QCM : Calcul multivariable et matriciel — 56 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble constitue le domaine de définition d’une fonction réelle f ?

Les images associées aux extrémités du domaine
Les réels obtenus comme antécédents de zéro
Les réels pour lesquels f(x) existe
Les valeurs réelles effectivement prises par f(x)

Les réels pour lesquels f(x) existe

Explication

Le domaine de définition rassemble les valeurs réelles de x pour lesquelles l’expression f(x) est définie. L’ensemble des valeurs prises par f correspond à son image, et non à son domaine.

2. Quelle propriété caractérise une application bijective de E dans F ?

Quelques éléments de F n’ont pas d’antécédent dans E
Chaque élément de E possède plusieurs images distinctes dans F
Chaque élément de F possède au moins deux antécédents dans E
Chaque élément de F possède un unique antécédent dans E

Chaque élément de F possède un unique antécédent dans E

Explication

La bijectivité combine l’existence et l’unicité d’un antécédent pour chaque élément de F. Une application qui autorise plusieurs antécédents ou des éléments de F sans antécédent n’est pas bijective.

3. Que signifie l’égalité lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L ?

La fonction f prend la valeur L pour chaque x appartenant au domaine
La valeur f(a) est nécessairement égale à L dès que f est définie en a
Les valeurs de f(x) se rapprochent de L lorsque x se rapproche de a
Le réel a se rapproche de L lorsque les valeurs de f augmentent

Les valeurs de f(x) se rapprochent de L lorsque x se rapproche de a

Explication

Cette limite décrit le comportement de f(x) lorsque x s’approche de a dans le domaine de la fonction. Elle ne suffit pas à conclure que f(a) vaut L ni que f est constante.

4. Si, au voisinage de a, h(x)≤f(x)≤g(x)h(x)\leq f(x)\leq g(x) et si h et g tendent vers L, vers quelle valeur f tend-elle ?

Vers la borne supérieure des valeurs de g
Vers une valeur qui dépend de f(a)
Vers la moyenne des limites de h et de g
Vers L

Vers L

Explication

Le théorème des gendarmes impose à f la même limite que les deux fonctions qui l’encadrent lorsque leurs limites coïncident. La valeur ponctuelle f(a) n’intervient pas dans cette conclusion.

5. Quelle condition définit la continuité d’une fonction f en a ?

La fonction f possède une limite infinie en a
La limite de f en a est finie et égale à f(a)
La dérivée de f en a existe et vaut zéro
La fonction f prend la même valeur de part et d’autre de a

La limite de f en a est finie et égale à f(a)

Explication

La continuité en a exige que la limite de f lorsque x tend vers a soit finie et coïncide avec la valeur f(a). L’existence d’une dérivée n’est pas nécessaire pour définir la continuité.

6. Sur quel ensemble une fonction rationnelle est-elle continue ?

Sur les intervalles où son numérateur change de signe
Sur l’ensemble des réels, quelles que soient ses valeurs interdites
Sur son domaine de définition
Sur les seuls points où sa dérivée est nulle

Sur son domaine de définition

Explication

Une fonction rationnelle est continue en chaque point où elle est définie, donc sur son domaine de définition. Les zéros de son dénominateur peuvent exclure certains réels.

7. Que permet de conclure le théorème des valeurs intermédiaires si f est continue sur [a;b] et si f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 ?

L’équation f(x)=0 possède une solution unique dans ]a;b[
L’équation f(x)=0 possède au moins une solution dans ]a;b[
La fonction f est strictement monotone sur [a;b]
La dérivée de f s’annule en un point de ]a;b[

L’équation f(x)=0 possède au moins une solution dans ]a;b[

Explication

La continuité et le changement de signe garantissent l’existence d’au moins un zéro entre a et b. L’unicité demanderait une information supplémentaire, comme une monotonie stricte.

8. Si f′(x)≤0f'(x)\leq 0 sur un intervalle, quelle variation de f peut-on établir ?

f est croissante sur cet intervalle
f change de signe à chaque point de l’intervalle
f est constante avec une valeur positive
f est décroissante sur cet intervalle

f est décroissante sur cet intervalle

Explication

Une dérivée négative ou nulle en tout point indique que la fonction est décroissante sur l’intervalle considéré. Ce signe ne renseigne pas directement sur les valeurs positives ou négatives de f.

9. Dans la formule de Taylor à l’ordre n au voisinage de x₀, comment interprète-t-on le terme o((x−x0)n)o((x-x_0)^n) ?

Il possède exactement le même ordre que (x−x0)n(x-x_0)^n
Il remplace tous les termes polynomiaux d’ordre inférieur
Il représente une constante indépendante de x au voisinage de x₀
Il est négligeable devant (x−x0)n(x-x_0)^n lorsque x tend vers x₀

Il est négligeable devant $$(x-x_0)^n$$ lorsque x tend vers x₀

Explication

Le petit o désigne un reste dont le quotient par (x−x0)n(x-x_0)^n tend vers zéro. Il est donc négligeable devant la puissance retenue, contrairement à un terme du même ordre.

