Fiche de révision : Calcul indiciel et tenseurs

📋 Plan du Cours

1. Convention de sommation indicielle
2. Symboles de Kronecker et Levi-Civita
3. Algèbre vectorielle indicielle
4. Opérateurs différentiels et intégration
5. Applications physiques des tenseurs
6. Tenseurs d’ordre deux
7. Produits tensoriels et contractions
8. Tenseurs d’ordre supérieur
9. Changements de base et invariants
10. Diagonalisation des tenseurs symétriques
11. Champs tensoriels cartésiens
12. Coordonnées curvilignes orthogonales
13. Applications et travaux dirigés

📖 1. Convention de sommation indicielle

★ À maîtriser

📌 En dimension trois, un indice présent une fois est libre et varie de 1 à 3, tandis qu’un indice répété deux fois implique une somme de 1 à 3.

📌 Un indice ne doit jamais apparaître plus de deux fois dans une même expression indicielle.

• Lors d’une substitution indicielle, il faut renommer un indice muet afin d’éviter qu’un même indice apparaisse plus de deux fois.

Compléments

• La décomposition d’un vecteur sur une base orthonormée s’écrit $\vec u=u_j\vec e_j$, ce qui représente la somme des trois termes $u_1\vec e_1+u_2\vec e_2+u_3\vec e_3$.

💡 Astuce mémo

Indice libre = résultat ; indice répété = somme

📖 2. Symboles de Kronecker et Levi-Civita

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole de Kronecker : Le symbole de Kronecker vérifie $\delta_{ij}=1$ si $i=j$ et $\delta_{ij}=0$ si $i\ne j$.
• Symbole de Levi-Civita : Le symbole de Levi-Civita vaut $+1$ pour les permutations cycliques 123, 231 et 312, $-1$ pour les permutations antic cycliques 132, 213 et 321, et 0 dans tous les autres cas.

★ À maîtriser

📐 Formule — La contraction de deux symboles de Levi-Civita vérifie $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$.

Compléments

📌 Une permutation de deux indices change le signe du symbole de Levi-Civita, tandis qu’une permutation cyclique conserve son signe.

💡 Astuce mémo

Kronecker sélectionne ; Levi-Civita oriente

📖 3. Algèbre vectorielle indicielle

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base orthonormée, le produit scalaire s’écrit $\vec u\cdot\vec v=u_i v_i$.

📐 Formule — Dans une base orthonormée orientée positivement, le produit vectoriel s’écrit $\vec u\times\vec v=\epsilon_{ijk}u_jv_k\vec e_i$.

Compléments

📐 Formule — Le produit mixte de trois vecteurs vérifie $(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w=\epsilon_{ijk}u_i v_j w_k$.

📐 Formule — Le changement entre deux bases orthonormées reliées par une matrice orthogonale vérifie $u_i=R_{ik}u'_k$ et $u'_k=R^T_{ki}u_i$.

💡 Astuce mémo

Projection → scalaire → vectoriel → mixte

📖 4. Opérateurs différentiels et intégration

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, les opérateurs différentiels principaux sont $\vec\nabla=\vec e_i\frac{\partial}{\partial x_i}$, $\vec\nabla\cdot\vec u=\frac{\partial u_i}{\partial x_i}$ et $\vec\nabla\times\vec u=\epsilon_{ijk}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\vec e_i$.

📐 Formule — Le laplacien d’un champ scalaire et celui d’un champ vectoriel s’écrivent respectivement $\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_j}$ et $\nabla^2\vec u=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}\vec e_i$.

Compléments

📐 Formule — Les théorèmes d’intégration s’écrivent $\oint_S F_k\,dS_k=\int_V\frac{\partial F_k}{\partial x_k}\,dV$ pour la divergence, $\oint_S f\,dS_k=\int_V\frac{\partial f}{\partial x_k}\,dV$ pour le gradient, et $\oint_C F_k\,dx_k=\iint_S\epsilon_{ijk}\frac{\partial F_k}{\partial x_j}\,dS_i$ pour Stokes.

