QCM : Calcul indiciel et tenseurs — 41 questions

Questions et réponses du QCM

1. En dimension trois, comment interprète-t-on un indice libre et un indice répété deux fois dans une expression indicielle ?

Les deux indices restent fixés pendant l’évaluation de l’expression
L’indice libre varie de 1 à 3, tandis que l’indice répété est sommé de 1 à 3
L’indice libre est sommé de 1 à 3, tandis que l’indice répété reste fixé
L’indice libre varie de 0 à 2, tandis que l’indice répété est sommé de 1 à 3

L’indice libre varie de 1 à 3, tandis que l’indice répété est sommé de 1 à 3

Explication

Un indice présent une fois est libre et prend les valeurs de 1 à 3, alors qu’un indice présent deux fois déclenche une somme sur ces mêmes valeurs. L’interprétation inverse confond précisément les rôles des indices libres et muets.

2. Quelle condition doit respecter une expression écrite avec la convention de sommation indicielle ?

Les indices libres doivent être répétés deux fois dans chaque terme
Chaque indice doit apparaître exactement trois fois dans un même terme
Chaque indice doit apparaître au plus deux fois dans un même terme
Un indice muet peut apparaître plusieurs fois sans modifier l’expression

Chaque indice doit apparaître au plus deux fois dans un même terme

Explication

La convention impose qu’un indice n’apparaisse jamais plus de deux fois dans une même expression indicielle. Répéter un indice trois fois rend l’écriture ambiguë et ne correspond pas à une sommation indicielle valide.

3. Lorsqu’une substitution indicielle fait apparaître trois fois le même indice dans un terme, quelle opération faut-il effectuer ?

Supprimer l’indice libre présent dans le terme initial
Remplacer l’indice répété par sa valeur moyenne
Interrompre la sommation associée à l’indice initial
Renommer l’indice muet introduit par la substitution

Renommer l’indice muet introduit par la substitution

Explication

Il faut renommer l’indice muet afin que chaque indice apparaisse au plus deux fois dans le terme. Modifier l’indice libre ou supprimer une sommation changerait le contenu mathématique plutôt que de corriger la notation.

4. Quelle valeur prend le symbole de Kronecker δij\delta_{ij} lorsque i≠ji\ne j ?

Il vaut 00, car les deux indices sont différents
Il dépend de l’ordre cyclique des trois indices
Il vaut 11, car il compare deux indices
Il vaut −1-1, comme une permutation antic cyclique

Il vaut $$0$$, car les deux indices sont différents

Explication

Le symbole de Kronecker vaut zéro lorsque ses deux indices sont différents et un lorsqu’ils sont égaux. Les notions de permutation cyclique ou antic cyclique concernent le symbole de Levi-Civita, qui possède trois indices.

5. Quelle valeur prend ϵijk\epsilon_{ijk} pour la permutation antic cyclique 213213 ?

−1-1, car cette permutation est antic cyclique
11, car le symbole compare deux indices égaux
+1+1, car ses trois indices sont distincts
00, car l’ordre des indices n’est pas cyclique

$$-1$$, car cette permutation est antic cyclique

Explication

La permutation 213 appartient aux permutations antic cycliques et reçoit donc la valeur −1-1. Le fait que les trois indices soient distincts garantit que le symbole n’est pas nul, mais ne suffit pas à déterminer un signe positif.

6. Quelle identité exprime la contraction de deux symboles de Levi-Civita sur leur premier indice ?

ϵijkϵilm=δjlδkm+δjmδkl\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}+\delta_{jm}\delta_{kl}
ϵijkϵilm=δijδkl+δikδjl\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{ij}\delta_{kl}+\delta_{ik}\delta_{jl}
ϵijkϵilm=δjlδkm−δjmδkl\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}
ϵijkϵilm=δilδjm−δikδjl\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{ik}\delta_{jl}

$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$$

Explication

La contraction sur l’indice commun ii donne la différence entre les deux produits de symboles de Kronecker indiqués. Le signe moins et l’association des indices distinguent cette identité des expressions obtenues par une mauvaise contraction.