10. Que signifie y(x)=o((x−x0)n)y(x)=o((x-x_0)^n) lorsque x tend vers x₀ ?

lim⁡x→x0y(x)(x−x0)n=1\lim_{x\to x_0}\frac{y(x)}{(x-x_0)^n}=1
lim⁡x→x0(x−x0)ny(x)=0\lim_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)^n}{y(x)}=0
lim⁡x→x0y(x)(x−x0)n=0\lim_{x\to x_0}\frac{y(x)}{(x-x_0)^n}=0
lim⁡x→x0y(x)=(x−x0)n\lim_{x\to x_0}y(x)=(x-x_0)^n

$$\lim_{x\to x_0}\frac{y(x)}{(x-x_0)^n}=0$$

Explication

La notation petit o est définie par la nullité de ce quotient lorsque x tend vers x₀. Un quotient tendant vers 1 caractériserait plutôt un comportement équivalent, pas un terme négligeable.

11. Comment définit-on l’intégrale définie d’une fonction sur un intervalle fermé ?

Comme la somme des valeurs de la fonction aux extrémités de l’intervalle
Comme la primitive évaluée au seul point médian de l’intervalle
Comme la limite d’une somme de Riemann lorsque les subdivisions deviennent infinitésimales
Comme la limite du quotient entre la fonction et la largeur de l’intervalle

Comme la limite d’une somme de Riemann lorsque les subdivisions deviennent infinitésimales

Explication

L’intégrale définie est obtenue comme la limite d’une somme de Riemann lorsque les largeurs des subdivisions tendent vers zéro. La valeur aux extrémités ou au point médian ne suffit pas à définir cette intégrale.

12. Quelle opération caractérise l’intégration par parties dans ∫abu(x)v′(x) dx\int_a^b u(x)v'(x)\,dx ?

Dériver simultanément les deux facteurs puis additionner leurs intégrales
Évaluer séparément uu et v′v' aux bornes sans former de nouvelle intégrale
Dériver uu, prendre une primitive de v′v' et soustraire la nouvelle intégrale
Remplacer la variable xx par une variable auxiliaire et transformer le différentiel

Dériver $$u$$, prendre une primitive de $$v'$$ et soustraire la nouvelle intégrale

Explication

L’intégration par parties utilise la dérivée de uu et une primitive vv de v′v', selon [uv]ab−∫abu′v dx[uv]_a^b-\int_a^b u'v\,dx. Le remplacement de la variable et du différentiel relève du changement de variable, qui constitue la confusion fréquente.

13. Quel élément détermine l’ordre d’une équation différentielle ?

La valeur du coefficient associé à la fonction inconnue
Le nombre de fonctions inconnues figurant dans l’équation
Le nombre total de termes présents dans l’équation
L’ordre de la dérivée la plus élevée qui y apparaît

L’ordre de la dérivée la plus élevée qui y apparaît

Explication

L’ordre est fixé par la dérivée de plus haut ordre présente dans l’équation. Le nombre de termes peut varier sans modifier cet ordre.

14. Quelle expression définit la transformée de Laplace monolatérale d’une fonction définie pour t≥0t\geq 0 ?

L(f(t))=∫0∞f(t)ept dt\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{pt}\,dt
L(f(t))=∫−∞∞f(t)e−pt dt\mathcal{L}(f(t))=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt
L(f(t))=∫−∞0f(t)e−pt dt\mathcal{L}(f(t))=\int_{-\infty}^{0}f(t)e^{-pt}\,dt
L(f(t))=∫0∞f(t)e−pt dt\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt

$$\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt$$

Explication

La transformée monolatérale intègre de zéro à l’infini avec le facteur exponentiel e−pte^{-pt}, lorsque l’intégrale converge. Une intégration sur tout l’axe réel correspondrait à une autre convention de transformée.

15. Laquelle est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients variables ?

a(t)y′(t)+b(t)y(t)=f(t)a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)
ay′′(t)+by′(t)+cy(t)=f(t)a y''(t)+b y'(t)+c y(t)=f(t)
a(t)y′(t)+b(t)y(t)2=f(t)a(t)y'(t)+b(t)y(t)^2=f(t)
a(t)y′(t)+b(t)=f(t)y(t)a(t)y'(t)+b(t)=f(t)y(t)

$$a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)$$

Explication

La forme linéaire du premier ordre à coefficients variables est a(t)y′(t)+b(t)y(t)=f(t)a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t). Le terme y(t)2y(t)^2 rend une équation non linéaire, tandis que la seconde expression est du second ordre.