📖 5. Applications physiques des tenseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur gradient : Le gradient d’un champ vectoriel est un tenseur représenté en coordonnées cartésiennes par une matrice contenant les neuf dérivées partielles des trois composantes du champ selon les trois coordonnées.
• Tenseur d’inertie : Le tenseur d’inertie d’un solide de masse volumique $\rho$ est $\mathbf I=\int_V\rho(\vec r\otimes\vec r-\|\vec r\|^2\mathbf 1)\,dV$ et relie le moment orbital à la vitesse de rotation par $\vec L=\mathbf I\cdot\vec\Omega$.
• Tenseur des contraintes : Le tenseur des contraintes relie la force interne différentielle à la surface différentielle par $d\vec F=\boldsymbol\sigma\cdot d\vec S$ et possède la dimension d’une force par unité de surface.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un fluide parfait, le tenseur des contraintes est isotrope et vaut $\boldsymbol\sigma=-p\mathbf 1$.

📐 Formule — En élasticité linéaire, le tenseur de déformation infinitésimal vaut $\boldsymbol\epsilon=\frac12(\nabla\vec D+\nabla\vec D^T)$.

📖 6. Tenseurs d’ordre deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur d’ordre deux : Un tenseur d’ordre deux peut être défini comme une application linéaire qui associe à chaque vecteur d’un espace un vecteur image et respecte les combinaisons linéaires.
• Produit tensoriel : Le produit tensoriel $\vec u\otimes\vec v$ est bilinéaire et non commutatif, de sorte que $\vec u\otimes\vec v\ne\vec v\otimes\vec u$ en général.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $\vec v=\mathbf T\cdot\vec u$, alors ses composantes vérifient $v_i=T_{ij}u_j$ et les vecteurs colonnes vérifient $V=TU$.

Compléments

📐 Formule — L’espace tensoriel d’ordre deux en dimension trois possède une base de neuf produits $\vec e_i\otimes\vec e_j$ et tout tenseur s’écrit $\mathbf T=T_{ij}\vec e_i\otimes\vec e_j$.

💡 Astuce mémo

Objet indépendant de la base ; matrice dépendante de la base

📖 7. Produits tensoriels et contractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur symétrique : Un tenseur est symétrique si $\mathbf T^T=\mathbf T$, ce qui équivaut à $T_{ij}=T_{ji}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit tensoriel de deux vecteurs possède les composantes $S_{ij}=u_i v_j$ et sa matrice de représentation est $S=UV^T$.

📐 Formule — La trace d’un tenseur d’ordre deux est $\operatorname{tr}(\mathbf T)=T_{ii}=T_{11}+T_{22}+T_{33}$ et elle est indépendante de la base orthonormée choisie.

📐 Formule — La contraction à droite d’un tenseur avec un vecteur vérifie $\mathbf T\cdot\vec u=T_{ij}u_j\vec e_i$ et correspond matriciellement à $V=TU$.

Compléments

📐 Formule — Tout tenseur d’ordre deux se décompose en une partie symétrique et une partie antisymétrique selon $\mathbf T=\frac12(\mathbf T+\mathbf T^T)+\frac12(\mathbf T-\mathbf T^T)$.

📐 Formule — La contraction de deux tenseurs d’ordre deux vérifie $W_{ik}=T_{ij}S_{jk}$ et correspond au produit matriciel $W=TS$.

📐 Formule — La double contraction de deux tenseurs d’ordre deux donne le scalaire $\mathbf T:\mathbf S=T_{ij}S_{ij}$.

💡 Astuce mémo

Produit tensoriel → contraction simple → double contraction

📖 8. Tenseurs d’ordre supérieur

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur d’ordre supérieur : Un tenseur d’ordre supérieur est construit par produit tensoriel de plusieurs vecteurs, le produit tensoriel étant associatif mais non commutatif.
• Tenseur d’ordre supérieur : Superposition de produits tensoriels de n vecteurs, obtenue en utilisant l’associativité du produit tensoriel, qui reste non commutatif.

