QCM : Outils mathématiques pour la physique — 23 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit la dérivée de FF au point d’abscisse x0x_0 lorsqu’elle existe ?

F′(x0)=lim⁡h→0F(x0)−F(x0−h)x0F'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0)-F(x_0-h)}{x_0}
F′(x0)=lim⁡h→0F(x0+h)−F(x0)hF'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}
F′(x0)=lim⁡h→0F(x0+h)−F(x0)x0+hF'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{x_0+h}
F′(x0)=lim⁡h→0F(x0+h)+F(x0)hF'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)+F(x_0)}{h}

$$F'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}$$

Explication

La dérivée mesure la variation instantanée de la fonction au voisinage de x0x_0 par le quotient des accroissements, lorsque cette limite existe. L’expression avec une somme ne représente pas un quotient d’accroissements et ne définit donc pas cette limite locale.

2. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de FF au point d’abscisse x0x_0 ?

y=F(x0)(x+x0)+F′(x0)y=F(x_0)(x+x_0)+F'(x_0)
y=F′(x)(x−x0)+F(x0)y=F'(x)(x-x_0)+F(x_0)
y=F(x0)(x−x0)+F′(x0)y=F(x_0)(x-x_0)+F'(x_0)
y=F′(x0)(x−x0)+F(x0)y=F'(x_0)(x-x_0)+F(x_0)

$$y=F'(x_0)(x-x_0)+F(x_0)$$

Explication

La tangente passe par le point (x0,F(x0))\bigl(x_0,F(x_0)\bigr) et sa pente est F′(x0)F'(x_0), d’où cette équation affine. Intervertir la valeur de la fonction et sa dérivée attribue à la droite une pente et une ordonnée à l’origine incorrectes.

3. Si uu et vv sont dérivables, quelle formule donne la dérivée de leur produit ?

(uv)′=u′v−uv′(uv)'=u'v-uv'
(uv)′=u′v′(uv)'=u'v'
(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'
(uv)′=u′v+uv(uv)'=u'v+uv

$$(uv)'=u'v+uv'$$

Explication

La règle du produit additionne les deux contributions obtenues en dérivant successivement chacun des facteurs. Le produit des dérivées oublie les facteurs non dérivés et ne respecte donc pas cette règle.

4. Quelle est la dérivée de la fonction x↦cos⁡xx\mapsto\cos x ?

−cos⁡x-\cos x
−sin⁡x-\sin x
sin⁡x\sin x
cos⁡x\cos x

$$-\sin x$$

Explication

La dérivée de cos⁡x\cos x est −sin⁡x-\sin x, tandis que celle de sin⁡x\sin x est cos⁡x\cos x. Le signe négatif distingue précisément ces deux formules usuelles.

5. Pour y=F(g(t))y=F(g(t)), comment s’écrit la dérivée de yy par rapport à tt ?

dydt=F′(g(t))+g′(t)\frac{dy}{dt}=F'(g(t))+g'(t)
dydt=F′(t)g(t)\frac{dy}{dt}=F'(t)g(t)
dydt=F(g′(t))\frac{dy}{dt}=F(g'(t))
dydt=F′(g(t))g′(t)\frac{dy}{dt}=F'(g(t))g'(t)

$$\frac{dy}{dt}=F'(g(t))g'(t)$$

Explication

La règle de chaîne multiplie la dérivée de la fonction extérieure, évaluée en g(t)g(t), par la dérivée de la fonction intérieure. Une addition ou une simple substitution ne tient pas compte du facteur de variation de la fonction intérieure.

6. Si y=x2y=x^2, quelle expression représente sa différentielle ?

dy=2xdy=2x
dy=2 dxdy=2\,dx
dy=2x dxdy=2x\,dx
dy=x2 dxdy=x^2\,dx

$$dy=2x\,dx$$

Explication

La définition dF=F′(x) dxdF=F'(x)\,dx donne ici dy=(2x) dxdy=(2x)\,dx. L’expression 2x2x est la dérivée, tandis que la différentielle comprend le facteur infinitésimal dxdx.

7. Quelle notation représente la dérivée seconde de yy ?

y′′(x)=d3ydx3y''(x)=\frac{d^3y}{dx^3}
y′′(x)=d2ydx2y''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}
y′(x)=dydxy'(x)=\frac{dy}{dx}
y(2)(x)=dydxy^{(2)}(x)=\frac{dy}{dx}

$$y''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}$$

Explication

La dérivée seconde correspond à une dérivation effectuée deux fois et se note y′′(x)y''(x) ou d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}. La notation dydx\frac{dy}{dx} désigne seulement la première dérivée.