16. Quelle forme représente une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?

ay′(x)+by(x)=φ(x)ay'(x)+by(x)=\varphi(x)
ay′′(x)+b[y′(x)]2+cy(x)=φ(x)ay''(x)+b[y'(x)]^2+cy(x)=\varphi(x)
ay′′(x)+by′(x)+cy(x)=φ(x)ay''(x)+by'(x)+cy(x)=\varphi(x)
a(x)y′′(x)+b(x)y′(x)+c(x)y(x)=φ(x)a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=\varphi(x)

$$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=\varphi(x)$$

Explication

Une telle équation comporte les dérivées jusqu’au second ordre et des coefficients constants aa, bb et cc. Des coefficients dépendant de xx ou un carré de dérivée modifient respectivement la nature des coefficients ou la linéarité.

17. Que représente une fonction de deux variables réelles ?

Une suite qui associe un couple de nombres à chaque valeur réelle
Une application qui associe une valeur à chaque couple (x1,x2)\left(x_1,x_2\right)
Une relation définie uniquement par les deux axes de coordonnées
Une application qui associe deux valeurs à chaque nombre réel

Une application qui associe une valeur à chaque couple $$\left(x_1,x_2\right)$$

Explication

Une fonction de deux variables prend comme entrée un couple (x1,x2)\left(x_1,x_2\right) et lui associe une valeur. Elle ne renvoie pas nécessairement deux valeurs et ne se réduit pas à une relation entre les axes.

18. Que signifie lim⁡M→M0f(x1,x2)=L\lim_{M\to M_0}f(x_1,x_2)=L ?

La fonction prend exactement la valeur LL en tout point proche de M0M_0
Les coordonnées de M(x1,x2)M(x_1,x_2) deviennent égales à celles de LL
Les valeurs de f(x1,x2)f(x_1,x_2) se rapprochent de LL lorsque M(x1,x2)M(x_1,x_2) se rapproche de M0M_0
La fonction devient constante sur toute une région autour de M0M_0

Les valeurs de $$f(x_1,x_2)$$ se rapprochent de $$L$$ lorsque $$M(x_1,x_2)$$ se rapproche de $$M_0$$

Explication

La limite signifie que les valeurs de la fonction se rapprochent de LL quand le point tend vers M0M_0. Elle n’impose ni que la fonction soit constante dans un voisinage ni qu’elle prenne exactement cette valeur en chaque point.

19. Comment obtient-on la dérivée partielle de f(x1,x2)f(x_1,x_2) par rapport à x1x_1 ?

En faisant varier x1x_1 tout en maintenant x2x_2 constant
En remplaçant les deux variables par leurs dérivées respectives
En maintenant x1x_1 constant et en faisant varier x2x_2
En faisant varier simultanément x1x_1 et x2x_2

En faisant varier $$x_1$$ tout en maintenant $$x_2$$ constant

Explication

La dérivée partielle par rapport à x1x_1 s’obtient en faisant varier cette variable et en considérant les autres comme constantes. Faire varier x2x_2 correspondrait à dériver par rapport à cette seconde variable.

20. Si f=f(x1,x2,x3)f=f(x_1,x_2,x_3) et que chaque xix_i dépend de uu, quelle expression donne ∂f∂u\frac{\partial f}{\partial u} ?

∂u∂x1∂f∂x1+∂u∂x2∂f∂x2+∂u∂x3∂f∂x3\frac{\partial u}{\partial x_1}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial u}{\partial x_2}\frac{\partial f}{\partial x_2}+\frac{\partial u}{\partial x_3}\frac{\partial f}{\partial x_3}
∂x1∂u∂x2∂u∂x3∂u∂f∂x1\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_1}
∂f∂x1+∂f∂x2+∂f∂x3\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}+\frac{\partial f}{\partial x_3}
∂x1∂u∂f∂x1+∂x2∂u∂f∂x2+∂x3∂u∂f∂x3\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_2}+\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_3}

$$\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_2}+\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_3}$$

Explication

La dérivée composée additionne, pour chaque variable intermédiaire, le produit de sa dérivée selon uu par la dérivée partielle correspondante de ff. Se limiter à une somme des dérivées partielles de ff néglige la dépendance des xix_i en uu.

21. Pour f=f(x1,x2)f=f(x_1,x_2) avec x1x_1 et x2x_2 fonctions de u1u_1 et u2u_2, quelle expression correspond à la dérivée selon u2u_2 ?

∂u2∂x1∂f∂x1+∂u2∂x2∂f∂x2\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial u_2}{\partial x_2}\frac{\partial f}{\partial x_2}
∂x1∂u2∂f∂x1+∂x2∂u2∂f∂x2\frac{\partial x_1}{\partial u_2}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u_2}\frac{\partial f}{\partial x_2}
∂f∂x1+∂f∂x2\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial f}{\partial x_2}
∂x1∂u1∂f∂x1+∂x2∂u1∂f∂x2\frac{\partial x_1}{\partial u_1}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u_1}\frac{\partial f}{\partial x_2}

$$\frac{\partial x_1}{\partial u_2}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u_2}\frac{\partial f}{\partial x_2}$$

Explication

La dérivée selon u2u_2 utilise les deux variations intermédiaires par rapport à u2u_2, chacune pondérant la dérivée partielle de ff associée. L’expression fondée sur u1u_1 calcule au contraire la dérivée selon u1u_1.