★ À maîtriser

📐 Formule — En dimension trois, un tenseur d’ordre trois s’écrit $\mathbf S=S_{ijk}\vec e_i\otimes\vec e_j\otimes\vec e_k$ et possède $3^3=27$ composantes.

📐 Formule — Le produit contracté de deux tenseurs d’ordre 2 vérifie $\mathbf{T}:\mathbf{S}=T_{ij}S_{ij}$, ce qui correspond aussi à la trace de $\mathbf{T}\mathbf{S}^{T}$ ou à la somme des produits élément par élément de leurs matrices.

• Dans un espace tridimensionnel, les produits $\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j\otimes\mathbf e_k$ forment une base orthonormée de l’espace des tenseurs d’ordre 3, qui possède $3^3=27$ dimensions.

📐 Formule — La contraction d’un tenseur d’ordre 3 avec un vecteur peut donner, selon l’indice contracté, $T_{ij}=S_{ijk}u_k$, $V_{ik}=S_{ijk}u_j$ ou $W_{jk}=S_{ijk}u_i$.

Compléments

📐 Formule — En dimension trois, un tenseur d’ordre quatre possède une base de $3^4=81$ produits tensoriels et ses composantes sont indexées par quatre indices.

📐 Formule — Un tenseur d’ordre 3 s’écrit $\mathbf S=S_{ijk}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j\otimes\mathbf e_k$, où les composantes sont indexées par trois indices.

📐 Formule — La double contraction d’un tenseur d’ordre 4 avec un tenseur d’ordre 2, définie par $\sigma_{ij}=E_{ijkl}\epsilon_{kl}$, produit un tenseur d’ordre 2.

💡 Astuce mémo

Ordre 2 : 9 composantes ; ordre 3 : 27 ; ordre 4 : 81

📖 9. Changements de base et invariants

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur isotrope : Possède la même représentation matricielle dans toutes les bases orthonormées.

★ À maîtriser

📌 Deux bases orthonormées sont reliées par une matrice orthogonale R vérifiant $\mathbf e'_k=R_{ki}\mathbf e_i$ et $RR^T=I$.

📐 Formule — Les composantes d’un tenseur d’ordre 2 se transforment selon $T'_{kl}=R_{ki}R_{lj}T_{ij}$, ou matriciellement selon $T'=RTR^T$.

📐 Formule — Tout multiple du tenseur unité d’ordre 2 est isotrope et le tenseur unité s’écrit $\mathbf 1=\delta_{ij}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j$, avec une matrice égale à I dans toute base orthonormée.

Compléments

📐 Formule — Pour un tenseur d’ordre 3, la transformation des composantes est $T'_{lmn}=R_{li}R_{mj}R_{nk}T_{ijk}$.

📐 Formule — La partie isotrope d’un tenseur d’ordre 2 est $\mathbf T_{iso}=\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\mathbf T)\mathbf 1$.

• Le pseudo-tenseur antisymétrique d’ordre 3 $\eta=\epsilon_{ijk}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j\otimes\mathbf e_k$ se transforme avec le facteur $\det(R)$ et est invariant pour les rotations d’orientation identique.

💡 Astuce mémo

Base quelconque : composantes changent ; tenseur invariant : représentation inchangée

📖 10. Diagonalisation des tenseurs symétriques

★ À maîtriser

📌 Tout tenseur d’ordre 2 symétrique peut être diagonalisé dans une base propre au moyen d’une matrice orthogonale R, selon $S'=RSR^T=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$.

• Les valeurs propres d’un tenseur d’ordre 2 symétrique sont les racines de son polynôme caractéristique et sont toutes réelles.

• Pour construire la base propre d’un tenseur symétrique, il faut calculer ses valeurs propres, déterminer les vecteurs propres associés, puis normaliser ces vecteurs afin d’obtenir une matrice R orthogonale.

Compléments

• En physique, la base propre d’un tenseur symétrique fournit les axes principaux, comme les axes d’inertie ou les axes d’étirement et de compression.

