Flashcards : Calcul multivariable et matriciel — 80 cartes

L'ensemble des réels pour lesquels f(x) existe.

L'ensemble de toutes les valeurs possibles de f(x).

Quand tout élément de F admet un antécédent unique dans E.

Elle vérifie f(-x) = f(x).

Elle vérifie f(-x) = -f(x).

f(x) se rapproche de L quand x se rapproche de a dans le domaine.

Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) près de a et h,g ont limite L, alors f a limite L.

$\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$, $1^\infty$, $+\infty-\infty$.

La limite de f en a est égale à f(a) et finie.

Sur l'ensemble des réels.

Sur son domaine de définition.

L'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]a;b[.

La limite du taux d'accroissement existe et est finie en x₀.

$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Lorsque sa dérivée est positive ou nulle partout.

Lorsque sa dérivée est négative ou nulle partout.

$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots+\frac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)+o((x-x_0)^n)$

$\lim_{x\to x_0}\frac{y(x)}{(x-x_0)^n}=0$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

La limite d'une somme de Riemann quand les subdivisions tendent vers zéro.

$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$

dx est remplacé par $g'(t)dt$.

Elle se transforme en une intégrale selon t.

C'est une relation entre x, une fonction y(x) et ses dérivées jusqu'à l'ordre n.

$\mathcal{L}(f(t))=F(p)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt$ lorsque l'intégrale converge.

$a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)$.

$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=\varphi(x)$.

Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

Il correspond à des racines réelles distinctes.

Une fonction qui associe une valeur à chaque couple de nombres (x₁,x₂).

Que f(x₁,x₂) se rapproche de L quand M(x₁,x₂) approche M₀.

En faisant varier une variable et en maintenant les autres constantes.

Les dérivées partielles secondes commutent d'ordre.

$\delta f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$

$\frac{\partial f}{\partial u}=\sum_i\frac{\partial x_i}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_i}$

f autour de (x₁₀,…,xₙ₀) avec dérivées partielles et un reste en grand O.

$\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_2}+\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_3}$.

$\frac{\partial f}{\partial u_j}=\frac{\partial x_1}{\partial u_j}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u_j}\frac{\partial f}{\partial x_2}$ pour j=1 ou 2.

$\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}$.

Par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

Les termes d’ordre inférieur, le terme homogène d’ordre k et un reste $O\left((h_1^2+\cdots+h_n^2)^{k/2}\right)$.

La limite de la somme $\sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta l_i$ quand $\Delta l_i \to 0$.

Elle vaut $\int_{t_A}^{t_B}[P_1(t)x'(t)+Q_1(t)y'(t)+R_1(t)z'(t)]dt$.

Les dérivées partielles vérifient $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$, $\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$ et $\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$.

Elle dépend en général du chemin suivi.

Elle vaut $f(B)-f(A)$.

Elle vaut zéro, $\oint_\Gamma df=0$.

Paramétrer la courbe.

Calculer l'intégrale simple obtenue.

La limite des sommes $\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta A_i$ quand les domaines élémentaires tendent vers zéro.

Le volume entre le plan (Ox, Oy), la surface z=f(x,y) et les droites verticales au-dessus de D.

L'intégrale double sur $D \cup D'$ est la somme des intégrales sur D et sur D'.

Comme $\int_{a_1}^{a_2} \left[ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy \right] dx$.

$\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D_{uv}} |J| f(x(u,v), y(u,v))\, dudv$.

$J = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$.

Un tableau rectangulaire d'éléments réels organisé en m lignes et n colonnes.

Elles ont les mêmes dimensions et tous leurs éléments correspondants sont égaux.

En additionnant leurs éléments correspondants.

Il multiplie chaque élément de la matrice par k.

Le produit AB est de format m×n.

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$.

En échangeant ses lignes et ses colonnes, ce qui donne une matrice n×m.

Sous la forme $[A][X] = [B]$ avec A matrice des coefficients, X vecteur inconnues, B vecteur constantes.

Une matrice avec autant de lignes que de colonnes, de taille n×n.

En sommant les éléments diagonaux de A.

$AA^T=I$

$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Comme la somme des produits d'une ligne ou colonne par leurs cofacteurs.

Le déterminant de la matrice est non nul.

$x_i=\frac{D_i}{D}$

$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{Adj}(A)=\frac{1}{\det(A)}C^T$

Un scalaire λ tel qu'il existe un vecteur non nul v avec $Av=\lambda v$.

C'est $D(\lambda)=\det(\lambda I - A)$, un polynôme de degré n.

Elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

On a $D=P^{-1}AP$ et $A=PDP^{-1}$ avec P inversible et D diagonale.

$A^m = P \operatorname{Diag}(k_1^m,\ldots,k_n^m) P^{-1}$ avec $A=PDP^{-1}$.

Elles sont diagonalisables par une matrice orthogonale et ont des valeurs propres réelles.

Déterminer le polynôme caractéristique, trouver ses racines, résoudre les systèmes homogènes, vérifier l'indépendance des vecteurs.

Trouver les valeurs propres, calculer les vecteurs propres, former P inversible, et obtenir $D=P^{-1}AP$.