22. En coordonnées polaires x=rcos⁡θx=r\cos\theta et y=rsin⁡θy=r\sin\theta, quelle formule représente le laplacien d’une fonction de classe C2C^2 ?

∂2f∂r2+∂f∂r+∂2f∂θ2\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}
∂2f∂r2+1r∂f∂r+1r2∂2f∂θ2\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}
∂2f∂r2+1r2∂f∂r+1r∂2f∂θ2\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}
∂2f∂r2+r∂f∂r+r2∂2f∂θ2\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+r\frac{\partial f}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}

$$\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}$$

Explication

Le laplacien polaire comprend la dérivée radiale seconde, un terme radial pondéré par 1/r1/r et un terme angulaire pondéré par 1/r21/r^2. Les autres expressions attribuent incorrectement les facteurs aux dérivées.

23. Dans la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre kk pour une fonction de nn variables, quel ordre de grandeur caractérise le reste en fonction de l’incrément hh ?

O((h12+⋯+hn2)(k+1)/2)O\left((h_1^2+\cdots+h_n^2)^{(k+1)/2}\right)
O(h1+⋯+hn)k/2O\left(h_1+\cdots+h_n\right)^{k/2}
O((h12+⋯+hn2)k/2)O\left((h_1^2+\cdots+h_n^2)^{k/2}\right)
O((h12+⋯+hn2)1/k)O\left((h_1^2+\cdots+h_n^2)^{1/k}\right)

$$O\left((h_1^2+\cdots+h_n^2)^{k/2}\right)$$

Explication

Le reste indiqué à l’ordre kk est contrôlé par la norme euclidienne de l’incrément élevée à la puissance kk. L’expression en puissance k+1k+1 correspondrait à une autre estimation et ne décrit pas la formule donnée.

24. Comment définit-on l’intégrale curviligne scalaire de ff sur un arc orienté ABAB ?

Comme la limite des sommes ∑f(Mi)Δli\sum f(M_i)\Delta l_i lorsque les longueurs des éléments tendent vers zéro
Comme la limite des sommes ∑f(Mi)ΔAi\sum f(M_i)\Delta A_i lorsque les aires des éléments tendent vers zéro
Comme la limite des sommes ∑f(Mi)Δxi\sum f(M_i)\Delta x_i lorsque les abscisses tendent vers zéro
Comme la limite des sommes ∑f(Mi)Δti\sum f(M_i)\Delta t_i lorsque les paramètres tendent vers zéro

Comme la limite des sommes $$\sum f(M_i)\Delta l_i$$ lorsque les longueurs des éléments tendent vers zéro

Explication

L’intégrale curviligne scalaire s’obtient par des sommes pondérées par les éléments de longueur Δli\Delta l_i. L’emploi d’aires caractérise une intégrale double, tandis que les autres incréments ne sont pas l’élément de longueur défini ici.

25. Une forme différentielle P dx+Q dy+R dzP\,dx+Q\,dy+R\,dz est paramétrée par x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t) entre tAt_A et tBt_B ; quelle intégrale calcule son intégrale curviligne ?

∫tAtB[P′x′(t)+Q′y′(t)+R′z′(t)] dt\int_{t_A}^{t_B}[P' x'(t)+Q' y'(t)+R' z'(t)]\,dt
∫tAtB[Px′(t)+Qy′(t)+Rz′(t)] ds\int_{t_A}^{t_B}[P x'(t)+Q y'(t)+R z'(t)]\,ds
∫tAtB[Px′(t)+Qy′(t)+Rz′(t)] dt\int_{t_A}^{t_B}[P x'(t)+Q y'(t)+R z'(t)]\,dt
∫tAtB[Px(t)+Qy(t)+Rz(t)] dt\int_{t_A}^{t_B}[P x(t)+Q y(t)+R z(t)]\,dt

$$\int_{t_A}^{t_B}[P x'(t)+Q y'(t)+R z'(t)]\,dt$$

Explication

La paramétrisation remplace dx,dy,dzdx,dy,dz par x′(t)dt,y′(t)dt,z′(t)dtx'(t)dt,y'(t)dt,z'(t)dt, ce qui produit l’intégrande indiqué. Utiliser les fonctions sans leurs dérivées ou remplacer dtdt par dsds ne correspond pas à cette transformation.

26. Quelle condition différentielle caractérise une forme exacte P dx+Q dy+R dzP\,dx+Q\,dy+R\,dz dans un domaine approprié ?

∂P∂y=∂R∂x, ∂Q∂z=∂P∂x, ∂R∂y=∂Q∂z\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial P}{\partial x},\ \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z}
∂P∂z=∂Q∂x, ∂Q∂y=∂R∂z, ∂R∂x=∂P∂y\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial Q}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial R}{\partial z},\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
∂P∂y=∂Q∂x, ∂Q∂z=∂R∂y, ∂R∂x=∂P∂z\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}
∂P∂x=∂Q∂y, ∂Q∂y=∂R∂z, ∂R∂z=∂P∂x\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y},\ \frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial R}{\partial z},\ \frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial P}{\partial x}

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\ \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$$

Explication

Une forme exacte vérifie les trois égalités entre dérivées croisées correspondant aux couples de coordonnées. Les autres rapprochements associent des dérivées qui ne forment pas les conditions d’exactitude requises.

