Fiche de révision : Nombres réels et relations d’ordre

📋 Plan du Cours

1. Des entiers aux nombres irrationnels
2. Construction et propriétés des réels
3. Relations binaires et propriétés
4. Ordres partiels et totaux
5. Majorants et éléments extrémaux
6. Bornes supérieure et inférieure
7. Bornes inférieure et supérieure dans ℝ
8. Calculer les bornes de parties
9. Valeur absolue et ses propriétés
10. Archimédianité et partie entière
11. Intervalles et convexité
12. Densité et nombres irrationnels
13. Topologie et ensembles fermés
14. Adhérence et accumulation
15. Intérieur et frontière

📖 1. Des entiers aux nombres irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Les entiers relatifs sont l’ensemble $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1{,}0{,}1{,}2,\ldots\}$, dans lequel toute soustraction d’entiers donne un entier relatif.
• Nombres décimaux : Les nombres décimaux sont les nombres de la forme $\frac{a}{10^n}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$.
• Nombres rationnels : Les nombres rationnels sont les nombres de la forme $\frac{p}{q}$, avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{Z}^{*}$.
• Entiers naturels : Les entiers naturels sont l’ensemble $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2,\ldots\}$, utilisé pour le dénombrement.

★ À maîtriser

📌 L’addition et la multiplication de deux entiers naturels donnent un entier naturel, contrairement à la soustraction et à la division qui ne le font pas toujours.

📌 Le quotient de deux nombres décimaux n’est pas toujours décimal : la division de 4 par 3 produit un développement décimal qui se répète indéfiniment.

• Les nombres $\sqrt{2}$, $\pi$ et le nombre d’Euler $e$ sont irrationnels.

Compléments

• L’ensemble des entiers naturels est infini, car chaque entier naturel n possède un successeur n+1.

• Au XVe siècle, Nicolas Chuquet a introduit les nombres négatifs en Occident comme auxiliaires de calcul pour résoudre des équations.

• Les nombres décimaux permettent d’approcher la mesure d’une longueur avec une précision aussi grande qu’on le souhaite.

• Les quatre opérations arithmétiques peuvent être réalisées dans $\mathbb{Q}$ sans que le résultat sorte de cet ensemble.

• L’écriture décimale d’un nombre rationnel est finie ou, si elle est infinie, nécessairement périodique.

• Pour démontrer par l’absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel, on suppose $\sqrt{2}=p/q$ avec $p,q\in\mathbb{N}$, $q\ne0$ et $p$ et $q$ premiers entre eux ; l’égalité $p^2=2q^2$ implique que $p$ est pair, puis que $q$ est pair, contradiction avec leur coprimalité.

📖 2. Construction et propriétés des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Les nombres réels sont constitués des nombres rationnels et des nombres irrationnels.
• Droite numérique : La droite numérique est une droite munie d’une origine $O$ et d’un vecteur $\vec{i}$, sur laquelle chaque point $M$ correspond à un unique réel $x$ tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}$, et chaque réel correspond à un point.

★ À maîtriser

📌 L’ensemble $\mathbb{R}$ est muni d’une addition et d’une multiplication qui en font un corps commutatif : l’addition et la multiplication sont associatives et commutatives, leurs éléments neutres sont respectivement 0 et 1, chaque réel a un opposé, chaque réel non nul a un inverse multiplicatif, et la multiplication est distributive sur l’addition.

Compléments

• Dedekind a défini les nombres réels au moyen des coupures de Dedekind, tandis que Cantor et Méray les ont définis comme les limites de suites de Cauchy dans $\mathbb{Q}$.

• Les nombres réels positifs, représentés à droite de l’origine sur la droite numérique, permettent de mesurer n’importe quelle longueur.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée où chaque point correspond à un unique réel.

📖 3. Relations binaires et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation binaire : Une relation binaire de $E$ vers $F$ est un triplet $R=(E,F,G)$, où $G$ est une partie de $E\times F$ ; $E$ est l’ensemble de départ, $F$ l’ensemble d’arrivée et $G$ le graphe de la relation.
• Relation réflexive : Une relation $R$ sur $E$ est réflexive si, pour tout $x\in E$, on a $xRx$.
• Relation antisymétrique : Une relation $R$ sur $E$ est antisymétrique si, pour tous $x,y\in E$, $xRy$ et $yRx$ impliquent $x=y$.
• Relation transitive : Une relation $R$ sur $E$ est transitive si, pour tous $x,y,z\in E$, $xRy$ et $yRz$ impliquent $xRz$.

📝 Points essentiels

📌 Pour $x\in E$ et $y\in F$, la notation $xRy$ signifie que le couple $(x,y)$ appartient au graphe $G$ de la relation.

• Une relation binaire sur un ensemble $E$ est une propriété portant sur les couples d’éléments de $E$.