7. Dans une base orthonormée, quelle expression représente le produit scalaire de deux vecteurs ?

u⃗⋅v⃗=uivi\vec u\cdot\vec v=u_i v_i
u⃗⋅v⃗=δijujvke⃗i\vec u\cdot\vec v=\delta_{ij}u_jv_k\vec e_i
u⃗⋅v⃗=uivje⃗i\vec u\cdot\vec v=u_i v_j\vec e_i
u⃗⋅v⃗=ϵijkujvke⃗i\vec u\cdot\vec v=\epsilon_{ijk}u_jv_k\vec e_i

$$\vec u\cdot\vec v=u_i v_i$$

Explication

Le produit scalaire s’écrit comme la contraction uiviu_i v_i et produit un scalaire. L’expression avec ϵijk\epsilon_{ijk} décrit au contraire un produit vectoriel, qui conserve un indice libre et donne un vecteur.

8. Dans une base orthonormée orientée positivement, quelle écriture correspond au produit vectoriel u⃗×v⃗\vec u\times\vec v ?

u⃗×v⃗=uivi\vec u\times\vec v=u_i v_i
u⃗×v⃗=ϵijkujvke⃗i\vec u\times\vec v=\epsilon_{ijk}u_jv_k\vec e_i
u⃗×v⃗=δijujvi\vec u\times\vec v=\delta_{ij}u_jv_i
u⃗×v⃗=ϵijkuivjwke⃗i\vec u\times\vec v=\epsilon_{ijk}u_i v_j w_k\vec e_i

$$\vec u\times\vec v=\epsilon_{ijk}u_jv_k\vec e_i$$

Explication

Le produit vectoriel utilise le symbole de Levi-Civita et laisse l’indice ii associé au vecteur de base e⃗i\vec e_i. La contraction uiviu_i v_i correspond au produit scalaire, tandis que l’expression à trois vecteurs décrit un produit mixte.

9. Quelle affirmation distingue correctement la divergence du rotationnel d’un champ vectoriel en coordonnées cartésiennes ?

La divergence et le rotationnel donnent tous deux des champs scalaires.
La divergence et le rotationnel donnent tous deux des tenseurs d’ordre deux.
La divergence donne un vecteur, tandis que le rotationnel donne un scalaire.
La divergence donne un scalaire, tandis que le rotationnel donne un vecteur.

La divergence donne un scalaire, tandis que le rotationnel donne un vecteur.

Explication

La divergence contracte l’indice de dérivation avec celui du champ et produit donc un scalaire, alors que le rotationnel conserve une composante vectorielle. Confondre leurs natures revient à inverser précisément cette distinction.

10. Pour calculer le laplacien d’un champ vectoriel u⃗\vec u en coordonnées cartésiennes, quelle expression faut-il utiliser ?

∇2u⃗=∂2ui∂xj∂xje⃗i\nabla^2\vec u=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}\vec e_i
∇2u⃗=∂2ui∂xi∂xje⃗j\nabla^2\vec u=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_i\partial x_j}\vec e_j
∇2u⃗=∂2uj∂xi∂xie⃗j⊗e⃗i\nabla^2\vec u=\frac{\partial^2u_j}{\partial x_i\partial x_i}\vec e_j\otimes\vec e_i
∇2u⃗=∂ui∂xje⃗i⊗e⃗j\nabla^2\vec u=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec e_i\otimes\vec e_j

$$\nabla^2\vec u=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}\vec e_i$$

Explication

Le laplacien vectoriel s’obtient en appliquant le laplacien à chaque composante du champ, puis en recomposant le vecteur sur la base e⃗i\vec e_i. La deuxième expression correspond au gradient du champ, et les autres ne donnent pas la forme composante par composante attendue.

11. Quel objet mathématique représente le gradient d’un champ vectoriel dans un espace cartésien à trois dimensions ?

Un tenseur d’ordre trois formé par les dérivées secondes.
Un tenseur d’ordre deux contenant neuf dérivées partielles.
Un vecteur contenant trois dérivées partielles indépendantes.
Un scalaire obtenu par contraction des composantes du champ.

Un tenseur d’ordre deux contenant neuf dérivées partielles.

Explication

Le gradient d’un champ vectoriel rassemble les dérivées des trois composantes selon les trois coordonnées, soit neuf termes organisés en tenseur d’ordre deux. Le gradient d’un champ scalaire, en revanche, est un vecteur, ce qui explique la confusion fréquente.

