QCM : Nombres réels et relations d’ordre (51 questions)

Explication

Une relation binaire est un triplet dont le graphe est une partie de $E\times F$. L’ensemble de départ est $E$, l’ensemble d’arrivée est $F$, et le produit cartésien contient les couples possibles.

Explication

Les rationnels sont denses dans les réels : tout intervalle ouvert non vide contient au moins un rationnel. Les irrationnels forment une autre partie dense, mais ne sont pas les rationnels; la densité n’implique pas l’égalité à $\mathbb{R}$.

Explication

La valeur absolue est le maximum de $x$ et de son opposé, ce qui donne une valeur non négative. Le carré confond deux notions, la suppression du signe n’est pas la définition formelle, et le minimum sélectionne l’autre valeur.

Explication

Tout point d’un ouvert possède un intervalle ouvert centré autour de lui et inclus dans l’ensemble ; l’ensemble vide est aussi déclaré ouvert. Être fermé concerne plutôt le complémentaire, tandis que la propriété ne garantit ni une forme d’intervalle ni la bornitude.

Explication

Tout intervalle ouvert non vide contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels. La densité de chacun des deux ensembles, répétée à l’intérieur de l’intervalle, écarte les possibilités d’un nombre fini ou de la présence de tous les réels.

Explication

Une loi de composition doit être définie pour chaque paire d’éléments; les expressions $+\infty+(-\infty)$ et $0\cdot(\pm\infty)$ ne le sont pas et constituent des formes indéterminées. Les infinis ne rendent pas tous les produits définis, et le problème indiqué ne concerne pas la soustraction de réels finis.

Explication

Il faut que $10<0{,}4n$, soit $n>25$ ; le plus petit entier naturel qui convient est donc $26$. Le quotient arrondi vers le bas et la valeur $25$ ne satisfont pas l’inégalité stricte, tandis que $4$ provient d’une mauvaise opération.

Explication

La frontière de $B$ est constituée des points adhérents à la fois à $B$ et à son complémentaire. L’intérieur exige que $B$ soit un voisinage, tandis que l’adhérence à $B$ seule ne caractérise pas la frontière.

Explication

Un nombre décimal admet une écriture décimale finie ; le quotient $4\div3$ a au contraire un développement périodique infini. Le caractère périodique indique ici un rationnel, pas un irrationnel ; et le fait que les deux nombres soient entiers ne rend pas leur quotient entier.

Explication

Sur la droite numérique, le réel $x$ associé à $M$ est défini par $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}$ ; le coefficient donné est donc $-3$. Le nombre $3$ oublie le sens opposé à $\vec{i}$, et $1/3$ inverse le coefficient.

Explication

Un minorant doit être inférieur ou égal à chaque élément de A ; −5 convient donc. 1 est supérieur au minimum −3, −2 aussi, tandis que 5 est au-dessus des éléments de A.

Explication

La borne inférieure est le plus grand des minorants de A ; ici, elle vaut −1, même si −1 n’appartient pas à A. 5 est la borne supérieure, −2 est un minorant plus petit, et 0 n’est pas un minorant puisqu'A contient des éléments négatifs proches de −1.

Explication

Les entiers relatifs comprennent les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs, et toute soustraction d’entiers y donne un entier relatif. Les naturels ne contiennent pas les négatifs, tandis que décimaux et rationnels sont des ensembles plus larges.

Explication

La transitivité permet de déduire $xRz$ de $xRy$ et $yRz$. La réflexivité concerne chaque élément avec lui-même, la symétrie inverse une relation, et l’antisymétrie lie les relations dans les deux sens à l’égalité.

Explication

Un voisinage de 3 doit contenir un intervalle ouvert centré en 3 ; $[2,4]$ contient par exemple $]2,4[$. L’ensemble $[3,4]$ ne contient aucun intervalle ouvert centré en 3, et les deux autres ensembles n’en contiennent pas non plus.

Explication

Pour une réunion, le supremum est le maximum des supremums et l’infimum le minimum des infimums : $\max(4,7)=7$ et $\min(-2,1)=-2$. Prendre les extrêmes opposés ou additionner les bornes ne décrit pas les bornes d’une réunion.

Explication

La relation $\inf A=-\sup(-A)$ donne $\inf A=-(-4)=4$. Garder $-4$ oublie le changement de signe, utiliser une borne supérieure confond les notions, et l’appartenance de $4$ à $A$ n’est pas nécessaire pour déterminer l’infimum.

