Flashcards : Outils mathématiques pour la physique — 54 cartes

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1Question

Quelle est la définition de la dérivée de F en un point x₀ ?

Réponse

La limite $\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}$ lorsqu'elle existe.

2Question

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de F en x₀ ?

Réponse

$y=F'(x_0)(x-x_0)+F(x_0)$

3Question

Quelle est la pente de la tangente à la courbe de F en x₀ ?

Réponse

Elle vaut $F'(x_0)$ .

4Question

Quelle est la règle de dérivation de la somme de deux fonctions u et v ?

Réponse

$(u+v)'=u'+v'$

5Question

Quelle est la règle de dérivation du produit de deux fonctions u et v ?

Réponse

$(uv)'=u'v+uv'$

6Question

Quelle est la règle de dérivation du quotient de deux fonctions u et v ?

Réponse

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

7Question

Quelle est la règle de dérivation d'une fonction u multipliée par un scalaire réel λ ?

Réponse

$(\lambda u)'=\lambda u'$

8Question

Quelle est la dérivée de $x^n$ ?

Réponse

$nx^{n-1}$

9Question

Quelle formule exprime la dérivée de $\frac{dy}{dt}$ pour $y=F(g(t))$ ?

Réponse

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$

10Question

Comment s'exprime la différentielle de F en fonction de F'(x) et dx ?

Réponse

$dF=F'(x)\,dx$

11Question

Quelle est la différentielle de y=x² ?

Réponse

$dy=2x\,dx$

12Question

Comment s'écrit la dérivée n-ième de y en notation différentielle ?

Réponse

$y^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}$

13Question

Quelles sont les trois caractéristiques d'un vecteur ?

Réponse

Une direction, un sens et un module.

14Question

Quelle est la condition sur la longueur d'un vecteur unitaire ?

Réponse

Sa longueur est égale à 1.

15Question

Comment s'exprime un vecteur dans une base cartésienne de R³ ?

Réponse

$\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k$ .

16Question

Quelle formule exprime le produit scalaire de deux vecteurs ?

Réponse

$\vec a\cdot\vec b=\|\vec a\|\,\|\vec b\|\cos\alpha$

17Question

Comment calcule-t-on le produit scalaire dans une base cartésienne ?

Réponse

$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

18Question

Quelle formule donne le carré de la norme d'un vecteur dans une base cartésienne ?

Réponse

$\|\vec a\|^2=a_x^2+a_y^2+a_z^2$

19Question

Quelle condition caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs ?

Réponse

Leur produit scalaire est nul.

20Question

Que vaut le produit scalaire si l’un des vecteurs est nul ?

Réponse

Il vaut zéro.

21Question

Quelle est la direction du produit vectoriel $\vec c=\vec a\wedge\vec b$ ?

Réponse

Il est perpendiculaire à $\vec a$ et $\vec b$ .

22Question

Quelle formule donne la norme du produit vectoriel ?

Réponse

$\|\vec c\|=\|\vec a\|\,\|\vec b\|\sin\alpha$

23Question

Quelle est la formule de la dérivée première de $\overrightarrow{OM}$ ?

Réponse

$\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dot x\vec i + \dot y\vec j + \dot z\vec k$ .

24Question

Quelle est la formule de la dérivée seconde de $\overrightarrow{OM}$ ?

Réponse

$\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}=\ddot x\vec i + \ddot y\vec j + \ddot z\vec k$ .

25Question

Quelle règle suit la dérivée d'un produit scalaire de vecteurs ?

Réponse

La dérivée suit la règle de produit : dérivée du premier fois le second plus premier fois dérivée du second.

26Question

Quelle est la formule de la dérivée du produit scalaire $\vec v_1 \cdot \vec v_2$ ?

Réponse

$\frac{d}{dt}(\vec v_1 \cdot \vec v_2) = \frac{d\vec v_1}{dt} \cdot \vec v_2 + \vec v_1 \cdot \frac{d\vec v_2}{dt}$ .

27Question

Quelle formule analogue à la dérivée du produit scalaire vaut pour le produit vectoriel ?

Réponse

La dérivée du produit vectoriel suit une formule analogue à celle du produit scalaire.

28Question

Quelle est la formule de x en coordonnées polaires ?

