QCM : Calcul littéral et fractions rationnelles — 16 questions

Explication

La méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur, repérer les valeurs pour lesquelles le dénominateur est nul, simplifier les facteurs communs, puis conserver la condition d’existence. Développer ou supprimer des variables terme à terme ne respecte pas les règles de simplification d’un quotient.

Explication

La transformation en quotients inversés exige que les quatre nombres soient non nuls, afin que toutes les divisions utilisées soient définies. Le fait que les quotients initiaux soient définis ne garantit pas que chaque terme requis dans la nouvelle égalité soit non nul.

Explication

Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne leurs exposants, d’où $a^m\times a^n=a^{m+n}$. La multiplication des exposants s’applique à une puissance d’une puissance, comme dans $(a^m)^n$.

Explication

Soustraire une parenthèse change le signe de chacun de ses termes, donc $x-(y-z)=x-y+z$. L’expression $x+y-z$ correspondrait à l’ajout de $y-z$, et non à sa soustraction.

Explication

Un exposant négatif indique que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante, donc $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Il ne signifie ni l’opposé de la puissance ni une multiplication par l’exposant.

Explication

Un produit est non nul si et seulement si chacun de ses facteurs est non nul, donc $ab\ne0$ équivaut à $a\ne0$ et $b\ne0$. La présence d’un seul facteur nul rendrait au contraire le produit égal à zéro.

Explication

Les deux termes contiennent le facteur commun $a$, ce qui donne $ab+ac=a(b+c)$. L’écriture $a(b-c)$ changerait le signe du second terme et ne serait donc pas équivalente.

Explication

Un polynôme est construit comme une somme algébrique de monômes. Une expression constituée d’un seul terme relève de la notion de monôme, et non de la définition générale du polynôme.

Explication

La règle du produit nul affirme que $ab=0$ dès qu’au moins un facteur vaut zéro. Deux facteurs de signes opposés donnent plutôt un produit négatif, qui n’est pas nécessairement nul.

Explication

Le carré d’une différence se développe selon $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, avec un terme double négatif. L’expression $a^2- b^2$ correspond à la différence de deux carrés, et non au carré d’une différence.

Explication

Une égalité de quotients $x:y=z:t$ se transforme en produit en croix, ce qui donne $xt=zy$. L’égalité $xz=yt$ associe les termes dans un autre ordre et ne traduit pas cette proportion.

Explication

La puissance $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$, donc leur produit vaut $1$. Une somme, une différence ou le produit de deux puissances négatives ne possède pas cette propriété générale.

Explication

Un monôme comporte un coefficient, une partie littérale et un degré ; tout nombre non nul est également un monôme. Une somme algébrique de monômes correspond plutôt à la définition d’un polynôme.

Explication

Par définition des puissances entières, $a^0=1$ pour un nombre non nul $a$. La valeur $a$ correspond à $a^1$, ce qui constitue une confusion fréquente.

Explication

Une fraction rationnelle est un quotient formé d’un numérateur et d’un dénominateur qui sont des expressions littérales. Le numérateur se trouve au-dessus de la barre de fraction, tandis que le dénominateur se trouve au-dessous.

Explication

Deux nombres ont le même carré lorsqu’ils sont égaux ou opposés, ce qui donne $a=b$ ou $a=-b$. La condition de positivité n’est pas requise, car un nombre et son opposé ont le même carré.