Flashcards : Nombres réels et relations d’ordre (90 cartes)

Quelles opérations sur deux entiers naturels donnent toujours un entier naturel ?

Comment définit-on l’ensemble des entiers relatifs ?

Quelle forme ont les nombres décimaux ?

Que devient le développement décimal de la division de 4 par 3 ?

De quels nombres les nombres réels sont-ils constitués ?

Qu’est-ce qu’une droite numérique ?

Quelle structure algébrique possède l’ensemble $\mathbb{R}$ ?

Quel est l’élément neutre de l’addition dans $\mathbb{R}$ ?

Quel est l’élément neutre de la multiplication dans $\mathbb{R}$ ?

Comment définit-on une relation binaire de $E$ vers $F$ ?

Quel est l’ensemble d’arrivée dans le triplet définissant une relation de $E$ vers $F$ ?

Quelle propriété exprime la réflexivité d’une relation $R$ sur $E$ ?

Quelle propriété exprime l’antisymétrie d’une relation $R$ sur $E$ ?

Quelle propriété exprime la transitivité d’une relation $R$ sur $E$ ?

Quelles propriétés définissent une relation d’ordre sur un ensemble $E$ ?

Quand un ordre est-il total, et quand est-il partiel ?

Quel ordre l’ordre produit définit-il sur $\mathbb{R}^2$ ?

Quelle relation définit un ordre total sur ℝ selon l’énoncé ?

Quand un élément de E est-il un majorant de A ?

Quand un élément de E est-il un minorant de A ?

Quand un élément de A est-il le plus grand élément de A ?

Quel plus petit élément possède toute partie non vide de ℕ ?

Qu’est-ce que la borne supérieure d’une partie d’un ensemble ordonné ?

Qu’est-ce que la borne inférieure d’une partie d’un ensemble ordonné ?

Quelle borne possède toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ ?

Si A est non vide et minorée dans ℝ, quelles propriétés possède −A ?

Que possède toute partie non vide et minorée de ℝ ?

Si M majore une partie non vide A de ℝ, que peut-on affirmer sur sup A ?

Quelles conditions caractérisent $M=\sup A$ pour une partie non vide et majorée $A\subset\mathbb{R}$ ?

Pour deux parties non vides majorées de $\mathbb{R}$, quel est le supremum de leur somme ?

Quel est le supremum de l’union de deux parties non vides bornées de $\mathbb{R}$ ?

Quel est l’infimum de l’union de deux parties non vides bornées de $\mathbb{R}$ ?

Quelle égalité caractérise les bornes de deux parties adjacentes $A$ et $B$ ?

Comment définit-on la valeur absolue d’un réel $x$ ?

Quelles propriétés caractérisent la valeur absolue d’un réel $x$ concernant sa positivité et son annulation ?

À quelle double inégalité équivaut $|x|\leq r$ pour $r\geq 0$ ?

Comment définit-on la distance réelle entre $x$ et $y$ ?

Quelle propriété de séparation caractérise la distance réelle $d(x,y)$ ?

Quels entiers naturels garantissent l’archimédianité pour $x>0$ et $y$ ?

Comment caractériser $E(x)$ par un entier unique ?

Quelles sont les formes des intervalles de $\mathbb{R}$ ?

Quand une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est-elle convexe ?

Quelles sont exactement les parties convexes de $\mathbb{R}$ ?

Quelle condition définit une partie non vide dense dans $\mathbb{R}$ ?

Quel est le statut de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ ?

Quel est le statut de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ ?

Que contient tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ parmi les rationnels et les irrationnels ?

Comment la construction avec les puissances de u garantit-elle un élément de E entre deux réels a < b ?

Comment définit-on l’ensemble des entiers naturels utilisés pour dénombrer ?

Pourquoi l’ensemble des entiers naturels est-il infini ?

Quel mathématicien a introduit les nombres négatifs en Occident au XVe siècle ?

Quelle précision les nombres décimaux permettent-ils d’atteindre pour mesurer une longueur ?

Comment Dedekind a-t-il défini les nombres réels ?

Comment Cantor et Méray ont-ils défini les nombres réels ?

Que permettent de mesurer les réels positifs sur la droite numérique ?

Que signifie $xRy$ pour $x\in E$ et $y\in F$ ?

Sur quels objets porte une relation binaire sur $E$ ?

Comment caractérise-t-on une fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ comme relation ?

Quand deux éléments $x$ et $y$ d’un ensemble ordonné sont-ils comparables ?

Quel ordre l’inclusion définit-elle sur $\mathcal{P}(X)$ ?

Quels entiers ne sont pas comparables pour la divisibilité sur $\mathbb{N}$ ?

Que permet l’inégalité $x \le y$ après addition d’un réel $z$ sur ℝ ?

Quand une partie d’un ensemble ordonné est-elle bornée ?

Un majorant ou un minorant d’une partie est-il toujours unique ?

Quand un élément de A est-il le plus petit élément de A ?

Que peut-on affirmer de l’unicité du plus grand élément d’une partie ordonnée ?

Quelle est la borne supérieure d’une partie possédant un plus grand élément ?

Quelle est la borne inférieure d’une partie possédant un plus petit élément ?

Quelle formule relie $\inf A$ à la borne supérieure de $-A$ ?

Si m minore une partie non vide A de ℝ, que peut-on affirmer sur inf A ?

Pour A = [0,1[, quelle est sa borne supérieure ?

Quel ensemble montre que ℚ ne possède pas la propriété de la borne supérieure ?

Pour I = ]0,1[, quelles sont sa borne supérieure et sa borne inférieure ?

Si des parties non vides majorées vérifient $A\subset B$, quelle relation lie leurs suprema ?

Si des parties non vides minorées vérifient $A\subset B$, quelle relation lie leurs infima ?

Quelle condition d’ordre vérifient les éléments de deux parties adjacentes $A$ et $B$ ?

Quelle valeur commune ont $\sup A$ et $\inf B$ pour les ensembles rationnels définis par comparaison de $r^2$ à 2 ?

Quelle inégalité relie $|x+y|$ à $|x|+|y|$ ?

Comment exprimer $|x\times y|$ à l’aide de $|x|$ et $|y|$ ?

Que borne l’inégalité triangulaire inversée pour deux réels $x$ et $y$ ?

Quel entier naturel existe pour tout réel $x$ ?

Quel est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ ?

Quelle inégalité relie $E(x)$ et $E(y)$ lorsque $x\leq y$ ?

Comment exprimer $E(x+p)$ pour un entier $p$ ?

Quelle condition caractérise les intervalles par combinaison convexe ?

À quelle propriété équivaut le fait que $A$ soit un intervalle ?

Que donne toute intersection d’intervalles de $\mathbb{R}$ ?

Que contient chaque intervalle ouvert non vide si $A$ est dense dans $\mathbb{R}$ ?

Par quels nombres entiers peut-on multiplier un élément de $E=\{p+q\sqrt{2}:(p,q)\in\mathbb{Z}^2\}$ sans sortir de $E$ ?

Dans quel ensemble se trouve $u^n$ pour $u=\sqrt{2}-1$ et $n\geq1$ entier ?