• L’inégalité $\leq$ est une relation sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{R}$ ; le parallélisme et l’orthogonalité sont des relations sur les droites du plan ou de l’espace ; l’inclusion est une relation sur $\mathcal{P}(X)$ ; une fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est une relation définie par $xRy\Longleftrightarrow y=f(x)$.

📖 4. Ordres partiels et totaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Une relation d’ordre sur un ensemble $E$ est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive.
• Éléments comparables : Deux éléments $x$ et $y$ d’un ensemble ordonné sont comparables si $x\leq y$ ou $y\leq x$.

★ À maîtriser

📌 Un ordre est total si tous les couples d’éléments sont comparables et partiel sinon.

📌 Sur $\mathbb{R}^2$, l’ordre produit compare deux couples coordonnée par coordonnée et définit un ordre partiel, tandis que l’ordre lexicographique définit un ordre total.

• Sur ℝ, la relation définie par x ≤ y si et seulement si y − x est positif est un ordre total.

Compléments

• Sur $\mathcal{P}(X)$, l’inclusion définit un ordre partiel.

• La divisibilité définit un ordre partiel sur $\mathbb{N}$ ; par exemple, 2 et 3 ne sont pas comparables.

📌 Sur ℝ, si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z pour tout réel z.

📌 Sur ℝ, si x ≤ y et 0 ≤ z, alors xz ≤ yz.

📖 5. Majorants et éléments extrémaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Élément de E tel que tout x de A vérifie x ≤ M.
• Minorant : Élément de E tel que m ≤ x pour tout x de A.
• Plus grand élément : Élément de A qui est un majorant de A.
• Partie bornée : Partie à la fois majorée et minorée.
• Plus petit élément : Élément de A qui est un minorant de A.

★ À maîtriser

• Toute partie non vide de ℕ possède un plus petit élément, et toute partie non vide et majorée de ℕ possède un plus grand élément.

Compléments

• Un majorant ou un minorant d’une partie n’est pas nécessairement unique.

• Dans un ensemble ordonné, si une partie possède un plus grand élément, celui-ci est unique ; son plus petit élément, s’il existe, est également unique.

💡 Astuce mémo

Un majorant peut être hors de A ; un plus grand élément doit appartenir à A.

📖 6. Bornes supérieure et inférieure

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : Plus petit élément de l’ensemble des majorants de A, lorsqu’il existe.
• Borne inférieure : Plus grand élément de l’ensemble des minorants de A, lorsqu’il existe.

★ À maîtriser

• Dans ℝ, toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.

Compléments

• Si une partie A possède un plus grand élément, alors sa borne supérieure existe et vaut max A ; si elle possède un plus petit élément, sa borne inférieure existe et vaut min A.

📐 Formule - Pour toute partie non vide et minorée A de ℝ, en posant −A = {−a : a ∈ A}, on a $\inf A = -\sup(-A)$.

💡 Astuce mémo

La borne peut être hors de A ; le maximum appartient à A.

📖 7. Bornes inférieure et supérieure dans ℝ

★ À maîtriser

• Si A est non vide et minorée dans ℝ, alors −A = {−a : a ∈ A} est non vide et majorée, et inf A = −sup(−A).

• Toute partie non vide et minorée de ℝ possède une borne inférieure.

• Si A est une partie non vide de ℝ et si M majore A, alors sup A existe et sup A ≤ M.

• Pour une partie A non vide et majorée de ℝ, M = sup A si et seulement si (i) tout a ∈ A vérifie a ≤ M et (ii) pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que M − ε < a ≤ M.

• Pour une partie A non vide et minorée de ℝ, m = inf A si et seulement si (i) tout a ∈ A vérifie m ≤ a et (ii) pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que m ≤ a < m + ε.

Compléments

📌 Si A est une partie non vide de ℝ et si m minore A, alors inf A existe et m ≤ inf A.

• Pour A = [0,1[, 1 est un majorant et sup A = 1, bien que 1 n’appartienne pas à A.

• ℚ ne possède pas la propriété de la borne supérieure : {r ∈ ℚ : r² < 2} est non vide et majoré dans ℚ, mais n’y admet pas de borne supérieure.

• Pour I = ]0,1[, les caractérisations par approximation donnent sup I = 1 et inf I = 0.

💡 Astuce mémo

Une borne est une limite possible ; un maximum ou un minimum appartient à l’ensemble.

📖 8. Calculer les bornes de parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Parties adjacentes : Deux parties non vides A et B de ℝ sont adjacentes si tout a ∈ A et tout b ∈ B vérifient a ≤ b, et si pour tout ε > 0 il existe a ∈ A et b ∈ B tels que b − a ≤ ε.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux parties non vides et majorées A et B de ℝ, la somme A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} vérifie $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$.