💡 Astuce mémo

Symétrie → valeurs propres réelles → base propre diagonale

📖 11. Champs tensoriels cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ tensoriel : Un champ tensoriel associe à chaque point de l’espace un tenseur d’ordre 2, 3, 4 ou supérieur.
• Gradient d’un champ vectoriel : Tenseur d’ordre 2 défini intrinsèquement par $d\mathbf F=\nabla\mathbf F\cdot d\mathbf r$.
• Divergence d’un champ tensoriel : Champ vectoriel défini en coordonnées cartésiennes par $\nabla\cdot\mathbf\sigma=\mathbf e_i\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, un champ tensoriel d’ordre 2 s’écrit $\mathbf T=T_{ij}(x_1,x_2,x_3)\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j$.

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, les composantes du gradient d’un champ vectoriel vérifient $(\nabla F)_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$.

📖 12. Coordonnées curvilignes orthogonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole G : Défini par $\frac{\partial\mathbf e_{u_i}}{\partial u_j}=G^k_{ij}\mathbf e_{u_k}$, il représente la composante k de la dérivée du vecteur de base i par rapport à la coordonnée j.

★ À maîtriser

📌 En coordonnées curvilignes orthogonales, les vecteurs de la base dépendent de la position, de sorte que dériver la matrice des composantes ne suffit pas pour dériver le tenseur.

📐 Formule — Les composantes du gradient d’un champ vectoriel en coordonnées curvilignes orthogonales sont $(\nabla F)_{ij}=\frac{1}{h_j}\left(\frac{\partial F_i}{\partial u_j}+G^i_{kj}F_k\right)$, sans sommation sur j.

Compléments

📐 Formule — L’élément de ligne en coordonnées curvilignes orthogonales est $d\mathbf r=h_u\mathbf e_u\,du+h_v\mathbf e_v\,dv+h_w\mathbf e_w\,dw$.

• En coordonnées cylindriques, les seuls symboles G non nuls cités sont $G^\theta_{r\theta}=1$ et $G^r_{\theta\theta}=-1$.

📐 Formule — La divergence d’un champ tensoriel d’ordre 2 en coordonnées curvilignes orthogonales vaut $\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\frac{1}{h_uh_vh_w}\left[\frac{\partial}{\partial u}(h_vh_w\mathbf e_{u_i}\sigma_{iu})+\frac{\partial}{\partial v}(h_wh_u\mathbf e_{u_i}\sigma_{iv})+\frac{\partial}{\partial w}(h_uh_v\mathbf e_{u_i}\sigma_{iw})\right]$.

💡 Astuce mémo

Base variable → dérivées supplémentaires → symboles G

📖 13. Applications et travaux dirigés

★ À maîtriser

📐 Formule — Le tenseur de déformation infinitésimale est défini par $\boldsymbol\epsilon=\frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf D+(\nabla\mathbf D)^T\right)$ et est symétrique.

📐 Formule — La force totale exercée par un tenseur de contraintes sur une surface fermée vérifie $\mathbf F=\oint_S\boldsymbol\sigma\cdot d\mathbf S=\int_V\nabla\cdot\boldsymbol\sigma\,dV$.

📐 Formule — La densité de force électromagnétique, ou force de Lorentz, est $\mathbf f=\rho_e\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B$, avec $\mathbf J=\rho_e\mathbf v$.

📐 Formule — Dans le vide sans charges électriques, la conservation de la quantité de mouvement électromagnétique s’écrit $\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\frac{1}{c^2}\partial_t\mathbf S$, avec $\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf B$ et $\epsilon_0\mu_0=1/c^2$.

Compléments

📐 Formule — Le tenseur des contraintes de Maxwell est $\boldsymbol\sigma=\epsilon_0\left(\mathbf E\otimes\mathbf E-\frac{\|\mathbf E\|^2}{2}\mathbf 1\right)+\frac{1}{\mu_0}\left(\mathbf B\otimes\mathbf B-\frac{\|\mathbf B\|^2}{2}\mathbf 1\right)$.

📊 Tableaux de synthèse

Types de tenseurs physiques

Opérations différentielles tensorielles