QCM : Calcul littéral et évolutions — 21 questions

Explication

Développer consiste à transformer l’écriture d’un produit en une somme, en utilisant notamment la distributivité. Factoriser correspond au mouvement inverse : transformer une somme en produit.

Explication

Factoriser une somme revient à l’écrire sous la forme d’un produit. Le développement effectue la transformation inverse, d’un produit vers une somme.

Explication

En distribuant chaque terme, on obtient $3x\times2x-3x\times4-5\times2x+5\times4=6x^2-22x+20$. Les autres expressions comportent une erreur dans un coefficient ou dans un signe.

Explication

Le carré d’une somme contient le terme central positif $+2ab$, ce qui donne $a^2+2ab+b^2$. Le terme $-2ab$ appartient au carré d’une différence.

Explication

Le carré d’une différence se développe en $a^2-2ab+b^2$ : le terme central est négatif, tandis que le dernier terme reste positif. L’expression avec $+2ab$ correspond au carré d’une somme.

Explication

La différence de deux carrés se factorise selon l’identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Les carrés d’une somme ou d’une différence produisent un terme central en $2ab$, absent ici.

Explication

Pour additionner ces fractions, on les réécrit avec le dénominateur commun $cd$, ce qui donne $\frac{ad+bc}{cd}$. Additionner directement les numérateurs et les dénominateurs ne respecte pas la règle de calcul.

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, donc $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$. L’expression $\frac{ac}{bd}$ correspondrait à une multiplication sans inversion du diviseur.

Explication

Une fraction est nulle si son numérateur est nul et si son dénominateur est non nul, donc $\frac{a}{c}=0\Longleftrightarrow a=0$ avec $c\ne0$. Un dénominateur nul rend l’expression non définie plutôt que nulle.

Explication

Une puissance $a^p$ est définie comme le produit de $p$ facteurs égaux à $a$. La confusion fréquente consiste à l’assimiler à une addition répétée, mais cette interprétation ne correspond pas à la définition d’une puissance.

Explication

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne leurs exposants : $a^4\times a^7=a^{4+7}=a^{11}$. Multiplier les exposants donnerait une règle valable dans un autre contexte, pas pour ce produit.

Explication

On calcule séparément les puissances puis on additionne : $10^2+10^3=100+1000=1100=11\times10^2$. L’addition ne permet pas de réunir les exposants comme le fait la multiplication de puissances de même base.

Explication

Par définition, $\sqrt a$ est l’unique nombre positif dont le carré est égal à $a$. Un nombre négatif peut avoir le même carré, mais il ne représente pas la racine carrée principale.

Explication

La règle générale est $\sqrt{a^2}=|a|$, donc $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$. Écrire $-5$ confond la racine carrée avec le nombre initial alors que celui-ci est négatif.

Explication

Une évolution de $t\%$ vérifie $V_1=V_0\left(1+\frac{t}{100}\right)$, donc l’expression correcte est celle qui utilise le facteur d’augmentation. Soustraire le taux correspondrait à une diminution, tandis que l’ajouter directement ne respecte pas l’unité de la valeur.

Explication

Comme $CM=1+\frac{t}{100}$, on obtient $t=-6\%$ pour $CM=0,94$ : il s’agit donc d’une diminution de 6 %. Un coefficient inférieur à 1 indique une baisse, et non une hausse.

Explication

La variation absolue vaut $92-80=12$ unités, tandis que le taux vaut $\frac{92-80}{80}=0,15$, soit 15 %. La variation absolue s’exprime dans l’unité de la quantité, alors que le taux est sans unité et s’exprime souvent en pourcentage.

Explication

Le coefficient multiplicateur global d’évolutions successives se calcule par le produit des coefficients multiplicateurs de chaque étape. Additionner les taux ne tient pas compte du fait que la seconde évolution s’applique à une valeur déjà modifiée.

Explication

Les coefficients successifs sont $1{,}10$ et $0{,}90$, dont le produit vaut $0{,}99$, soit une baisse globale de 1 %. La hausse et la baisse portent sur des valeurs différentes, ce qui empêche leur compensation exacte.

Explication

Une TVA de 20 % multiplie le prix hors taxe par $1 + 0{,}20 = 1{,}2$. Le coefficient d’environ $0{,}833$ correspond au passage inverse, du prix toutes taxes comprises vers le prix hors taxe.

Explication

Le taux réciproque se calcule en prenant l’inverse du coefficient multiplicateur, puis en retirant 1 : $t_r=\frac{1}{CM}-1$. L’expression $CM-1$ donne le taux de l’évolution initiale, et non celui de l’évolution inverse.