8. Quelles sont les trois caractéristiques qui définissent un vecteur ?

Une direction, une origine et une vitesse
Une origine, une pente et une coordonnée
Un sens, une distance et une position
Une direction, un sens et un module

Une direction, un sens et un module

Explication

Un vecteur est déterminé par sa direction, son sens et son module, c’est-à-dire sa longueur. La direction désigne la droite support, tandis que le sens précise l’une des deux orientations possibles.

9. Quelle propriété permet d’identifier un vecteur unitaire ?

Ses trois composantes sont positives
Sa longueur vaut 11
Son origine coïncide avec celle du repère
Sa direction est parallèle à un axe

Sa longueur vaut $$1$$

Explication

Un vecteur unitaire est défini par un module égal à 11. Ses composantes ou son orientation peuvent varier, car elles ne suffisent pas à caractériser cette propriété.

10. Dans une base cartésienne de R3\mathbb{R}^3, comment s’écrit le vecteur de composantes ax,ay,aza_x,a_y,a_z ?

a⃗=axi⃗+ayj⃗+azk⃗\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k
a⃗=axi⃗+ayk⃗+azj⃗\vec a=a_x\vec i+a_y\vec k+a_z\vec j
a⃗=axj⃗+ayk⃗+azi⃗\vec a=a_x\vec j+a_y\vec k+a_z\vec i
a⃗=(ax+ay+az)i⃗\vec a=(a_x+a_y+a_z)\vec i

$$\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k$$

Explication

Les composantes sont associées respectivement aux vecteurs de base i⃗\vec i, j⃗\vec j et k⃗\vec k. Les autres écritures permutent ces associations ou suppriment des composantes.

11. Quel type de grandeur résulte du produit scalaire de deux vecteurs ?

Un nombre réel
Une matrice carrée
Une nouvelle base vectorielle
Un vecteur perpendiculaire

Un nombre réel

Explication

Le produit scalaire associe deux vecteurs pour produire un nombre, notamment via a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥ ∥b⃗∥cos⁡α\vec a\cdot\vec b=\|\vec a\|\,\|\vec b\|\cos\alpha. Le produit vectoriel, contrairement à lui, produit un vecteur.

12. Pour a⃗=(2,−1,3)\vec a=(2,-1,3) et b⃗=(1,4,−2)\vec b=(1,4,-2), quelle est la valeur de a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b ?

00
1212
88
−8-8

$$-8$$

Explication

On additionne les produits des composantes correspondantes : 2×1+(−1)×4+3×(−2)=−82\times1+(-1)\times4+3\times(-2)=-8. La valeur nulle caractériserait une orthogonalité, ce qui n’est pas le cas ici.

13. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Lorsqu’ils ont le même module
Lorsqu’ils sont parallèles au même axe
Lorsqu’ils ont des composantes opposées
Lorsque leur produit scalaire vaut 00

Lorsque leur produit scalaire vaut $$0$$

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul, soit a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0. Cette égalité peut aussi se produire lorsqu’un des vecteurs est nul, cas distingué de l’orthogonalité géométrique habituelle.

14. Quelle propriété caractérise le produit vectoriel c⃗=a⃗∧b⃗\vec c=\vec a\wedge\vec b ?

Il produit un vecteur parallèle à a⃗\vec a et b⃗\vec b
Il produit une longueur égale à ∥a⃗∥+∥b⃗∥\|\vec a\|+\|\vec b\|
Il produit un nombre égal à ∥a⃗∥ ∥b⃗∥cos⁡α\|\vec a\|\,\|\vec b\|\cos\alpha
Il produit un vecteur perpendiculaire à a⃗\vec a et b⃗\vec b

Il produit un vecteur perpendiculaire à $$\vec a$$ et $$\vec b$$

Explication

Le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ, et sa norme vaut ∥a⃗∥ ∥b⃗∥sin⁡α\|\vec a\|\,\|\vec b\|\sin\alpha. L’expression avec le cosinus et un résultat numérique décrit le produit scalaire.