12. Un solide tourne avec une vitesse angulaire Ω⃗\vec\Omega ; quelle relation donne son moment orbital à partir de son tenseur d’inertie I\mathbf I ?

L⃗=I⋅Ω⃗\vec L=\mathbf I\cdot\vec\Omega
L⃗=I×Ω⃗\vec L=\mathbf I\times\vec\Omega
L⃗=I⋅r⃗\vec L=\mathbf I\cdot\vec r
L⃗=ρI⋅Ω⃗\vec L=\rho\mathbf I\cdot\vec\Omega

$$\vec L=\mathbf I\cdot\vec\Omega$$

Explication

Le tenseur d’inertie relie directement le moment orbital à la vitesse de rotation par une contraction tensorielle, L⃗=I⋅Ω⃗\vec L=\mathbf I\cdot\vec\Omega. Le vecteur position intervient dans la définition intégrale de I\mathbf I, mais il ne remplace pas la vitesse angulaire dans cette relation.

13. Quelle relation décrit l’action du tenseur des contraintes sur une surface différentielle orientée dS⃗d\vec S ?

dF⃗=σ×dS⃗d\vec F=\boldsymbol\sigma\times d\vec S
dF⃗=dS⃗σd\vec F=\frac{d\vec S}{\boldsymbol\sigma}
dF⃗=σ⋅dS⃗d\vec F=\boldsymbol\sigma\cdot d\vec S
dF⃗=σ+dS⃗d\vec F=\boldsymbol\sigma+d\vec S

$$d\vec F=\boldsymbol\sigma\cdot d\vec S$$

Explication

Le tenseur des contraintes transforme le vecteur surface en force différentielle par contraction, selon dF⃗=σ⋅dS⃗d\vec F=\boldsymbol\sigma\cdot d\vec S. Un produit vectoriel ne représente pas ici l’action mécanique définie par le tenseur, et les deux autres opérations ne correspondent pas à cette loi.

14. Quelle propriété distingue un tenseur d’ordre deux de sa matrice de représentation ?

Le tenseur est indépendant de la base, tandis que sa matrice dépend de la base choisie.
Le tenseur et sa matrice changent tous deux d’objet lorsque la base est modifiée.
Le tenseur est défini par neuf nombres fixes, quelle que soit la base utilisée.
La matrice est indépendante de la base, tandis que le tenseur dépend des coordonnées choisies.

Le tenseur est indépendant de la base, tandis que sa matrice dépend de la base choisie.

Explication

Le tenseur représente une application géométrique indépendante du choix de base, alors que ses composantes matricielles changent lors d’un changement de base. Dire que neuf nombres restent fixes confond l’objet abstrait avec l’une de ses représentations.

15. Si v⃗=T⋅u⃗\vec v=\mathbf T\cdot\vec u, quelle écriture relie correctement les composantes et les vecteurs colonnes dans une base donnée ?

vi=Tijujv_i=T_{ij}u_j et V=TUV=TU
vi=Tjiujv_i=T_{ji}u_j et V=UTV=UT
vi=uiTjjv_i=u_iT_{jj} et V=T+UV=T+U
vi=Tijvjv_i=T_{ij}v_j et U=TVU=TV

$$v_i=T_{ij}u_j$$ et $$V=TU$$

Explication

La contraction indicielle s’écrit vi=Tijujv_i=T_{ij}u_j, tandis que la même transformation sur les vecteurs colonnes s’écrit V=TUV=TU. Inverser l’ordre des matrices ou remplacer la contraction par une trace ne traduit pas la relation donnée.

16. Pourquoi le produit tensoriel de deux vecteurs n’est-il généralement pas commutatif ?

Parce que l’ordre des vecteurs modifie seulement leur norme, pas le tenseur obtenu.
Parce que u⃗⊗v⃗\vec u\otimes\vec v et v⃗⊗u⃗\vec v\otimes\vec u produisent en général des tenseurs différents.
Parce que le produit tensoriel de deux vecteurs est toujours un vecteur nul.
Parce que le produit tensoriel est défini comme une opération scalaire symétrique.

Parce que $$\vec u\otimes\vec v$$ et $$\vec v\otimes\vec u$$ produisent en général des tenseurs différents.

