Fiche de révision : Les racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition et calcul des racines carrées
2. Domaine et nature des racines carrées
3. Racines des carrés parfaits
4. Racine carrée d’un carré
5. Produit et quotient de racines
6. Carré d’une racine carrée

📖 1. Définition et calcul des racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif ou nul est le nombre positif ou nul dont le carré est ce nombre.

📝 Points essentiels

• La racine carrée de 6,76 est 2,6, car $2{,}6^2 = 6{,}76$.

💡 Astuce mémo

Le carré avance ; la racine revient au nombre de départ.

📖 2. Domaine et nature des racines carrées

★ À maîtriser

📌 La racine carrée est définie pour les nombres positifs ou nuls, mais pas pour les nombres négatifs.

Compléments

• La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel, dont une approximation est 1,41.

💡 Astuce mémo

Positif ou nul : la racine existe ; négatif : elle n’existe pas dans les réels.

📖 3. Racines des carrés parfaits

📝 Points essentiels

• Les racines carrées des carrés parfaits de 0² à 13² sont $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{81}=9$, $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{121}=11$, $\sqrt{144}=12$ et $\sqrt{169}=13$.

📖 4. Racine carrée d’un carré

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel $a$, $\sqrt{a^2}=|a|$ : cette valeur est $a$ si $a\geq 0$ et $-a$ si $a<0$.

Compléments

📌 L’expression $\sqrt{(-4)^2}$ vaut 4, tandis que $\sqrt{-4^2}$ n’est pas définie dans les réels, car son radicande est négatif.

💡 Astuce mémo

Pour un nombre négatif, la racine du carré donne son opposé, pas le nombre lui-même.

📖 5. Produit et quotient de racines

★ À maîtriser

📌 En général, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$ et $\sqrt{a}-\sqrt{b}\ne\sqrt{a-b}$.

📐 Formule - Pour $a\geq 0$ et $b\geq 0$, $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

📐 Formule - Pour $a\geq 0$ et $b>0$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

Compléments

• Le produit $\sqrt{32}\sqrt{2}$ vaut $\sqrt{64}=8$.

• Le quotient $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$ vaut $\sqrt{49}=7$.

💡 Astuce mémo

Produit et quotient se regroupent sous une racine ; somme et différence ne le peuvent pas.

📖 6. Carré d’une racine carrée

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour $a\geq 0$, $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$.