Fiche de révision : Outils mathématiques pour la physique

📋 Plan du Cours

1. Définition et règles de dérivation
2. Fonctions usuelles et dérivées composées
3. Différentielles et dérivées supérieures
4. Vecteurs et composantes cartésiennes
5. Produits scalaire et vectoriel
6. Dérivation des vecteurs
7. Coordonnées polaires et cylindriques
8. Coordonnées sphériques et repère de Frenet

📖 1. Définition et règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : la limite $F'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}$ lorsqu’elle existe
• Tangente en un point : La tangente à la courbe de F au point d’abscisse x₀ a pour équation $y=F'(x_0)(x-x_0)+F(x_0)$ et sa pente vaut F'(x₀).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les règles usuelles sont $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ et $(\lambda u)'=\lambda u'$ pour λ réel.

📖 2. Fonctions usuelles et dérivées composées

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$, $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ et $(e^x)'=e^x$.

📐 Formule — Pour une composée y=F(g(t)), la règle de chaîne donne $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$, soit la dérivée de la fonction extérieure multipliée par celle de la fonction intérieure.

Compléments

📐 Formule — Les dérivées composées vérifient notamment $(u^n)'=nu^{n-1}u'$, $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, $(\cos u)'=-u'\sin u$ et $(e^u)'=u'e^u$ .

💡 Astuce mémo

Fonction extérieure → fonction intérieure → produit des dérivées

📖 3. Différentielles et dérivées supérieures

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : définie par $dF=F'(x)\,dx$ ; par exemple, si y=x², alors $dy=2x\,dx$

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée n-ième d’une fonction y s’écrit $y^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}$.

Compléments

📐 Formule — Les différentielles vérifient $d(u+v)=du+dv$, $d(uv)=v\,du+u\,dv$ et $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,du-u\,dv}{v^2}$.

• Pour y=e^{x^2}, on obtient $\frac{dy}{dx}=2xe^{x^2}$ puis $\frac{d^2y}{dx^2}=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}$.

📖 4. Vecteurs et composantes cartésiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : caractérisé par une direction, un sens et un module, ou longueur
• Vecteur unitaire : un vecteur dont la longueur vérifie $\|\vec u\|=1$

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans une base cartésienne de R³, un vecteur s’écrit $\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k$, où aₓ, aᵧ et a_z sont ses composantes.

💡 Astuce mémo

Un vecteur se décompose en trois flèches sur les axes x, y et z

📖 5. Produits scalaire et vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : de deux vecteurs vérifie $\vec a\cdot\vec b=\|\vec a\|\,\|\vec b\|\cos\alpha$ et produit un nombre
• Produit vectoriel : perpendiculaire à a et b, sa norme vaut $\|\vec c\|=\|\vec a\|\,\|\vec b\|\sin\alpha$ et (a,b,c) forme une base directe

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base cartésienne, $\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ et $\|\vec a\|^2=a_x^2+a_y^2+a_z^2$.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, avec $\vec a\cdot\vec b=0$ lorsque l’un des vecteurs est nul ou lorsque $\vec a\perp\vec b$.

Compléments

📐 Formule — Le produit vectoriel est antisymétrique et distributif : $\vec a\wedge\vec b=-\vec b\wedge\vec a$ et $\vec a\wedge(\vec b+\vec c)=\vec a\wedge\vec b+\vec a\wedge\vec c$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire → nombre ; produit vectoriel → vecteur perpendiculaire

📖 6. Dérivation des vecteurs

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $\overrightarrow{OM}=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k$, on a $\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dot x\vec i+\dot y\vec j+\dot z\vec k$ et $\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}=\ddot x\vec i+\ddot y\vec j+\ddot z\vec k$.

📐 Formule — La dérivée d’un produit scalaire ou vectoriel suit une règle de produit : $\frac{d}{dt}(\vec v_1\cdot\vec v_2)=\frac{d\vec v_1}{dt}\cdot\vec v_2+\vec v_1\cdot\frac{d\vec v_2}{dt}$ et une formule analogue vaut pour le produit vectoriel.

Compléments

📐 Formule — La différentielle d’un vecteur $\vec A=A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k$ est $d\vec A=dA_x\vec i+dA_y\vec j+dA_z\vec k$.

💡 Astuce mémo

Position → vitesse → accélération

📖 7. Coordonnées polaires et cylindriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — En coordonnées polaires, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\tan\theta=\frac{y}{x}$.

📐 Formule — La base polaire locale vérifie $\vec u_r=\cos\theta\,\vec u_x+\sin\theta\,\vec u_y$ et $\vec u_\theta=-\sin\theta\,\vec u_x+\cos\theta\,\vec u_y$.

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ et la troisième coordonnée est z, avec le repère local $(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z)$.

💡 Astuce mémo

Polaires → ajout de z → cylindriques

📖 8. Coordonnées sphériques et repère de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse curviligne : représente la distance parcourue par un point M le long de sa trajectoire
• Vecteur tangent : à la trajectoire est $\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{ds}$ et il est orienté dans le sens du mouvement

📝 Points essentiels

📐 Formule — En coordonnées sphériques, $x=R\sin\theta\cos\varphi$, $y=R\sin\theta\sin\varphi$ et $z=R\cos\theta$.

📐 Formule — Le vecteur tangent vérifie $\|\vec T\|=1$ et $\frac{d\vec T}{ds}\perp\vec T$ ; le plan défini par ces deux directions est le plan osculateur.

📐 Formule — Dans le repère de Frenet, $\frac{d\vec T}{ds}=\frac{\vec N}{\rho}$, où N est le vecteur normal dirigé vers la concavité et ρ est le rayon de courbure instantané.

💡 Astuce mémo

Variation de la tangente → normale → courbure

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des systèmes de coordonnées