Transformer un produit en une somme algébrique
Explication
Développer consiste à transformer un produit en une somme algébrique. L’opération inverse, qui transforme une somme en produit, est la factorisation.
\(7-3x+2\)
Explication
Le signe « − » placé devant la parenthèse inverse tous les signes à l’intérieur : \(3x\) devient \(-3x\) et \(-2\) devient \(+2\).
\(8x-12\)
Explication
La distributivité donne \(k(a+b)=ka+kb\). Ainsi, \(4(2x-3)=4\times2x+4\times(-3)=8x-12\).
\(3x^2-5x+6x-10\)
Explication
La double distributivité produit les quatre termes : \(x\cdot3x+x\cdot(-5)+2\cdot3x+2\cdot(-5)\), soit \(3x^2-5x+6x-10\).
Transformer une somme en un produit
Explication
Factoriser consiste à transformer une somme en un produit, généralement en mettant un facteur commun en évidence.
\(6(x+y)\)
Explication
Le facteur commun est \(6\), donc \(6x+6y=6(x+y)\). Cette transformation applique la règle \(ka+kb=k(a+b)\).
Ajouter 5 aux deux membres
Explication
Ajouter le même nombre aux deux membres conserve les solutions. On obtient ainsi \(3x=15\), sans modifier l’ensemble des solutions.
Parce que 4 est non nul, contrairement à 0
Explication
La multiplication ou la division des deux membres par un nombre non nul conserve les solutions. La division par zéro est interdite, quelle que soit l’équation.
Développer, réduire, regrouper les termes, puis isoler l’inconnue
Explication
La résolution suit les étapes suivantes : développer les parenthèses, réduire chaque membre, regrouper les termes en \(x\) et les constantes, puis isoler l’inconnue en appliquant chaque opération aux deux membres.
Lorsqu’au moins l’un de ses facteurs est nul
Explication
Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Il n’est donc pas nécessaire que tous les facteurs s’annulent.
\(x=-1\), car le numérateur est nul et le dénominateur ne l’est pas
Explication
Un quotient \(\frac{a}{b}\), avec \(b\ne0\), est nul lorsque son numérateur est nul. Ici, \(x=-1\) annule le numérateur et respecte la condition \(x\ne0\).
Leur somme est encore un multiple de \(a\)
Explication
La somme de deux multiples de \(a\) est encore un multiple de \(a\). Cette propriété ne s’étend pas automatiquement à la somme d’un multiple de \(a\) et d’un nombre quelconque.
\(k\) et \(k'\) doivent être des entiers relatifs
Explication
Si \(k\) et \(k'\) sont des entiers relatifs, alors \(b+b'=ka+k'a=a(k+k')\), et cette expression est un multiple de \(a\). Des coefficients quelconques ne suffisent pas à garantir cette conclusion.
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Que permet le signe « + » devant une parenthèse ?
De supprimer la parenthèse sans modifier les signes.
Que fait le signe « − » devant une parenthèse ?
Il impose de changer tous les signes à l'intérieur.
Qu'est-ce que développer en algèbre ?
Transformer un produit en une somme algébrique.
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