Explication

Le produit tensoriel est bilinéaire mais son ordre des facteurs compte : échanger les vecteurs modifie généralement les composantes du tenseur d’ordre deux. Cette propriété le distingue d’une multiplication scalaire commutative et d’un simple produit de normes.

17. Soient deux vecteurs de composantes UU et VV ; quelle représentation matricielle correspond à leur produit tensoriel ?

S=U+VS=U+V, avec les composantes Sij=ui+vjS_{ij}=u_i+v_j
S=UTVS=U^TV, avec les composantes Sij=ujviS_{ij}=u_j v_i
S=UVTS=UV^T, avec les composantes Sij=uivjS_{ij}=u_i v_j
S=UTVS=U^TV, qui est un scalaire égal à uiviu_i v_i

$$S=UV^T$$, avec les composantes $$S_{ij}=u_i v_j$$

Explication

Le produit tensoriel place le premier vecteur sur le premier indice et le second sur le deuxième, ce qui donne Sij=uivjS_{ij}=u_i v_j et la matrice UVTUV^T. Le produit scalaire, en revanche, produit un nombre et non une matrice.

18. Quelle condition caractérise un tenseur d’ordre deux symétrique ?

Tij=−TjiT_{ij}=-T_{ji} pour tous les indices
Tij=TiiT_{ij}=T_{ii} pour tous les indices
Tij=0T_{ij}=0 dès que i≠ji\ne j
Tij=TjiT_{ij}=T_{ji} pour tous les indices

$$T_{ij}=T_{ji}$$ pour tous les indices

Explication

La symétrie signifie que la transposée ne change pas le tenseur, soit TT=T\mathbf T^T=\mathbf T, ce qui équivaut à Tij=TjiT_{ij}=T_{ji}. La relation avec un signe moins caractérise plutôt une antisymétrie.

19. Quelle propriété possède la trace d’un tenseur d’ordre deux lorsqu’on change de base orthonormée ?

Elle reste inchangée et vaut T11+T22+T33T_{11}+T_{22}+T_{33}
Elle dépend des vecteurs propres choisis dans la nouvelle base
Elle est remplacée par la somme des éléments hors diagonale
Elle devient nulle dès que la base orthonormée est tournée

Elle reste inchangée et vaut $$T_{11}+T_{22}+T_{33}$$

Explication

La trace est la somme des éléments diagonaux, tr⁡(T)=Tii=T11+T22+T33\operatorname{tr}(\mathbf T)=T_{ii}=T_{11}+T_{22}+T_{33} en dimension trois, et elle est indépendante de la base orthonormée. Un changement de base modifie certaines composantes, mais pas cette quantité.

20. Comment construit-on un tenseur d’ordre supérieur à partir de vecteurs ?

Par multiplication matricielle de vecteurs, qui impose un ordre associatif et commutatif
Par produit tensoriel de plusieurs vecteurs, avec un produit associatif mais non commutatif
Par produit scalaire de plusieurs vecteurs, qui conserve tous leurs indices
Par addition de plusieurs vecteurs, avec une opération commutative mais non associative

Par produit tensoriel de plusieurs vecteurs, avec un produit associatif mais non commutatif

Explication

Un tenseur d’ordre supérieur est construit par produit tensoriel de plusieurs vecteurs. Cette opération permet de regrouper les facteurs grâce à l’associativité, mais leur ordre ne peut pas être modifié car elle n’est pas commutative.

21. Combien de composantes possède un tenseur d’ordre trois dans un espace de dimension trois ?

3!=63!=6
32=93^2=9
3+3+3=93+3+3=9
33=273^3=27

$$3^3=27$$

Explication

Un tenseur d’ordre trois s’écrit avec trois indices, chacun pouvant prendre trois valeurs, donc il possède 33=273^3=27 composantes. Le nombre 323^2 correspondrait à un tenseur d’ordre deux dans le même espace.

