Fiche de révision : Calcul littéral et fractions rationnelles

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des polynômes
2. Réduction développement et factorisation
3. Fractions rationnelles
4. Identités de quotients
5. Puissances entières relatives
6. Produit nul et carrés

📖 1. Vocabulaire des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : Un monôme est une expression constituée d’un coefficient, d’une partie littérale et d’un degré, et tout nombre différent de zéro est un monôme.
• Polynôme : Somme algébrique de monômes.

💡 Astuce mémo

Le monôme est un seul terme ; le polynôme est une somme de monômes.

📖 2. Réduction développement et factorisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des nombres x, y et z, on a $x+(y-z)=x+y-z$, $x-(y+z)=x-y-z$ et $x-(y-z)=x-y+z$.

📐 Formule — La mise en évidence d’un facteur commun donne $ab+ac=a(b+c)$, $a^2-ac=a(a-c)$ et $a-ab=a(1-b)$.

📐 Formule — Les trois égalités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Pour factoriser une expression littérale, on met d’abord en évidence un facteur commun, puis on reconnaît et utilise une égalité remarquable si nécessaire.

💡 Astuce mémo

Réduire, développer, puis factoriser.

📖 3. Fractions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions littérales, comme $F=\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}$.

📝 Points essentiels

• Pour simplifier une fraction rationnelle, on factorise le numérateur et le dénominateur, on détermine les valeurs de x pour lesquelles la fraction existe, on simplifie par chaque facteur commun, puis on écrit la fraction simplifiée précédée de sa condition d’existence.

💡 Astuce mémo

Factoriser, déterminer les valeurs interdites, simplifier, puis écrire la condition d’existence.

📖 4. Identités de quotients

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des nombres non nuls x, y, z et t, $x:y=z:t$ équivaut à $xt=zy$.

Compléments

📐 Formule — Pour des nombres non nuls x, y, z et t, $x:z=y:t$ équivaut à $\frac{t}{y}=\frac{z}{x}$.

📖 5. Puissances entières relatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance à exposant entier relatif : Pour un nombre non nul a et un entier naturel non nul n, $a^{-n}$ désigne l’inverse de $a^n$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un nombre non nul a, on a $a^0=1$, $a^1=a$ et $a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ facteurs\ égaux\ à\ a}$.

📐 Formule — Pour des nombres non nuls a et b et des entiers relatifs m et n, on a $a^n\times b^n=(ab)^n$, $(a^m)^n=a^{mn}$ et $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

📐 Formule — Pour un nombre non nul a et un entier naturel non nul n, on a $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $a^{-n}\times a^n=1$.

Compléments

📐 Formule — Pour des nombres non nuls a et b et des entiers relatifs m et n, on a $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$.

📖 6. Produit nul et carrés

📝 Points essentiels

📌 Un produit est égal à zéro lorsqu’au moins un de ses facteurs est égal à zéro.

📐 Formule — Pour des nombres a et b, $ab=0$ équivaut à $a=0$ ou $b=0$, tandis que $ab\ne0$ équivaut à $a\ne0$ et $b\ne0$.

📐 Formule — Pour des nombres a et b, $a^2=b^2$ équivaut à $a=b$ ou $a=-b$.

💡 Astuce mémo

Produit nul : au moins un facteur est nul ; produit non nul : tous les facteurs sont non nuls.

📊 Tableaux de synthèse

Développement et factorisation