27. Que vaut l’intégrale d’une forme exacte dfdf sur une courbe fermée orientée Γ\Gamma ?

∮Γdf=longueur⁡(Γ)\oint_\Gamma df=\operatorname{longueur}(\Gamma)
∮Γdf=f(B)−f(A)\oint_\Gamma df=f(B)-f(A)
∮Γdf=0\oint_\Gamma df=0
∮Γdf=f(A)+f(B)\oint_\Gamma df=f(A)+f(B)

$$\oint_\Gamma df=0$$

Explication

Sur une courbe fermée, le point initial et le point final coïncident, donc les variations de la primitive se compensent et l’intégrale vaut zéro. L’expression f(B)−f(A)f(B)-f(A) s’applique à une courbe ouverte reliant deux points distincts.

28. Dans la définition d’une intégrale double de ff sur DD, que représentent les termes ΔAi\Delta A_i ?

Les longueurs des arcs élémentaires qui composent le contour de DD
Les variations verticales entre deux valeurs de la fonction sur DD
Les intervalles de paramètre utilisés pour parcourir le bord de DD
Les aires des domaines élémentaires qui partitionnent progressivement DD

Les aires des domaines élémentaires qui partitionnent progressivement $$D$$

Explication

Les termes ΔAi\Delta A_i sont des aires élémentaires dont la taille tend vers zéro dans la somme de Riemann double. Les longueurs d’arcs concernent plutôt une intégrale curviligne.

29. Si ff est positive sur DD, que représente géométriquement ∬Df(x,y) dA\iint_D f(x,y)\,dA ?

Le volume situé sous le plan xOyxOy et au-dessus de la surface z=f(x,y)z=f(x,y)
L’aire du domaine DD multipliée par la valeur maximale de ff sur ce domaine
La longueur de la surface z=f(x,y)z=f(x,y) projetée sur le plan xOyxOy
Le volume compris entre le plan xOyxOy, la surface z=f(x,y)z=f(x,y) et les verticales au-dessus du contour de DD

Le volume compris entre le plan $$xOy$$, la surface $$z=f(x,y)$$ et les verticales au-dessus du contour de $$D$$

Explication

Lorsque ff est positive, chaque élément d’aire est associé à une hauteur f(x,y)f(x,y), ce qui donne le volume sous la surface et au-dessus du domaine. La longueur de surface et l’aire multipliée par un maximum ne sont pas les quantités calculées par cette intégrale.

30. Si les sections verticales de DD sont comprises entre y1(x)y_1(x) et y2(x)y_2(x) pour a1≤x≤a2a_1\le x\le a_2, quelle écriture convient à l’intégrale double ?

∫a1a2[∫y1(x)y2(x)f(x,y) dy]dx\int_{a_1}^{a_2}\left[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx
∫y1(x)y2(x)[∫a1a2f(x,y) dy]dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\left[\int_{a_1}^{a_2}f(x,y)\,dy\right]dx
∫a1a2[∫y1(x)y2(x)f(x,y) dx]dy\int_{a_1}^{a_2}\left[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dx\right]dy
∫a1a2[∫y2(x)y1(x)f(x,y) dy]dx\int_{a_1}^{a_2}\left[\int_{y_2(x)}^{y_1(x)}f(x,y)\,dy\right]dx

$$\int_{a_1}^{a_2}\left[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx$$

Explication

Pour chaque valeur de xx, on intègre d’abord selon yy entre les deux bornes de la section, puis selon xx sur [a1,a2][a_1,a_2]. Inverser le différentiel ou les bornes ne décrit pas la région donnée.

31. Après le changement de variables x=x(u,v)x=x(u,v) et y=y(u,v)y=y(u,v), quel facteur doit accompagner l’intégrande dans l’intégrale sur DuvD_{uv} ?

1∣J∣\frac{1}{|J|}, avec J=∂x∂u∂y∂v+∂x∂v∂y∂uJ=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}
∣J∣|J|, avec J=∂x∂u∂x∂v−∂y∂u∂y∂vJ=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}
∣J∣|J|, avec J=∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂uJ=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}
J2J^2, avec J=∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂uJ=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}

$$|J|$$, avec $$J=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$

Explication

Le changement de variables transforme l’élément d’aire en ∣J∣ du dv|J|\,du\,dv, où JJ est le déterminant des dérivées de xx et yy par rapport à uu et vv. Le carré, l’inverse ou une expression non déterminantielle ne donnent pas le facteur jacobien requis.

