Fiche de révision : Calcul littéral et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire du calcul littéral
2. Réduction des expressions littérales
3. Développement par distributivité
4. Factorisation par facteur commun
5. Identités remarquables et méthodes

📖 1. Vocabulaire du calcul littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Expression qui contient une ou plusieurs lettres, comme 3x + 5 ou (x − 2)².
• Développer : Action qui consiste à transformer un produit en somme ou en différence.
• Factoriser : Action qui consiste à transformer une somme ou une différence en produit.
• Réduire : Action qui consiste à regrouper les termes de même nature.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l’inverse.

📖 2. Réduction des expressions littérales

★ À maîtriser

📌 Pour réduire une expression, on regroupe uniquement les termes de même nature : les termes en x² avec les termes en x², ceux en x avec ceux en x, et les nombres avec les nombres.

Compléments

• En réduisant 4x + 7 − 2x + 5, on obtient 2x + 12.

📖 3. Développement par distributivité

★ À maîtriser

📌 Pour développer un produit de deux parenthèses, il faut effectuer les quatre produits entre les termes des deux parenthèses et respecter les signes.

📐 Formule - La distributivité simple est donnée par $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

📐 Formule - La double distributivité vérifie $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Compléments

• En développant 5(2x − 3), on obtient 10x − 15.

• En développant (x + 4)(2x − 1) puis en réduisant, on obtient 2x² + 7x − 4.

💡 Astuce mémo

Avec deux parenthèses, chaque terme de la première rencontre chacun des deux termes de la seconde : quatre produits.

📖 4. Factorisation par facteur commun

★ À maîtriser

• Pour factoriser par facteur commun, on repère le facteur commun, on le sort devant une parenthèse, on écrit ce qui reste dans la parenthèse, puis on vérifie en redéveloppant.

📐 Formule - La factorisation par facteur commun vérifie $ka+kb=k(a+b)$ et $ka-kb=k(a-b)$.

Compléments

• En factorisant 6x + 18 par le facteur commun 6, on obtient 6(x + 3).

• En factorisant 12x² − 8x par le facteur commun 4x, on obtient 4x(3x − 2).

💡 Astuce mémo

Repérer le facteur commun, le sortir, écrire le reste, puis redévelopper pour vérifier.

📖 5. Identités remarquables et méthodes

★ À maîtriser

• Pour factoriser une identité remarquable, on repère deux carrés, on vérifie s’il y a un terme en +2ab, un terme en −2ab ou seulement une différence de carrés, puis on écrit la forme factorisée correspondante.

📌 Dans le développement de (a + b)², le terme du milieu est 2ab ; ainsi, (a + b)² n’est pas égal à a² + b².

📐 Formule - Les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Pour développer (a + b)² ou (a − b)², on écrit le carré du premier terme, le double produit des deux termes avec le bon signe, puis le carré du second terme.

• En factorisant x² − 81 comme une différence de carrés, on obtient (x − 9)(x + 9).

💡 Astuce mémo

Un carré de somme contient +2ab ; une différence de carrés se factorise en deux conjugués.