22. Quel est le résultat du produit contracté T:S\mathbf T:\mathbf S entre deux tenseurs d’ordre deux ?

Un vecteur égal à TijSjT_{ij}S_j
Un scalaire égal à TijSijT_{ij}S_{ij}
Une matrice diagonale formée des seuls termes TiiSiiT_{ii}S_{ii}
Un tenseur d’ordre deux égal à TijSjkT_{ij}S_{jk}

Un scalaire égal à $$T_{ij}S_{ij}$$

Explication

Le produit contracté additionne les produits des composantes correspondantes, T:S=TijSij\mathbf T:\mathbf S=T_{ij}S_{ij}, et donne donc un scalaire. La contraction matricielle avec un indice restant, comme TijSjkT_{ij}S_{jk}, produit au contraire un tenseur d’ordre deux.

23. Que peut produire la contraction d’un tenseur d’ordre trois SijkS_{ijk} avec un vecteur uu lorsque l’indice contracté est jj ?

Le tenseur d’ordre deux Vik=SijkujV_{ik}=S_{ijk}u_j
Le scalaire V=SijkuiujukV=S_{ijk}u_i u_j u_k
Le tenseur d’ordre deux Vij=SijkukV_{ij}=S_{ijk}u_k
Le tenseur d’ordre deux Vjk=SijkuiV_{jk}=S_{ijk}u_i

Le tenseur d’ordre deux $$V_{ik}=S_{ijk}u_j$$

Explication

Lorsque la contraction porte sur l’indice jj, celui-ci disparaît et les indices restants sont ii et kk, d’où Vik=SijkujV_{ik}=S_{ijk}u_j. Les deux autres expressions contractent respectivement les indices kk ou ii.

24. Quelle relation relie deux bases orthonormées par une matrice RR ?

ek′=Rkiei\mathbf e'_k=R_{ki}\mathbf e_i et RRT=0RR^T=0
ek′=Rkiei\mathbf e'_k=R_{ki}\mathbf e_i et RRT=IRR^T=I
ek′=Rikei\mathbf e'_k=R_{ik}\mathbf e_i et R+RT=IR+R^T=I
ek′=Rkiei\mathbf e'_k=R_{ki}\mathbf e_i et R2=0R^2=0

$$\mathbf e'_k=R_{ki}\mathbf e_i$$ et $$RR^T=I$$

Explication

Le changement entre deux bases orthonormées s’écrit ek′=Rkiei\mathbf e'_k=R_{ki}\mathbf e_i, où la matrice vérifie la condition d’orthogonalité RRT=IRR^T=I. Les autres relations ne caractérisent pas une matrice de changement de base orthonormée.

25. Comment les composantes d’un tenseur d’ordre deux se transforment-elles lors d’un changement de base orthonormée ?

T′=RTRTT'=RTR^T, soit Tkl′=RkiRljTijT'_{kl}=R_{ki}R_{lj}T_{ij}
T′=R+T+RTT'=R+T+R^T, par addition des matrices
T′=RTT'=RT, soit Tkl′=RkiTilT'_{kl}=R_{ki}T_{il}
T′=RTRT'=R^TR, indépendamment des composantes de TT

$$T'=RTR^T$$, soit $$T'_{kl}=R_{ki}R_{lj}T_{ij}$$

Explication

Chaque indice du tenseur est transformé par une matrice de changement de base, ce qui donne Tkl′=RkiRljTijT'_{kl}=R_{ki}R_{lj}T_{ij} et matriciellement T′=RTRTT'=RTR^T. Une simple multiplication à gauche ne transforme qu’un seul indice et ne convient pas à un tenseur d’ordre deux.

26. Quelle propriété définit un tenseur isotrope dans l’espace euclidien ?

Il conserve la même valeur pour chaque composante individuelle
Il devient nul après toute rotation de la base
Il possède des composantes diagonales dans une base orthonormée donnée
Il possède la même matrice dans toutes les bases orthonormées

Il possède la même matrice dans toutes les bases orthonormées

Explication

Un tenseur isotrope, ou invariant, a la même représentation matricielle dans toutes les bases orthonormées. Le fait d’être diagonal dans une base particulière ne garantit pas que la matrice reste identique après un changement de base.

