Fiche de révision : Calcul littéral et équations

📋 Plan du Cours

1. Réduire et transformer les expressions
2. Double distributivité et identités remarquables
3. Quotients et fractions algébriques
4. Résoudre les équations
5. Inégalités et changements de signe

📖 1. Réduire et transformer les expressions

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduire une expression : Consiste à regrouper les termes semblables afin d'obtenir une écriture plus simple, par exemple $5x^2+3x-2x^2+8-x+4=3x^2+2x+12$.

★ À maîtriser

📌 La distributivité simple permet de développer $R(a+b)=Ra+Rb$ et $R(a-b)=Ra-Rb$.

📌 La factorisation inverse la distributivité simple : $Ra+Rb=R(a+b)$ et $Ra-Rb=R(a-b)$.

Compléments

• En développant $7(3x+9)$, on obtient $21x+63$.

• La factorisation de $8x+12$ donne $4(2x+3)$.

💡 Astuce mémo

Réduire → développer → factoriser

📖 2. Double distributivité et identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — La double distributivité est donnée par $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$; chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Le développement de $(5x-1)(8x+4)$ donne $40x^2+12x-4$.

• L'identité $(a+b)^2$ permet d'obtenir $(3x+5)^2=9x^2+30x+25$.

• L'identité $(a-b)^2$ permet d'obtenir $(8x-7)^2=64x^2-112x+49$.

• L'identité $(a+b)(a-b)$ permet d'obtenir $(4x+6)(4x-6)=16x^2-36$.

💡 Astuce mémo

Développer disperse les produits ; factoriser les rassemble

📖 3. Quotients et fractions algébriques

★ À maîtriser

📌 Pour additionner une fraction algébrique et un entier, il faut écrire l'entier avec le même dénominateur que la fraction.

📌 Dans une équation quotient, il faut d'abord déterminer les valeurs interdites en annulant chaque dénominateur, puis résoudre l'équation en vérifiant que les solutions ne sont pas interdites.

Compléments

• On obtient $\frac{3x+7}{4x-1}+5=\frac{23x+2}{4x-1}$ en écrivant $5=\frac{5(4x-1)}{4x-1}$.

• Pour $\frac{7x-2}{5x+4}=2$, la valeur interdite est $x=-\frac45$ et la résolution donne $x=-\frac{10}{3}$, qui est admissible.

💡 Astuce mémo

Valeur interdite → dénominateur commun → simplification

📖 4. Résoudre les équations

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une équation, on effectue des transformations équivalentes jusqu'à isoler l'inconnue.

• Une équation produit nul se résout en annulant séparément chaque facteur : si $(x+5)(3x-1)=0$, alors $x+5=0$ ou $3x-1=0$, d'où $x=-5$ ou $x=\frac13$.

📌 Pour résoudre une équation carrée, $x^2=15$ donne $x=\sqrt{15}$ ou $x=-\sqrt{15}$, tandis que $3x^2=-48$ se ramène à $x^2=16$ et donne $x=4$ ou $x=-4$.

Compléments

• L'équation $2x^2+4x-5=x^2-2x-14$ se ramène à $(x+3)^2=0$ et a pour solution $x=-3$.

• L'équation $-x^2=-7$ est impossible dans les réels car elle équivaut à $x^2=7$, et non à un carré égal à un nombre négatif.

💡 Astuce mémo

Équation produit : facteur 1 nul ou facteur 2 nul

📖 5. Inégalités et changements de signe

★ À maîtriser

📌 Lorsqu'on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, il faut inverser le sens du signe : $<$ devient $>$ et $\leq$ devient $\geq$.

• L'inégalité $4x-5<x+1$ se résout en $x<2$.

• L'inégalité $3x+1<5x+3$ se résout en $x>-1$ après inversion du signe lors de la division par $-2$.

Compléments

• Pour résoudre une inéquation, on regroupe d'abord les termes en $x$ d'un côté, les constantes de l'autre, puis on divise par le coefficient de $x$ en inversant éventuellement le signe.

💡 Astuce mémo

Multiplier ou diviser par un nombre négatif → inverser le signe

📊 Tableaux de synthèse

Transformations algébriques