Explication

Toute partie non vide majorée de $\mathbb R$ possède un supremum, et celui-ci est inférieur ou égal à tout majorant, ici $9\leq12$. Dire qu’il vaut $12$ confond majorant et supremum; exiger son appartenance ou inverser l’inégalité sont également erronés.

Explication

La convexité impose que tout réel situé entre deux éléments de la partie appartienne aussi à cette partie. La présence des seules extrémités ou d’un seul point intermédiaire ne suffit pas, et ajouter les réels extérieurs ne répond pas à cette condition.

Explication

La borne supérieure d’une somme de parties est la somme de leurs bornes supérieures : $\sup(A+B)=3+5=8$. La soustraction, le maximum et le produit appliquent des opérations qui ne caractérisent pas cette somme.

Explication

Un majorant doit être supérieur ou égal à chaque élément de A ; 9 satisfait cette condition. 5 appartient à A sans majorer 7, 6 est inférieur à 7, et 3 inverse le sens de la comparaison.

Explication

Une relation d’ordre réunit les trois propriétés : réflexivité, antisymétrie et transitivité. Chacune des autres réponses ne désigne qu’une propriété isolée.

Explication

Pour $r\geq 0$, $|t|\leq r$ équivaut à $-r\leq t\leq r$ ; avec $r=3$, on obtient l’encadrement indiqué. Inverser les bornes rend l’intervalle impossible, omettre la borne négative exclut des valeurs admissibles, et remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes exclut les extrémités.

Explication

La borne supérieure est le plus petit des majorants ; pour ]−2, 3[, elle vaut 3, même si 3 n’appartient pas à A. −2 est la borne inférieure, 4 est un majorant non minimal et 2 appartient à A sans être un majorant.

Explication

Toute partie non vide et minorée de $\mathbb R$ possède une borne inférieure. La majoration concerne la borne supérieure, tandis que la fermeture ou l’existence d’un minimum ne sont pas requises.

Explication

Un point d’accumulation a, dans chacun de ses voisinages ouverts, un point de A distinct de lui-même ; c’est le cas de 0 pour $]0,1]$, même si 0 n’appartient pas à A. La simple rencontre décrit l’adhérence, tandis que l’isolement exige l’appartenance à A et un voisinage ne contenant aucun autre point de A.

Explication

La densité signifie que, pour tout réel $x$ et tout rayon positif $\varepsilon$, on peut trouver dans $A$ un élément à une distance strictement inférieure à $\varepsilon$ de $x$. L’égalité ou une distance supérieure ne garantit pas cette proximité, et un seul rayon ne suffit pas.

Explication

Une relation est réflexive lorsque chaque élément est en relation avec lui-même. La symétrie concerne l’inversion des couples, l’antisymétrie les cas où les deux sens impliquent l’égalité, et la transitivité les chaînes de deux relations.

Explication

L’ensemble des réels réunit les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Les décimaux et les entiers sont des sous-ensembles de nombres rationnels, et ne suffisent donc pas à constituer tous les réels.

Explication

Un ordre est partiel lorsque tous les couples ne sont pas comparables ; un seul couple incomparable suffit donc à exclure la totalité. L’incomparabilité ne signifie pas à elle seule que la réflexivité ou l’antisymétrie échoue.

Explication

Comme $-4$ est non nul, il possède un inverse multiplicatif, ici $-1/4$, dont le produit par $-4$ vaut $1$. L’opposé additif donne une somme nulle, et zéro n’a pas d’inverse multiplicatif.

Explication

L’antisymétrie impose que deux éléments reliés dans les deux sens soient égaux. La réflexivité porte sur les couples $xRx$, la symétrie exige l’inversion de toute relation, et la transitivité concerne les chaînes.

Explication

La partie entière est l’unique entier $m$ tel que $m\leq x<m+1$ ; pour $x=-2{,}3$, on a $-3\leq-2{,}3<-2$. L’arrondi au plus proche et l’entier supérieur ne respectent pas cette définition, tandis que $3$ confond la partie entière avec un opposé.

Explication

Toute partie non vide et majorée de ℕ possède un plus grand élément. La propriété de plus petit élément concerne toute partie non vide de ℕ, la non-vacuité est requise, et le résultat ne s’étend pas à tout ensemble ordonné.

Explication

Sur $\mathbb{R}^2$, l’ordre lexicographique est total, tandis que l’ordre produit est partiel car certains couples ne sont pas comparables. L’inclusion et la divisibilité sont des exemples d’ordres partiels sur d’autres ensembles.

