimes\vec r-\|\vec r\|^2\mathbf 1)\,dV$

20Question

Comment le tenseur d'inertie relie-t-il le moment orbital à la vitesse de rotation ?

Réponse

Par $\vec L=\mathbf I\cdot\vec\Omega$

21Question

Quelle relation exprime le tenseur des contraintes avec la force interne différentielle ?

Réponse

$d\vec F=\boldsymbol\sigma\cdot d\vec S$

22Question

Quelle est la dimension du tenseur des contraintes ?

Réponse

Une force par unité de surface.

23Question

Qu'est-ce qu'un tenseur d'ordre deux ?

Réponse

Une application linéaire associant à chaque vecteur un vecteur image respectant les combinaisons linéaires.

24Question

Quelle relation composante lie $v_i$ , $T_{ij}$ et $u_j$ si $\vec v=\mathbf T\cdot\vec u$ ?

Réponse

$v_i=T_{ij}u_j$

25Question

Quelle relation matricielle lie $V$ , $T$ et $U$ si $\vec v=\mathbf T\cdot\vec u$ ?

Réponse

$V=TU$

26Question

Quelles sont les propriétés du produit tensoriel $\vec u\otimes\vec v$ ?

Réponse

Il est bilinéaire et non commutatif.

27Question

Pourquoi $\vec u\otimes\vec v\ne\vec v\otimes\vec u$ en général ?

Réponse

Parce que le produit tensoriel n'est pas commutatif.

28Question

Quelles sont les composantes du produit tensoriel de deux vecteurs ?

Réponse

Les composantes sont $S_{ij}=u_i v_j$ .

29Question

Quelle est la matrice de représentation du produit tensoriel de deux vecteurs ?

Réponse

Elle est donnée par $S=UV^T$ .

30Question

Qu'impose la symétrie d'un tenseur ?

Réponse

$\mathbf T^T=\mathbf T$ .

31Question

Quelle égalité caractérise un tenseur symétrique en composantes ?

Réponse

$T_{ij}=T_{ji}$ .

32Question

Comment s'exprime la trace d’un tenseur d’ordre deux ?

Réponse

$\operatorname{tr}(\mathbf T)=T_{ii}=T_{11}+T_{22}+T_{33}$ .

33Question

Quelle propriété a la trace d’un tenseur d’ordre deux par rapport à la base orthonormée ?

Réponse

Elle est indépendante de la base orthonormée choisie.

34Question

Comment s'exprime la contraction à droite d’un tenseur avec un vecteur ?

Réponse

$\mathbf T\cdot\vec u=T_{ij}u_j\vec e_i$ et $V=TU$ .

35Question

Comment se construit un tenseur d’ordre supérieur ?

Réponse

Par produit tensoriel de plusieurs vecteurs.

36Question

Quelle est l'expression d'un tenseur d’ordre trois en dimension trois ?

Réponse

$\mathbf S=S_{ijk}\vec e_i\otimes\vec e_j\otimes\vec e_k$ .

37Question

Combien de composantes possède un tenseur d’ordre trois en dimension trois ?

Réponse

27 composantes.

38Question

Comment s'exprime le produit contracté de deux tenseurs d’ordre 2 ?

Réponse

$\mathbf{T}:\mathbf{S}=T_{ij}S_{ij}$ .

39Question

Que représente le produit contracté $\mathbf{T}:\mathbf{S}$ en termes de matrices ?

Réponse

La trace de $\mathbf{T}\mathbf{S}^T$ ou la somme des produits élément par élément.

40Question

Quelle matrice relie deux bases orthonormées selon $\mathbf e'_k=R_{ki}\mathbf e_i$ ?

Réponse

Une matrice orthogonale $R$ .

41Question

Quelle relation satisfait une matrice orthogonale $R$ ?

Réponse

$RR^T=I$ .

42Question

Comment se transforment les composantes d'un tenseur d'ordre 2 ?

Réponse

Selon $T'_{kl}=R_{ki}R_{lj}T_{ij}$ .

43Question

Quelle est la transformation matricielle d'un tenseur d'ordre 2 ?

Réponse

$T'=RTR^T$ .

44Question

Qu'est-ce qu'un tenseur isotrope ?

Réponse

Un tenseur invariant avec la même matrice dans toutes bases orthonormées.

45Question

Comment s'écrit le tenseur unité d'ordre 2 ?

Réponse

$\mathbf 1=\delta_{ij}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j$ .

46Question

Comment peut-on diagonaliser un tenseur d'ordre 2 symétrique ?

Réponse

Par une matrice orthogonale R dans une base propre.

47Question

Quelles sont les valeurs propres d'un tenseur d'ordre 2 symétrique ?

Réponse

Les racines réelles de son polynôme caractéristique.

48Question

Quelles étapes faut-il suivre pour construire la base propre d'un tenseur symétrique ?

Réponse

Calculer valeurs propres, vecteurs propres, puis normaliser.

49Question

Qu'associe un champ tensoriel à chaque point de l'espace ?

Réponse

Un tenseur d'ordre 2, 3, 4 ou supérieur.

50Question

Comment s'écrit un champ tensoriel d'ordre 2 en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\mathbf T=T_{ij}(x_1,x_2,x_3)\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j$ .

51Question

Quelle relation définissent les composantes du gradient d'un champ vectoriel en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$(\nabla F)_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$ .

52Question

Qu'est-ce que la divergence d'un champ tensoriel d'ordre 2 ?

Réponse

Un champ vectoriel.

53Question

Comment s'exprime la divergence d'un champ tensoriel d'ordre 2 en coordonnées cartésiennes ?

Réponse

$\nabla\cdot\mathbf\sigma=\mathbf e_i\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j}$ .

54Question

Pourquoi dériver la matrice des composantes ne suffit pas en coordonnées curvilignes orthogonales ?