📐 Formule - Pour deux parties non vides et bornées A et B de ℝ, $\sup(A\cup B)=\max(\sup A,\sup B)$ et $\inf(A\cup B)=\min(\inf A,\inf B)$.

📌 Si A et B sont adjacentes, alors sup A = inf B.

Compléments

📌 Si A et B sont non vides, majorées et A ⊂ B, alors sup A ≤ sup B.

📌 Si A et B sont non vides, minorées et A ⊂ B, alors inf B ≤ inf A.

• Les ensembles A = {r ∈ ℚ+ : r² ≤ 2} et B = {r ∈ ℚ+ : r² ≥ 2} sont adjacents et vérifient sup A = inf B = √2.

📖 9. Valeur absolue et ses propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est le nombre |x| = max{x, −x}.
• Distance réelle : La distance entre deux réels $x$ et $y$ est $d(x,y)=|x-y|$.
• Espace métrique : Le couple $(\mathbb{R},d)$, où $d(x,y)=|x-y|$, est un espace métrique.

★ À maîtriser

• Pour tout x ∈ ℝ, |x| ≥ 0 et |x| = 0 si et seulement si x = 0.

📐 Formule - Pour tout x ∈ ℝ et tout r ≥ 0, $|x|\le r\Longleftrightarrow -r\le x\le r$.

• La distance réelle vérifie la séparation $d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$, la symétrie $d(x,y)=d(y,x)$ et l’inégalité triangulaire $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tous x,y ∈ ℝ, $|x+y|\le |x|+|y|$.

📐 Formule - Pour tous x,y ∈ ℝ, $|x\times y|=|x|\times|y|$.

• Pour tous réels $x,y$, l’inégalité triangulaire inversée donne $$\bigl||x|-|y|\bigr|\leq |x-y|$.

📖 10. Archimédianité et partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ est l’unique entier $m$ tel que $m\leq x<m+1$.

★ À maîtriser

📌 Pour tous réels $x>0$ et $y$, il existe un entier naturel $n$ tel que $y<nx$.

Compléments

• Pour tout réel $x$, il existe un entier naturel $n$ tel que $x<n$.

• La partie entière de $x$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, soit $E(x)=\max\{n\in\mathbb{Z}:n\leq x\}$.

📌 La partie entière est croissante : si $x\leq y$, alors $E(x)\leq E(y)$.

📌 Pour tout réel $x$ et tout entier $p$, $E(x+p)=E(x)+p$.

📖 11. Intervalles et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalles de R : Pour $a\leq b$, les intervalles de $\mathbb{R}$ sont $[a,b]$, $[a,b[$, $]a,b]$, $]a,b[$, $[a,+\infty[$, $]a,+\infty[$, $]-\infty,a]$, $]-\infty,a[$ et $\mathbb{R}=]-\infty,+\infty[$.
• Partie convexe : Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est convexe si, dès qu’elle contient deux réels $x$ et $y$, elle contient tout réel $z$ tel que $x\leq z\leq y$.

★ À maîtriser

• Les parties convexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles de $\mathbb{R}$.

Compléments

• Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si elle est convexe, ce qui équivaut à $ta+(1-t)b\in A$ pour tous $a,b\in A$ et $t\in[0,1]$.

• Toute intersection d’intervalles de $\mathbb{R}$ est un intervalle.

📖 12. Densité et nombres irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie dense : Une partie non vide $A$ de $\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si, pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $\varepsilon>0$, il existe $a\in A$ tel que $|x-a|<\varepsilon$.
• Ensemble E : L’ensemble $E=\{p+q\sqrt{2}:(p,q)\in\mathbb{Z}^2\}$ est stable par multiplication par tout entier : pour tout $n\in\mathbb{Z}$ et tout $v\in E$, $nv\in E$.

★ À maîtriser

• L’ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels est dense dans $\mathbb{R}$.

• L’ensemble $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ des irrationnels est dense dans $\mathbb{R}$.

• Tout intervalle ouvert non vide de ℝ contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels.

• Pour tous réels $a<b$, il existe un entier $n_0\geq1$ tel que $0<u^{n_0}<b-a$, puis un entier $m=\lfloor a/u^{n_0}\rfloor+1$ tel que $mu^{n_0}\in]a,b[$, avec $mu^{n_0}\in E$.

• L’ensemble $E=\{p+q\sqrt{2}:(p,q)\in\mathbb{Z}^2\}$ est dense dans ℝ.

Compléments

📌 Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si et seulement si tout intervalle ouvert non vide rencontre $A$, ce qui équivaut à dire qu’entre deux réels distincts se trouve un élément de $A$.

• Pour $u=\sqrt{2}-1$, on a $u^n\in E$ pour tout entier $n\geq1$.