27. Quelle expression donne la partie isotrope d’un tenseur d’ordre deux T\mathbf T ?

Tiso=tr⁡(T)T\mathbf T_{iso}=\operatorname{tr}(\mathbf T)\mathbf T
Tiso=3tr⁡(T)1\mathbf T_{iso}=3\operatorname{tr}(\mathbf T)\mathbf 1
Tiso=13T1\mathbf T_{iso}=\frac{1}{3}\mathbf T\mathbf 1
Tiso=13tr⁡(T)1\mathbf T_{iso}=\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\mathbf T)\mathbf 1

$$\mathbf T_{iso}=\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\mathbf T)\mathbf 1$$

Explication

La partie isotrope est le tenseur unité multiplié par la trace moyenne, soit Tiso=13tr⁡(T)1\mathbf T_{iso}=\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\mathbf T)\mathbf 1 en dimension trois. Le facteur 13\frac{1}{3} est nécessaire pour répartir la trace sur les trois directions.

28. Quelle propriété permet de diagonaliser orthogonalement un tenseur d’ordre 2 symétrique ?

Il possède une base propre orthonormée et vérifie S′=RSRTS'=RSR^T.
Il admet une décomposition triangulaire dans une base non orthogonale.
Il possède une base propre quelconque et vérifie S′=R−1SRS'=R^{-1}SR.
Il est nécessairement diagonal dans la base cartésienne initiale.

Il possède une base propre orthonormée et vérifie $$S'=RSR^T$$.

Explication

Un tenseur d’ordre 2 symétrique admet une base propre orthonormée, ce qui permet une diagonalisation par une matrice orthogonale RR. Une diagonalisation semblable générale ne traduit pas nécessairement l’orthogonalité de la base propre.

29. Que peut-on affirmer à propos des valeurs propres d’un tenseur d’ordre 2 symétrique ?

Elles sont positives et correspondent aux termes hors diagonale.
Elles sont nulles et correspondent aux vecteurs propres normalisés.
Elles sont complexes et correspondent aux coefficients diagonaux initiaux.
Elles sont réelles et correspondent aux racines du polynôme caractéristique.

Elles sont réelles et correspondent aux racines du polynôme caractéristique.

Explication

Les valeurs propres d’un tenseur symétrique sont les racines de son polynôme caractéristique et sont toutes réelles. La symétrie n’impose toutefois pas qu’elles soient positives ou nulles.

30. Dans quel ordre construit-on une base propre orthonormée pour un tenseur symétrique ?

Normaliser la matrice, calculer les vecteurs propres, puis rechercher les valeurs propres.
Calculer les vecteurs propres, dériver le tenseur, puis diagonaliser les valeurs propres.
Calculer les valeurs propres, trouver les vecteurs propres, puis normaliser ces vecteurs.
Diagonaliser le tenseur, calculer son polynôme, puis choisir des vecteurs quelconques.

Calculer les valeurs propres, trouver les vecteurs propres, puis normaliser ces vecteurs.

Explication

La construction consiste d’abord à calculer les valeurs propres, puis les vecteurs propres associés, avant de normaliser ces vecteurs pour former une matrice orthogonale. Normaliser une matrice avant de déterminer ses vecteurs propres ne réalise pas cette procédure.

31. Quelle caractéristique définit un champ tensoriel ?

Il associe un tenseur à chaque point de l’espace.
Il décrit une matrice fixe indépendante de la position.
Il associe un vecteur constant à chaque direction de l’espace.
Il attribue une valeur scalaire unique à tout le domaine.

Il associe un tenseur à chaque point de l’espace.

Explication

Un champ tensoriel dépend de la position et associe à chaque point un tenseur d’ordre donné. Une matrice fixe indépendante du point représente plutôt un tenseur constant.

32. Quelle expression représente un champ tensoriel d’ordre 2 en coordonnées cartésiennes ?

T=Ti(x1,x2,x3)ei\mathbf T=T_i(x_1,x_2,x_3)\mathbf e_i
T=Tijei⊗ej\mathbf T=T_{ij}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j
T=∂Ti∂xjei\mathbf T=\frac{\partial T_i}{\partial x_j}\mathbf e_i
T=Tij(x1,x2,x3)ei⊗ej\mathbf T=T_{ij}(x_1,x_2,x_3)\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j

$$\mathbf T=T_{ij}(x_1,x_2,x_3)\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j$$

Explication

Un champ tensoriel d’ordre 2 possède des composantes TijT_{ij} qui dépendent des coordonnées et se développe sur les produits tensoriels ei⊗ej\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j. Une expression comportant une seule base vectorielle décrit un objet d’ordre inférieur.

