Fiche de révision : Calcul littéral et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Formes et transformations algébriques
2. Produits remarquables
3. Écritures fractionnaires
4. Puissances et notation scientifique
5. Racines carrées
6. Pourcentage d’évolution
7. Évolutions successives
8. Évolution réciproque

📖 1. Formes et transformations algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : l’écrire sous la forme d’une somme
• Factoriser : l’écrire sous la forme d’un produit

★ À maîtriser

• Le développement de (3x−5)(2x−4) donne 6x²−22x+20.

Compléments

📌 Dans une somme A+B, A et B sont les termes, tandis que dans un produit A×B, A et B sont les facteurs.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit.

📖 2. Produits remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — La différence de deux carrés vérifie $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📖 3. Écritures fractionnaires

★ À maîtriser

• Pour additionner deux fractions, on utilise un dénominateur commun : $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{ad+bc}{cd}$.

• Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$, avec b et c non nuls.

• Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul : $\frac{a}{c}=0\Longleftrightarrow a=0$, avec c non nul.

Compléments

📌 Pour comparer deux fractions, le produit en croix donne $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Longleftrightarrow ad=bc$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour additionner, inverse pour diviser, produit en croix pour comparer.

📖 4. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour p≥1, une puissance a^p est le produit de p facteurs égaux à a, et a^0=1 lorsque a≠0.

★ À maîtriser

📌 Pour a et b non nuls, le produit de puissances de même base vérifie $a^p\times a^q=a^{p+q}$.

📌 Pour a non nul, le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$.

Compléments

📌 Il n’existe pas de règle de calcul permettant de réduire une addition de puissances : 10²+10³≠10⁵.

💡 Astuce mémo

Les puissances se multiplient par règles d’exposants, mais une addition de puissances ne se réduit pas ainsi.

📖 5. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : désigne l’unique nombre positif dont le carré est égal à a

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel a, on a $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

📌 Pour a et b positifs, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et, si b≠0, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📌 Pour a et b strictement positifs, on a $\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b$.

💡 Astuce mémo

Pour un réel a, √(a²)=|a|, alors que pour a positif √(a²)=a.

📖 6. Pourcentage d’évolution

★ À maîtriser

📐 Formule — Une évolution de t % entre une valeur initiale V₀ non nulle et une valeur finale V₁ vérifie $V_1=V_0\left(1+\frac{t}{100}\right)$.

📐 Formule — Le coefficient multiplicateur est $CM=\frac{V_1}{V_0}=1+\frac{t}{100}$.

📐 Formule — La variation absolue est $V_1−V_0$ et le taux d’évolution est $t=\frac{V_1−V_0}{V_0}$.

Compléments

• Une moyenne passant de 13,2 à 12,4 subit une variation absolue de −0,8, un taux d’évolution d’environ −6 % et un coefficient multiplicateur d’environ 0,94.

💡 Astuce mémo

Taux d’évolution → coefficient multiplicateur → valeur finale.

📖 7. Évolutions successives

📝 Points essentiels

📌 Pour des évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs successifs.

• Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % donne un coefficient global de 0,99 et correspond à une baisse globale de 1 %.

💡 Astuce mémo

Les coefficients multiplicateurs se multiplient dans l’ordre des évolutions.

📖 8. Évolution réciproque

★ À maîtriser

• Avec une TVA de 20 %, le coefficient multiplicateur entre le prix hors taxe et le prix toutes taxes est 1,2, et le coefficient réciproque vaut environ 0,833.

Compléments

📌 Le taux d’évolution réciproque associé à un coefficient multiplicateur CM est donné par $t_r=\frac{1}{CM}-1$.

💡 Astuce mémo

L’évolution réciproque utilise l’inverse du coefficient, et non l’opposé du taux.

📊 Tableaux de synthèse

Transformations algébriques

Indicateurs d’évolution