📖 13. Topologie et ensembles fermés

🔑 Notions clés & Définitions

• Voisinage : Un voisinage de $x_0\in\mathbb{R}$ est une partie $V\subseteq\mathbb{R}$ qui contient un intervalle ouvert centré en $x_0$, c’est-à-dire qu’il existe $\eta>0$ tel que $]x_0-\eta,x_0+\eta[\subseteq V$.
• Ensemble ouvert : Partie de ℝ qui est vide ou qui est un voisinage de chacun de ses points.
• Ensemble fermé : Une partie $F$ de ℝ est fermée si son complémentaire $\mathbb{R}\setminus F$ est ouvert.

★ À maîtriser

📌 Toute réunion, même arbitraire, d’ouverts de ℝ est ouverte, et toute intersection finie d’ouverts de ℝ est ouverte.

Compléments

• Tout intervalle ouvert contenant $x_0$ est un voisinage de $x_0$.

📌 Dans ℝ, $]0,1]$ est un voisinage de tout point de $]0,1[$, mais n’est pas un voisinage de $0$.

• ℝ et $\varnothing$ sont à la fois ouverts et fermés.

• Tout intervalle ouvert de ℝ est un ensemble ouvert.

• Pour tout $x_0\in\mathbb{R}$, le singleton $\{x_0\}$ est fermé dans ℝ.

• L’intersection $\bigcap_{n\geq1}] -1/n,1/n[=\{0\}$ n’est pas ouverte.

💡 Astuce mémo

Réunions arbitraires d’ouverts, mais intersections seulement finies.

📖 14. Adhérence et accumulation

🔑 Notions clés & Définitions

• Point adhérent : Un point $x_0\in\mathbb{R}$ est adhérent à $A\subseteq\mathbb{R}$ si tout intervalle ouvert centré en $x_0$ rencontre $A$ ; l’ensemble de ces points est l’adhérence de $A$, notée $\overline{A}$.
• Point d’accumulation : Un point $x_0\in\mathbb{R}$ est un point d’accumulation de $A$ si tout intervalle ouvert centré en $x_0$ contient un point de $A$ distinct de $x_0$.
• Point isolé : Un point $x_0$ est isolé de $A$ s’il appartient à $A$ et s’il existe un intervalle ouvert centré en $x_0$ dont l’intersection avec $A$ est $\{x_0\}$.

📝 Points essentiels

• Pour toute partie non vide $A\subseteq\mathbb{R}$, on a $A\subseteq\overline{A}$.

• Le point $0$ est adhérent à $]0,1]$.

📌 Pour toute partie $A$ de ℝ, $\operatorname{Acc}(A)\cap\operatorname{Is}(A)=\varnothing$ et $\overline{A}=\operatorname{Acc}(A)\cup\operatorname{Is}(A)$.

💡 Astuce mémo

Un point d’accumulation peut être hors de A ; un point isolé appartient à A.

📖 15. Intérieur et frontière

🔑 Notions clés & Définitions

• Point intérieur : Un point $x_0$ est intérieur à $A$ si $A$ est un voisinage de $x_0$ ; l’ensemble des points intérieurs se note $\mathring{A}$.
• Point frontière : Un point $x_0$ est un point frontière de $A$ s’il est adhérent à $A$ et à son complémentaire ; l’ensemble des points frontière se note $\partial A$.
• Droite réelle achevée : La droite réelle achevée est $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$, ordonnée par $-\infty<x<+\infty$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

• L’addition et la multiplication ne sont pas des lois de composition sur la droite réelle achevée, car $+\infty+(-\infty)$, $0\cdot(+\infty)$ et $0\cdot(-\infty)$ ne sont pas définis et sont appelés formes indéterminées.

Compléments

• Tout point intérieur à $A$ appartient à $A$.

• Pour $A=[0,1[$, on a $\overline{A}=[0,1]$, $\mathring{A}=]0,1[$ et $\partial A=\{0,1\}$.

• Pour $A=\mathbb{Q}$, on a $\overline{A}=\partial A=\mathbb{R}$ et $\mathring{A}=\varnothing$.

• Dans la droite réelle achevée, les intervalles ouverts s’écrivent $]a,b[$ avec $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$.

📌 L’addition prolongée vérifie $x+(+\infty)=+\infty$ et $x+(-\infty)=-\infty$ pour tout réel $x$, ainsi que $+\infty+(+\infty)=+\infty$ et $-\infty+(-\infty)=-\infty$.

📌 La multiplication prolongée vérifie $x(+\infty)=+\infty$ et $x(-\infty)=-\infty$ si $x>0$, $x(+\infty)=-\infty$ et $x(-\infty)=+\infty$ si $x<0$, ainsi que $+\infty\cdot+\infty=+\infty$, $-\infty\cdot-\infty=+\infty$ et $+\infty\cdot-\infty=-\infty$.

📊 Tableaux de synthèse

Ordres sur différents ensembles