Explication

L’inégalité stricte $x>4$ exclut 4 et l’ensemble s’étend sans borne supérieure, d’où $]4,+\infty[$. La notation $[4,+\infty[$ inclut la borne, $]-\infty,4[$ inverse le sens et $]4,5[$ borne l’intervalle.

Explication

Un supremum est un majorant que des éléments de $A$ approchent par valeurs inférieures : pour chaque $\varepsilon>0$, il faut $M-\varepsilon<a\leq M$. La condition du côté supérieur dépasse le majorant, et l’inégalité stricte à $M$ exclut à tort le cas où le supremum est atteint.

Explication

Un point est intérieur à $A$ lorsque $A$ est un voisinage de ce point. L’adhérence seule ne suffit pas, et l’adhérence simultanée à $A$ et à son complémentaire caractérise un point frontière.

Explication

Un point est isolé de A s’il appartient à A et possède un intervalle ouvert centré en lui dont l’intersection avec A est son singleton. Un point d’accumulation aurait d’autres points de A dans tous ses voisinages ; 5 appartient bien à A, donc il n’est pas extérieur à celle-ci.

Explication

Un majorant peut ne pas appartenir à A : 4 majore tous ses éléments, mais 4 n’est pas dans [0, 4[, donc A n’a pas de plus grand élément. Dire que 4 est le plus grand élément confond majoration et appartenance ; 3 appartient à A et ne le majore pas, et un majorant n’a pas besoin d’appartenir à A.

Explication

Les nombres décimaux sont ceux qui s’écrivent $a/10^n$ avec un numérateur entier et un exposant naturel ; ici $-37/1000=-37/10^3$. Une fraction à dénominateur quelconque caractérise les rationnels, tandis que le numérateur décimal peut être négatif.

Explication

Toute partie non vide et majorée de ℝ possède une borne supérieure, qui peut ne pas appartenir à la partie. Un maximum exige un élément de la partie, et la seule majoration ne garantit ni borne inférieure ni minimum.

Explication

Une partie est fermée lorsque son complémentaire est ouvert ; ici, $]-2,5[$ est ouvert, donc F est fermé. Le fait que le complémentaire soit ouvert ne signifie pas que F soit ouvert, borné ou un intervalle.

Explication

La valeur absolue est nulle si et seulement si le réel lui-même est nul. Un réel négatif a une valeur absolue positive, un réel quelconque n’a pas nécessairement une valeur absolue nulle, et $|a|=1$ est une autre condition.

Explication

Dans $\mathbb{R}$, les parties convexes sont exactement les intervalles, qu’ils soient ouverts ou fermés et bornés ou non. L’ouverture, l’inclusion des bornes et le caractère borné ne sont donc pas exigés.

Explication

Dans la droite réelle achevée, $-\infty$ est inférieur à tout réel et $+\infty$ lui est supérieur. Inverser les infinis ou placer l’un d’eux entre les réels contredit cet ordre.

Explication

L’ensemble des nombres de la forme $p+q\sqrt{2}$, avec $p,q\in\mathbb{Z}$, est dense dans $\mathbb{R}$ : tout intervalle ouvert non vide rencontre cet ensemble. Être dense ne signifie ni être égal aux entiers, ni aux rationnels, ni à tous les réels.

Explication

Un point est adhérent à A si tout intervalle ouvert centré en ce point rencontre A ; tout intervalle autour de 1 contient des points de $]1,4]$. L’adhérence n’exige pas que 1 appartienne à A, et l’isolement demanderait au contraire un voisinage ne rencontrant A qu’en ce point.

Explication

L’ordre des éléments donne $\sup A\leq\inf B$, et la possibilité de rendre l’écart entre un élément de chaque partie arbitrairement petit impose l’égalité. Inverser les bornes, conserver une séparation stricte ou conclure que les ensembles coïncident ne découle pas de l’adjacence.

Explication

Toute réunion, même arbitraire, d’ouverts de $\mathbb{R}$ est ouverte. La finitude est requise pour garantir qu’une intersection d’ouverts est ouverte ; la réunion n’est pas nécessairement fermée, bornée ou un intervalle.

Explication

La distance entre deux réels $x$ et $y$ est $|x-y|$ ; ici elle vaut $|-2-5|=7$. La différence signée peut être négative, la somme des abscisses ne mesure pas leur écart, et son carré n’est pas la distance.