32. Quel est le format d’une matrice comportant 3 lignes et 5 colonnes ?

Une matrice carrée d’ordre 3
Une matrice carrée d’ordre 5
Une matrice de format 3 × 5
Une matrice de format 5 × 3

Une matrice de format 3 × 5

Explication

Le format indique d’abord le nombre de lignes, puis le nombre de colonnes. Les formats 5 × 3 et les matrices carrées ne décrivent donc pas ce tableau.

33. Que faut-il faire pour additionner deux matrices et que devient leur format lorsqu’on multiplie l’une d’elles par un scalaire ?

Les matrices doivent être carrées, et le scalaire inverse ce format
Les matrices doivent avoir le même format, et le scalaire conserve ce format
Les matrices doivent avoir des formats opposés, et le scalaire ajoute une colonne
Les matrices doivent avoir le même nombre de colonnes, et le scalaire transpose la matrice

Les matrices doivent avoir le même format, et le scalaire conserve ce format

Explication

L’addition matricielle se fait élément par élément entre matrices de même format, tandis qu’un scalaire multiplie chaque élément sans modifier les dimensions. Le caractère carré ou transposé n’est pas requis par ces opérations.

34. Si A est de format 2 × 3 et B de format 3 × 4, quel est le format de AB ?

3 × 3
2 × 4
4 × 2
2 × 3

2 × 4

Explication

Le produit est défini parce que les 3 colonnes de A correspondent aux 3 lignes de B, et son format extérieur est donc 2 × 4. Le calcul de chaque élément utilise les produits des coefficients correspondants sur ces 3 positions.

35. Quelle transformation permet d’obtenir la transposée d’une matrice de format 2 × 4 ?

Échanger ses lignes et ses colonnes pour obtenir une matrice 4 × 2
Échanger les deux premières lignes pour obtenir une matrice 2 × 4
Conserver ses dimensions et changer le signe de chaque élément
Multiplier chaque colonne par son indice pour obtenir une matrice 4 × 2

Échanger ses lignes et ses colonnes pour obtenir une matrice 4 × 2

Explication

La transposée échange les lignes et les colonnes, ce qui transforme un format 2 × 4 en format 4 × 2. Elle ne consiste ni à changer les signes ni à permuter quelques lignes seulement.

36. Comment reconnaît-on une matrice carrée d’ordre 4 ?

Elle possède 4 éléments diagonaux dans un tableau quelconque
Elle possède 4 lignes et 3 colonnes
Elle possède 4 lignes et 4 colonnes
Elle possède 3 lignes et 4 colonnes

Elle possède 4 lignes et 4 colonnes

Explication

Une matrice carrée possède autant de lignes que de colonnes, et son ordre est ce nombre commun. Un tableau 4 × 3 ou 3 × 4 est rectangulaire, tandis que la diagonale ne suffit pas à définir la matrice.

37. Quelle expression donne la trace de la matrice carrée A=(25−13)A=\begin{pmatrix}2&5\\-1&3\end{pmatrix} ?

Tr⁡(A)=2+3=5\operatorname{Tr}(A)=2+3=5
Tr⁡(A)=5+(−1)=4\operatorname{Tr}(A)=5+(-1)=4
Tr⁡(A)=2+5−1+3=9\operatorname{Tr}(A)=2+5-1+3=9
Tr⁡(A)=2×3−5×(−1)=11\operatorname{Tr}(A)=2\times3-5\times(-1)=11

$$\operatorname{Tr}(A)=2+3=5$$

Explication

La trace est la somme des éléments de la diagonale principale, ici 2 et 3. La somme de tous les éléments et la combinaison utilisée pour le déterminant correspondent à d’autres opérations.

38. Quelle condition caractérise une matrice orthogonale A ?

AAT=IAA^T=I
det⁡(A)=0\det(A)=0
A2=0A^2=0
A+AT=IA+A^T=I

$$AA^T=I$$

Explication

Une matrice est orthogonale lorsque son produit par sa transposée donne la matrice identité. Les trois autres égalités ne constituent pas la définition de l’orthogonalité matricielle.

39. Pour A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, quelle formule permet de calculer son déterminant ?

det⁡(A)=ab−cd\det(A)=ab-cd
det⁡(A)=a+b+c+d\det(A)=a+b+c+d
det⁡(A)=ac−bd\det(A)=ac-bd
det⁡(A)=ad−bc\det(A)=ad-bc

$$\det(A)=ad-bc$$

Explication

Le déterminant d’une matrice 2 × 2 est le produit de la diagonale principale moins le produit de l’autre diagonale. La somme des coefficients correspond plutôt à une autre quantité, et les autres produits associent mal les termes.

40. Quelle condition doit vérifier un vecteur colonne v pour être un vecteur propre associé à λ ?

Il doit être inversible et vérifier A+v=λvA+v=\lambda v
Il doit être non nul et vérifier Av=v+λAv=v+\lambda
Il doit être non nul et vérifier Av=λvAv=\lambda v
Il doit être nul et vérifier Av=λvAv=\lambda v

Il doit être non nul et vérifier $$Av=\lambda v$$

Explication

Un vecteur propre est un vecteur colonne non nul dont l’image par A est un multiple scalaire de lui-même. Le vecteur nul satisfait formellement l’équation pour toute valeur de λ, ce qui explique qu’il soit exclu.

