Fiche de révision : Les puissances et leurs règles

📋 Plan du Cours

1. Définition et cas particuliers
2. Puissances et signes
3. Produit et quotient de puissances
4. Puissance d’une puissance
5. Puissance d’un produit
6. Exposants négatifs

📖 1. Définition et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un nombre a et un entier naturel n, $a^n$ désigne le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre a non nul, $a^0=1$ ; l’expression $0^0$ n’est pas définie dans le cadre présenté.

Compléments

• Une puissance d’exposant 1 est égale à sa base : $a^1=a$.

• Pour tout entier naturel n non nul, $0^n=0$ et $1^n=1$.

📖 2. Puissances et signes

★ À maîtriser

📌 Avec les parenthèses, $(-3)^4=81$, tandis que sans parenthèses, $-3^4=-81$, car la puissance porte alors uniquement sur 3.

Compléments

• Le produit de quatre facteurs égaux à −3 est positif, car il contient un nombre pair de facteurs négatifs.

💡 Astuce mémo

Parenthèses : le signe moins entre dans la puissance ; sans elles, il reste devant.

📖 3. Produit et quotient de puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Le produit de puissances de même base vérifie $a^m\times a^p=a^{m+p}$.

📐 Formule - Le quotient de puissances de même base, avec un dénominateur non nul, vérifie $\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$.

Compléments

• Ainsi, $3^5\times3^6=3^{11}$, car les exposants s’additionnent.

• Ainsi, $\frac{4^7}{4^5}=4^2$, car les exposants se soustraient dans le quotient.

💡 Astuce mémo

Produit : les exposants s’additionnent ; quotient : ils se soustraient.

📖 4. Puissance d’une puissance

★ À maîtriser

📐 Formule - Une puissance élevée à une puissance vérifie $(a^n)^p=a^{n\times p}$.

Compléments

• Ainsi, $(3^6)^5=3^{30}$, car les exposants se multiplient.

📖 5. Puissance d’un produit

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance d’un produit vérifie $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

Compléments

• Par exemple, $(2\times3)^5=2^5\times3^5$.

📖 6. Exposants négatifs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a non nul et un entier naturel n, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

• Ainsi, $5^{-3}=\frac{1}{5^3}$.

• En particulier, $a^{-1}=\frac{1}{a}$ pour a non nul.

💡 Astuce mémo

Exposant négatif → passage à l’inverse.