15. Pour OM→=x(t)i⃗+y(t)j⃗+z(t)k⃗\overrightarrow{OM}=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k dans un repère cartésien fixe, comment obtient-on la dérivée temporelle ?

dOM→dt=x˙y˙z˙(i⃗+j⃗+k⃗)\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dot x\dot y\dot z(\vec i+\vec j+\vec k)
dOM→dt=x˙i⃗+y˙j⃗+z˙k⃗\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dot x\vec i+\dot y\vec j+\dot z\vec k
dOM→dt=xi⃗+yj⃗+zk⃗\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=x\vec i+y\vec j+z\vec k
dOM→dt=xi⃗˙+yj⃗˙+zk⃗˙\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=x\dot{\vec i}+y\dot{\vec j}+z\dot{\vec k}

$$\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dot x\vec i+\dot y\vec j+\dot z\vec k$$

Explication

Dans un repère cartésien fixe, on dérive chaque composante temporelle et les vecteurs de base restent constants. La deuxième expression suppose à tort que les vecteurs de base varient avec le temps.

16. Quelle règle s’applique à la dérivée du produit scalaire de deux vecteurs dépendant du temps ?

ddt(v⃗1⋅v⃗2)=v⃗1⋅v⃗2\frac{d}{dt}(\vec v_1\cdot\vec v_2)=\vec v_1\cdot\vec v_2
ddt(v⃗1⋅v⃗2)=dv⃗1dt⋅dv⃗2dt\frac{d}{dt}(\vec v_1\cdot\vec v_2)=\frac{d\vec v_1}{dt}\cdot\frac{d\vec v_2}{dt}
ddt(v⃗1⋅v⃗2)=dv⃗1dt⋅v⃗2+v⃗1⋅dv⃗2dt\frac{d}{dt}(\vec v_1\cdot\vec v_2)=\frac{d\vec v_1}{dt}\cdot\vec v_2+\vec v_1\cdot\frac{d\vec v_2}{dt}
ddt(v⃗1⋅v⃗2)=dv⃗1dt+dv⃗2dt\frac{d}{dt}(\vec v_1\cdot\vec v_2)=\frac{d\vec v_1}{dt}+\frac{d\vec v_2}{dt}

$$\frac{d}{dt}(\vec v_1\cdot\vec v_2)=\frac{d\vec v_1}{dt}\cdot\vec v_2+\vec v_1\cdot\frac{d\vec v_2}{dt}$$

Explication

La dérivée suit la règle du produit et comporte deux termes : chacun des vecteurs est dérivé à tour de rôle. Le produit des deux dérivées ne tient pas compte des contributions séparées prévues par cette règle.

17. Pour un point de coordonnées cartésiennes x=3x=3 et y=4y=4, quelles sont sa distance radiale et la relation permettant de déterminer son angle polaire ?

r=7r=7 et tan⁡θ=34\tan\theta=\frac{3}{4}
r=5r=5 et tan⁡θ=43\tan\theta=\frac{4}{3}
r=5r=5 et tan⁡θ=34\tan\theta=\frac{3}{4}
r=1r=1 et tan⁡θ=43\tan\theta=\frac{4}{3}

$$r=5$$ et $$\tan\theta=\frac{4}{3}$$

Explication

La distance radiale vaut r=x2+y2=32+42=5r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5, tandis que tan⁡θ=yx=43\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{4}{3}. La confusion fréquente consiste à inverser les coordonnées dans la tangente ou à confondre rr avec une somme.

18. Quelle relation décrit correctement le vecteur unitaire polaire radial dans la base cartésienne ?

u⃗r=−sin⁡θ u⃗x+cos⁡θ u⃗y\vec u_r=-\sin\theta\,\vec u_x+\cos\theta\,\vec u_y
u⃗r=cos⁡θ u⃗x+sin⁡θ u⃗y\vec u_r=\cos\theta\,\vec u_x+\sin\theta\,\vec u_y
u⃗r=sin⁡θ u⃗x+cos⁡θ u⃗y\vec u_r=\sin\theta\,\vec u_x+\cos\theta\,\vec u_y
u⃗r=cos⁡θ u⃗x−sin⁡θ u⃗y\vec u_r=\cos\theta\,\vec u_x-\sin\theta\,\vec u_y

$$\vec u_r=\cos\theta\,\vec u_x+\sin\theta\,\vec u_y$$

Explication

Le vecteur radial est la projection de la direction polaire sur les axes cartésiens, d’où u⃗r=cos⁡θ u⃗x+sin⁡θ u⃗y\vec u_r=\cos\theta\,\vec u_x+\sin\theta\,\vec u_y. L’expression avec −sin⁡θ-\sin\theta et cos⁡θ\cos\theta correspond au vecteur azimutal u⃗θ\vec u_\theta.