33. Quel est l’ordre tensoriel du gradient d’un champ vectoriel ?

Le gradient est un tenseur d’ordre 3, défini par dF=∇F⊗drd\mathbf F=\nabla\mathbf F\otimes d\mathbf r.
Le gradient est un scalaire, défini par dF=∇F+drd\mathbf F=\nabla\mathbf F+d\mathbf r.
Le gradient est un tenseur d’ordre 2, défini par dF=∇F⋅drd\mathbf F=\nabla\mathbf F\cdot d\mathbf r.
Le gradient est un vecteur, défini par dF=∇F×drd\mathbf F=\nabla\mathbf F\times d\mathbf r.

Le gradient est un tenseur d’ordre 2, défini par $$d\mathbf F=\nabla\mathbf F\cdot d\mathbf r$$.

Explication

Le gradient transforme un déplacement infinitésimal en variation du champ vectoriel et constitue donc un tenseur d’ordre 2. Le champ vectoriel lui-même est d’ordre 1, ce qui explique la confusion fréquente.

34. Pour un champ vectoriel F\mathbf F en coordonnées cartésiennes, quelle relation donne les composantes de son gradient ?

(∇F)ij=∂Fi∂xj(\nabla F)_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}
(∇F)ij=∂xi∂Fj(\nabla F)_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial F_j}
(∇F)ij=∂Fj∂xi(\nabla F)_{ij}=\frac{\partial F_j}{\partial x_i}
(∇F)ij=FiFj(\nabla F)_{ij}=F_iF_j

$$(\nabla F)_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$$

Explication

La composante d’indice i,ji,j du gradient est la dérivée de la composante FiF_i par rapport à la coordonnée xjx_j. Inverser les indices décrit une autre disposition des dérivées et ne correspond pas à la convention donnée.

35. Pourquoi la dérivée d’un tenseur en coordonnées curvilignes ne se réduit-elle pas à la dérivée de sa matrice de composantes ?

Parce que les tenseurs curvilignes ne possèdent pas de composantes.
Parce que les coordonnées curvilignes imposent une base cartésienne fixe.
Parce que les vecteurs de base varient eux-mêmes avec la position.
Parce que les composantes sont indépendantes des coordonnées curvilignes.

Parce que les vecteurs de base varient eux-mêmes avec la position.

Explication

En coordonnées curvilignes orthogonales, la base dépend de la position, et sa variation contribue donc à la dérivée du tenseur. Traiter la base comme fixe négligerait ces termes géométriques.

36. Que représente le symbole GijkG^k_{ij} dans une base curviligne ?

La dérivée de la composante k du champ par rapport à uiu_i.
Le facteur d’échelle associé à la coordonnée uju_j.
La composante i de la dérivée de euk\mathbf e_{u_k} par rapport à uju_j.
La composante k de la dérivée de eui\mathbf e_{u_i} par rapport à uju_j.

La composante k de la dérivée de $$\mathbf e_{u_i}$$ par rapport à $$u_j$$.

Explication

Par définition, ∂eui∂uj=Gijkeuk\frac{\partial\mathbf e_{u_i}}{\partial u_j}=G^k_{ij}\mathbf e_{u_k}, donc GijkG^k_{ij} mesure la composante k de la variation de la base. Les dérivées des composantes du champ décrivent une autre contribution.

37. Quelle formule donne les composantes du gradient d’un champ vectoriel en coordonnées curvilignes orthogonales, sans sommation sur j ?

(∇F)ij=1hi(∂Fj∂ui+GkijFk)(\nabla F)_{ij}=\frac{1}{h_i}\left(\frac{\partial F_j}{\partial u_i}+G^j_{ki}F_k\right)
(∇F)ij=1hj(∂Fi∂uj+GkjiFk)(\nabla F)_{ij}=\frac{1}{h_j}\left(\frac{\partial F_i}{\partial u_j}+G^i_{kj}F_k\right)
(∇F)ij=∂Fi∂uj+hjGkjiFk(\nabla F)_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial u_j}+h_jG^i_{kj}F_k
(∇F)ij=hj(∂Fi∂uj+GkjiFk)(\nabla F)_{ij}=h_j\left(\frac{\partial F_i}{\partial u_j}+G^i_{kj}F_k\right)

$$(\nabla F)_{ij}=\frac{1}{h_j}\left(\frac{\partial F_i}{\partial u_j}+G^i_{kj}F_k\right)$$

Explication

Le gradient curviligne comporte le facteur d’échelle inverse 1/hj1/h_j et le terme de variation de la base GkjiFkG^i_{kj}F_k. La formule cartésienne ne contient ni ces facteurs d’échelle ni ces symboles géométriques.