41. Quelle expression définit le polynôme caractéristique d’une matrice carrée A d’ordre n ?

D(λ)=λdet⁡(A)D(\lambda)=\lambda\det(A)
D(λ)=det⁡(A)+λID(\lambda)=\det(A)+\lambda I
D(λ)=det⁡(λI−A)D(\lambda)=\det(\lambda I-A)
D(λ)=det⁡(A−λ)D(\lambda)=\det(A-\lambda)

$$D(\lambda)=\det(\lambda I-A)$$

Explication

Le polynôme caractéristique est le déterminant de la matrice λI−A\lambda I-A et possède un degré n. Ses racines sont les valeurs propres, tandis que le polynôme lui-même est une fonction de λ.

42. Quelle condition garantit qu’une matrice d’ordre n est diagonalisable ?

Elle possède n valeurs propres nécessairement distinctes
Son déterminant est égal à zéro
Elle est nécessairement symétrique réelle
Elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants

Elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants

Explication

La diagonalisation exige une base de n vecteurs propres linéairement indépendants. Des valeurs propres distinctes constituent un cas suffisant fréquent, mais la symétrie ou un déterminant nul ne sont pas des conditions générales nécessaires.

43. Si A est diagonalisable, quelle relation exprime sa diagonalisation par une matrice inversible P et une matrice diagonale D ?

D=PAP−1D=PAP^{-1} et A=P−1DPA=P^{-1}DP
D=P−1APD=P^{-1}AP et A=PDP−1A=PDP^{-1}
D=P+AD=P+A et A=P−DA=P-D
D=P−1+AD=P^{-1}+A et A=P−D−1A=P-D^{-1}

$$D=P^{-1}AP$$ et $$A=PDP^{-1}$$

Explication

Une matrice diagonalisable s’écrit par similitude sous la forme D=P−1APD=P^{-1}AP, ce qui équivaut à A=PDP−1A=PDP^{-1}. Les autres relations ne décrivent pas une transformation de similitude et ne garantissent pas une matrice diagonale.

44. Quelle séquence décrit correctement le calcul d’une intégrale double sur un domaine donné ?

Intégrer séparément les variables, décrire le domaine, puis choisir les coordonnées
Décrire les bornes, calculer la transposée, puis intégrer dans les coordonnées initiales
Choisir les coordonnées, intégrer sur des bornes arbitraires, puis décrire le domaine
Décrire le domaine, choisir des coordonnées adaptées, puis intégrer selon les bornes obtenues

Décrire le domaine, choisir des coordonnées adaptées, puis intégrer selon les bornes obtenues

Explication

Le calcul commence par une description précise du domaine, se poursuit avec le choix de coordonnées adaptées et se termine par l’intégration sur les bornes correspondantes. La deuxième proposition est incorrecte, car les bornes doivent être obtenues à partir du domaine avant l’intégration.

45. Pour le domaine elliptique x21+y24≤1\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}\leq 1, quel changement de variables adapté transforme l’ellipse en domaine rectangulaire dans les coordonnées choisies ?

x=θcos⁡rx=\theta\cos r et y=2θsin⁡ry=2\theta\sin r
x=rcos⁡θx=r\cos\theta et y=2rsin⁡θy=2r\sin\theta
x=rcos⁡θx=r\cos\theta et y=rsin⁡θy=r\sin\theta
x=2rcos⁡θx=2r\cos\theta et y=rsin⁡θy=r\sin\theta

$$x=r\cos\theta$$ et $$y=2r\sin\theta$$

Explication

Les demi-axes de l’ellipse valent 1 selon l’axe des abscisses et 2 selon celui des ordonnées, d’où x=rcos⁡θx=r\cos\theta et y=2rsin⁡θy=2r\sin\theta. Les coordonnées polaires ordinaires de la troisième proposition ne tiennent pas compte de l’étirement vertical de l’ellipse.

46. Quel est le résultat dimensionnel du produit d’une matrice de dimension r×sr\times s par une matrice de dimension s×ts\times t ?

Le produit existe et donne une matrice de dimension r×tr\times t
Le produit existe et donne une matrice de dimension t×rt\times r
Le produit existe et donne une matrice de dimension s×ss\times s
Le produit n’existe pas, car les deux matrices ont des dimensions différentes

Le produit existe et donne une matrice de dimension $$r\times t$$

Explication

Les dimensions intérieures, toutes deux égales à ss, permettent le produit, tandis que les dimensions extérieures donnent une matrice r×tr\times t. La troisième proposition inverse ces dimensions et ne décrit donc pas le résultat du produit.