Réponse

Les vecteurs de base dépendent de la position.

55Question

Comment est défini le symbole $G^k_{ij}$ en coordonnées curvilignes orthogonales ?

Réponse

Par $\frac{\partial\mathbf e_{u_i}}{\partial u_j}=G^k_{ij}\mathbf e_{u_k}$ .

56Question

Que représente le symbole $G^k_{ij}$ ?

Réponse

La composante k de la dérivée du vecteur de base i selon la coordonnée j.

57Question

Quelle est la formule des composantes du gradient d’un champ vectoriel en coordonnées curvilignes orthogonales ?

Réponse

$(\nabla F)_{ij}=\frac{1}{h_j}\left(\frac{\partial F_i}{\partial u_j}+G^i_{kj}F_k\right)$ , sans sommation sur j.

58Question

Comment s'écrit la décomposition d'un vecteur sur une base orthonormée ?

Réponse

Elle s'écrit $\vec u=u_j\vec e_j$ .

59Question

Que représente l'expression $\vec u=u_j\vec e_j$ ?

Réponse

La somme des trois termes $u_1\vec e_1+u_2\vec e_2+u_3\vec e_3$ .

60Question

Quel effet a une permutation de deux indices sur le signe du symbole de Levi-Civita ?

Réponse

Elle change le signe.

61Question

Quel effet a une permutation cyclique sur le signe du symbole de Levi-Civita ?

Réponse

Elle conserve le signe.

62Question

Quelle relation vérifie le produit mixte de trois vecteurs ?

Réponse

$(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w=\epsilon_{ijk}u_i v_j w_k$

63Question

Quelle formule relie les composantes d'un vecteur entre deux bases orthonormées via une matrice orthogonale ?

Réponse

$u_i=R_{ik}u'_k$

64Question

Comment s'exprime l'inverse du changement de base orthonormée par matrice orthogonale ?

Réponse

$u'_k=R^T_{ki}u_i$

65Question

Quelle est la formule intégrale du théorème de la divergence ?

Réponse

$\oint_S F_k\,dS_k=\int_V\frac{\partial F_k}{\partial x_k}\,dV$

66Question

Comment s'écrit le théorème d'intégration pour le gradient ?

Réponse

$\oint_S f\,dS_k=\int_V\frac{\partial f}{\partial x_k}\,dV$

67Question

Quelle est la formule intégrale du théorème de Stokes ?

Réponse

$\oint_C F_k\,dx_k=\iint_S\epsilon_{ijk}\frac{\partial F_k}{\partial x_j}\,dS_i$

68Question

Quelle est la forme du tenseur des contraintes dans un fluide parfait ?

Réponse

$\boldsymbol\sigma=-p\mathbf 1$

69Question

Comment s'exprime le tenseur de déformation infinitésimal en élasticité linéaire ?

Réponse

$\boldsymbol\epsilon=\frac12(\nabla\vec D+\nabla\vec D^T)$

70Question

Combien de produits de base possède l'espace tensoriel d'ordre deux en dimension trois ?

Réponse

Neuf produits.

71Question

Comment s'écrit un tenseur d'ordre deux dans la base $\vec e_i\otimes\vec e_j$ ?

Réponse

$\mathbf T=T_{ij}\vec e_i\otimes\vec e_j$

72Question

Comment décompose-t-on un tenseur d’ordre deux en parties symétrique et antisymétrique ?

Réponse

$\mathbf T=\frac12(\mathbf T+\mathbf T^T)+\frac12(\mathbf T-\mathbf T^T)$ .

73Question

Combien de produits tensoriels forme la base d'un tenseur d’ordre quatre en dimension trois ?

Réponse

81 produits tensoriels.

74Question

Quelle est la formule générale d'un tenseur d’ordre 3 ?

Réponse

$\mathbf S=S_{ijk}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j\otimes\mathbf e_k$ avec trois indices.

75Question

Que produit la double contraction d’un tenseur d’ordre 4 avec un tenseur d’ordre 2 ?

Réponse

Un tenseur d’ordre 2.

76Question

Comment se transforment les composantes d'un tenseur d'ordre 3 ?

Réponse

Selon $T'_{lmn}=R_{li}R_{mj}R_{nk}T_{ijk}$ .

77Question

Comment se transforme le pseudo-tenseur antisymétrique d'ordre 3 $\eta$ ?

Réponse

Avec le facteur $\det(R)$ , invariant pour rotations d'orientation identique.

78Question

Que fournit la base propre d'un tenseur symétrique en physique ?

Réponse

Les axes principaux comme les axes d'inertie.

79Question

Quelle est l'expression de l'élément de ligne en coordonnées curvilignes orthogonales ?

Réponse

$d\mathbf r=h_u\mathbf e_u\,du+h_v\mathbf e_v\,dv+h_w\mathbf e_w\,dw$

80Question

Quels symboles $G$ non nuls sont cités en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$G^\theta_{r\theta}=1$ et $G^r_{\theta\theta}=-1$ .

81Question

Quelle est la formule de la divergence d’un champ tensoriel d’ordre 2 en coordonnées curvilignes orthogonales ?

Réponse

$\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\frac{1}{h_uh_vh_w}\left[\frac{\partial}{\partial u}(h_vh_w\mathbf e_{u_i}\sigma_{iu})+\frac{\partial}{\partial v}(h_wh_u\mathbf e_{u_i}\sigma_{iv})+\frac{\partial}{\partial w}(h_uh_v\mathbf e_{u_i}\sigma_{iw})\right]$ .

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1. En dimension trois, comment interprète-t-on un indice libre et un indice répété deux fois dans une expression indicielle ?

2. Quelle condition doit respecter une expression écrite avec la convention de sommation indicielle ?

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