38. Quelle propriété distingue le tenseur de déformation infinitésimale du gradient du déplacement ?

Il est symétrique par construction, contrairement au gradient général
Il est antisymétrique par construction, comme une rotation locale
Il coïncide avec le gradient dès que le déplacement varie dans l’espace
Il ne dépend que de la partie volumique du déplacement

Il est symétrique par construction, contrairement au gradient général

Explication

Le tenseur de déformation infinitésimale est obtenu en symétrisant le gradient du déplacement, ce qui le rend symétrique. Le gradient du déplacement peut toutefois comporter une partie antisymétrique associée à une rotation locale.

39. Pour calculer la force totale exercée par les contraintes sur une surface fermée, quelle expression volumique peut être utilisée ?

∫Vσ dV\int_V\boldsymbol\sigma\,dV
∫V∇⋅σ dV\int_V\nabla\cdot\boldsymbol\sigma\,dV
∫Vσ⋅dS\int_V\boldsymbol\sigma\cdot d\mathbf S
∮S∇⋅σ dS\oint_S\nabla\cdot\boldsymbol\sigma\,dS

$$\int_V\nabla\cdot\boldsymbol\sigma\,dV$$

Explication

Le théorème de la divergence transforme le flux du tenseur des contraintes à travers la surface fermée en l’intégrale volumique de sa divergence. L’intégrale de σ\boldsymbol\sigma sans divergence ne représente pas cette force totale.

40. Une région contient une charge volumique ρe\rho_e animée d’une vitesse v\mathbf v dans des champs E\mathbf E et B\mathbf B. Quelle expression donne sa densité de force électromagnétique ?

f=ρeE+v×B\mathbf f=\rho_e\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B
f=ρeE+ρev×B\mathbf f=\rho_e\mathbf E+\rho_e\mathbf v\times\mathbf B
f=ρeB+ρev×E\mathbf f=\rho_e\mathbf B+\rho_e\mathbf v\times\mathbf E
f=ρe(E+B)+v\mathbf f=\rho_e(\mathbf E+\mathbf B)+\mathbf v

$$\mathbf f=\rho_e\mathbf E+\rho_e\mathbf v\times\mathbf B$$

Explication

La force de Lorentz s’écrit f=ρeE+J×B\mathbf f=\rho_e\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B, et la relation J=ρev\mathbf J=\rho_e\mathbf v donne l’expression proposée. Le terme électrique dépend directement de E\mathbf E, tandis que le terme magnétique dépend du courant et de B\mathbf B.

41. Dans le vide sans charges électriques, quelle relation exprime la conservation de la quantité de mouvement électromagnétique ?

∇⋅σ=c2∂tS\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=c^2\partial_t\mathbf S avec S=E⋅B\mathbf S=\mathbf E\cdot\mathbf B
∇⋅σ=1c∂tS\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\frac{1}{c}\partial_t\mathbf S avec S=E×B\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B
∇⋅σ=∂tS\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\partial_t\mathbf S avec S=E+B\mathbf S=\mathbf E+\mathbf B
∇⋅σ=1c2∂tS\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbf S avec S=E×B\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B

$$\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbf S$$ avec $$\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B$$

Explication

Dans le vide sans charges, la divergence du tenseur des contraintes est reliée à la dérivée temporelle du vecteur de Poynting par ∇⋅σ=1c2∂tS\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbf S, où S=E×B\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B. Les autres expressions modifient soit le facteur de propagation, soit la définition du vecteur associé.

Révisez avec les flashcards

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Que signifie un indice présent une fois en dimension trois ?

Il est libre et varie de 1 à 3.

Que signifie un indice répété deux fois en dimension trois ?

Il implique une somme de 1 à 3.

Combien de fois un indice peut-il apparaître dans une même expression indicielle ?

Il ne doit jamais apparaître plus de deux fois.

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