Réponse

$x=r\cos\theta$

29Question

Quelle est la formule de y en coordonnées polaires ?

Réponse

$y=r\sin\theta$

30Question

Comment exprime-t-on r en fonction de x et y en coordonnées polaires ?

Réponse

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

31Question

Quelle relation donne-t-on pour $\tan\theta$ en coordonnées polaires ?

Réponse

$\tan\theta=\frac{y}{x}$

32Question

Comment s'exprime le vecteur unitaire radial $\vec u_r$ en base cartésienne ?

Réponse

$\vec u_r=\cos\theta\,\vec u_x+\sin\theta\,\vec u_y$

33Question

Quelle est l'expression du vecteur unitaire $\vec u_\theta$ en base cartésienne ?

Réponse

$\vec u_\theta=-\sin\theta\,\vec u_x+\cos\theta\,\vec u_y$

34Question

Quelles sont les formules de x et y en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$

35Question

Quelle est la troisième coordonnée en coordonnées cylindriques et quel est le repère local ?

Réponse

La troisième coordonnée est z, avec le repère local $(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z)$

36Question

Quelles sont les expressions de x, y, z en coordonnées sphériques ?

Réponse

$x=R\sin\theta\cos\varphi, y=R\sin\theta\sin\varphi, z=R\cos\theta$ .

37Question

Que représente l’abscisse curviligne s(t) ?

Réponse

La distance parcourue par un point M le long de sa trajectoire.

38Question

Comment se définit le vecteur tangent unitaire à la trajectoire ?

Réponse

$\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{ds}$ orienté dans le sens du mouvement.

39Question

Quelle est la norme du vecteur tangent $\vec T$ ?

Réponse

La norme de $\vec T$ est égale à 1.

40Question

Quelle est la relation entre $\frac{d\vec$ T}{ds} et $\vec T$ ?

Réponse

$\frac{d\vec$ T}{ds} est perpendiculaire à $\vec$ T.

41Question

Quel plan est défini par $\vec T$ et $\frac{d\vec$ T}{ds} ?

Réponse

Le plan osculateur.

42Question

Quelle est la formule de $\frac{d\vec$ T}{ds} dans le repère de Frenet ?

Réponse

$\frac{d\vec T}{ds}=\frac{\vec N}{\rho}$ où $\vec N$ est le vecteur normal.

43Question

Vers où est dirigé le vecteur normal $\vec N$ dans le repère de Frenet ?

Réponse

Vers la concavité de la trajectoire.

44Question

Quelle est la dérivée de $u^n$ pour une fonction composée ?

Réponse

$nu^{n-1}u'$

45Question

Quelle est la dérivée de $\sqrt{u}$ pour une fonction composée ?

Réponse

$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$

46Question

Quelle est la dérivée de $\cos u$ pour une fonction composée ?

Réponse

$-u'\sin u$

47Question

Quelle est la dérivée de $e^u$ pour une fonction composée ?

Réponse

$u'e^u$

48Question

Quelle formule donne la différentielle de la somme u+v ?

Réponse

$d(u+v)=du+dv$

49Question

Comment s'exprime la différentielle du produit uv ?

Réponse

$d(uv)=v\,du+u\,dv$

50Question

Quelle est la formule de la différentielle du quotient u/v ?

Réponse

$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,du-u\,dv}{v^2}$

51Question

Quelle est la première dérivée de $y=e^{x^2}$ par rapport à x ?

Réponse

$\frac{dy}{dx}=2xe^{x^2}$

52Question

Quelle est la deuxième dérivée de $y=e^{x^2}$ par rapport à x ?

Réponse

$\frac{d^2y}{dx^2}=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}$

53Question

Quelles propriétés algébriques vérifie le produit vectoriel ?

Réponse

Il est antisymétrique et distributif.

54Question

Comment s'exprime la différentielle d'un vecteur $\vec A = A_x\vec i + A_y\vec j + A_z\vec k$ ?

Réponse

$d\vec A = dA_x\vec i + dA_y\vec j + dA_z\vec k$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 23 questions sur Outils mathématiques pour la physique.

1. Quelle expression définit la dérivée de $F$ au point d’abscisse $x_0$ lorsqu’elle existe ?

2. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de $F$ au point d’abscisse $x_0$ ?

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