19. Dans les coordonnées cylindriques, quel triplet constitue le repère local associé au point considéré ?

(u⃗x,u⃗y,u⃗z)\left(\vec u_x,\vec u_y,\vec u_z\right)
(u⃗r,u⃗θ,u⃗z)\left(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z\right)
(u⃗R,u⃗θ,u⃗φ)\left(\vec u_R,\vec u_\theta,\vec u_\varphi\right)
(u⃗r,u⃗φ,u⃗z)\left(\vec u_r,\vec u_\varphi,\vec u_z\right)

$$\left(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z\right)$$

Explication

Le repère local cylindrique est (u⃗r,u⃗θ,u⃗z)\left(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z\right), car les deux premières directions décrivent le plan polaire et la troisième suit l’axe vertical. Le repère cartésien reste fixe et les notations sphériques introduisent une autre direction angulaire.

20. Un point possède les coordonnées sphériques RR, θ\theta et φ\varphi. Quelle expression donne sa coordonnée verticale ?

z=Rcos⁡φz=R\cos\varphi
z=Rsin⁡θcos⁡φz=R\sin\theta\cos\varphi
z=Rsin⁡θsin⁡φz=R\sin\theta\sin\varphi
z=Rcos⁡θz=R\cos\theta

$$z=R\cos\theta$$

Explication

En coordonnées sphériques, la projection sur l’axe OzOz est z=Rcos⁡θz=R\cos\theta, car θ\theta est l’angle mesuré depuis cet axe. L’angle φ\varphi intervient dans les projections sur le plan équatorial.

21. Que mesure l’abscisse curviligne s(t)s(t) d’un point en mouvement ?

La distance instantanée entre le point et l’origine
La projection du déplacement sur l’axe horizontal
La variation de l’angle polaire au cours du temps
La distance parcourue le long de sa trajectoire

La distance parcourue le long de sa trajectoire

Explication

L’abscisse curviligne représente la longueur parcourue par le point en suivant sa trajectoire. Elle ne correspond pas à la distance radiale entre le point et l’origine, qui mesure une position et non une longueur le long de la courbe.

22. Comment définit-on le vecteur tangent unitaire d’une trajectoire orientée par le mouvement ?

T⃗=dOM→dθ\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{d\theta}
T⃗=dOM→dR\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dR}
T⃗=dOM→ds\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{ds}
T⃗=dOM→dt\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}

$$\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{ds}$$

Explication

La dérivée du vecteur position par rapport à l’abscisse curviligne donne T⃗=dOM→ds\vec T=\frac{d\overrightarrow{OM}}{ds}, un vecteur unitaire orienté dans le sens du mouvement. La dérivée par rapport au temps donne plutôt le vecteur vitesse, dont la norme n’est pas nécessairement égale à un.

23. Dans le repère de Frenet, que représente la relation dT⃗ds=N⃗ρ\frac{d\vec T}{ds}=\frac{\vec N}{\rho} ?

La variation du vecteur tangent est dirigée selon la tangente et son intensité vaut ρ\rho
La variation du vecteur tangent est nulle lorsque le rayon de courbure vaut ρ\rho
La variation du vecteur tangent est dirigée vers la concavité et son intensité vaut 1ρ\frac{1}{\rho}
Le vecteur normal est dirigé vers l’extérieur et son intensité vaut 1ρ\frac{1}{\rho}

La variation du vecteur tangent est dirigée vers la concavité et son intensité vaut $$\frac{1}{\rho}$$

Explication

La relation indique que la variation de T⃗\vec T est portée par la normale N⃗\vec N, orientée vers la concavité, avec une amplitude égale à 1ρ\frac{1}{\rho}. La direction tangentielle est exclue puisque dT⃗ds⊥T⃗\frac{d\vec T}{ds}\perp\vec T, et un rayon plus grand correspond à une courbure plus faible.

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Quelle est la définition de la dérivée de F en un point x₀ ?

La limite lim⁡h→0F(x0+h)−F(x0)h\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} lorsqu'elle existe.

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de F en x₀ ?

y=F′(x0)(x−x0)+F(x0)y=F'(x_0)(x-x_0)+F(x_0)

Quelle est la pente de la tangente à la courbe de F en x₀ ?

Elle vaut F′(x0)F'(x_0).

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