47. Comment obtient-on la transposée d’une matrice ?

En échangeant ses lignes et ses colonnes
En remplaçant chaque élément par son opposé
En additionnant les éléments de chaque ligne
En conservant les éléments et en inversant leur ordre

En échangeant ses lignes et ses colonnes

Explication

La transposée est formée en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice. Remplacer les éléments par leurs opposés correspond à une autre opération et ne définit pas la transposition.

48. Quelle expression calcule la trace d’une matrice carrée AA ?

tr⁡(A)=∑iai,i+1\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{i,i+1}
tr⁡(A)=∑i,jaij\operatorname{tr}(A)=\sum_{i,j}a_{ij}
tr⁡(A)=∑iaii\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}
tr⁡(A)=∏iaii\operatorname{tr}(A)=\prod_i a_{ii}

$$\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}$$

Explication

La trace est la somme des éléments de la diagonale principale, ce qui s’écrit tr⁡(A)=∑iaii\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}. La deuxième proposition additionne tous les éléments de la matrice, et non ceux de sa diagonale principale.

49. Quelle condition caractérise une matrice diagonale ?

Elle est rectangulaire et ses éléments hors diagonale sont constants
Elle est carrée et tous ses éléments hors diagonale principale sont nuls
Elle est carrée et tous ses éléments de la diagonale principale sont nuls
Elle possède des éléments nuls dans chaque ligne et chaque colonne

Elle est carrée et tous ses éléments hors diagonale principale sont nuls

Explication

Une matrice diagonale est carrée et ses seuls éléments éventuellement non nuls se trouvent sur la diagonale principale. La deuxième proposition décrit plutôt une matrice carrée à diagonale nulle, qui n’est pas nécessairement diagonale.

50. Quelle distinction entre matrices réelles symétriques et antisymétriques est correcte ?

Les deux types vérifient AT=AA^T=A, mais leurs diagonales ont des signes opposés
Les deux types vérifient AT=−AA^T=-A, mais leurs dimensions doivent être différentes
Une matrice symétrique vérifie AT=−AA^T=-A, tandis qu’une matrice antisymétrique vérifie AT=AA^T=A
Une matrice symétrique vérifie AT=AA^T=A, tandis qu’une matrice antisymétrique vérifie AT=−AA^T=-A

Une matrice symétrique vérifie $$A^T=A$$, tandis qu’une matrice antisymétrique vérifie $$A^T=-A$$

Explication

La symétrie est définie par l’égalité avec la transposée, alors que l’antisymétrie est définie par l’opposé de la transposée. La deuxième proposition intervertit précisément ces deux définitions.

51. Quelle propriété caractérise une matrice réelle orthogonale dans le cas étudié ?

Elle vérifie ATA=IA^TA=I et peut prendre une forme trigonométrique en dimension 2
Elle vérifie ATA=0A^TA=0 et possède nécessairement une diagonale nulle
Elle vérifie A2=AA^2=A et ses coefficients sont tous entiers
Elle vérifie AT=−AA^T=-A et représente une matrice antisymétrique

Elle vérifie $$A^TA=I$$ et peut prendre une forme trigonométrique en dimension 2

Explication

Une matrice orthogonale satisfait ATA=IA^TA=I et les formes étudiées en dimension 2 s’expriment avec cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta. La quatrième proposition correspond à la condition d’antisymétrie, qui est distincte de l’orthogonalité.

52. Quelle condition caractérise l’inversibilité d’une matrice carrée AA ?

Son déterminant est égal à un
Son déterminant est non nul
Sa trace est nécessairement positive
Tous ses coefficients diagonaux sont non nuls

Son déterminant est non nul

Explication

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. La valeur de la trace ou des coefficients diagonaux ne suffit pas à garantir cette propriété, et le déterminant n’a pas besoin d’être égal à un.

53. Pour résoudre un système linéaire par la méthode des déterminants, quelle démarche faut-il suivre ?

Calculer la trace des coefficients puis intégrer chaque second membre
Diagonaliser la matrice puis dériver les termes indépendants
Calculer le déterminant des coefficients puis les déterminants associés aux seconds membres
Inverser les seconds membres puis comparer leurs valeurs propres

Calculer le déterminant des coefficients puis les déterminants associés aux seconds membres

Explication

La méthode consiste à déterminer le déterminant de la matrice des coefficients, puis à utiliser les déterminants obtenus en remplaçant les colonnes par les seconds membres. La trace, les valeurs propres ou la dérivation ne constituent pas la procédure décrite.

54. Quelle expression donne la transformée de Laplace de f′′(t)u(t)f''(t)u(t) ?

pF(p)−pf(0)−f′(0)pF(p)-pf(0)-f'(0)
p2F(p)−pf(0)−f′(0)p^2F(p)-pf(0)-f'(0)
p2F(p)−f(0)−f′(0)p^2F(p)-f(0)-f'(0)
pF(p)−f(0)pF(p)-f(0)

$$p^2F(p)-pf(0)-f'(0)$$

Explication

La dérivée seconde introduit les deux conditions initiales, selon la formule p2F(p)−pf(0)−f′(0)p^2F(p)-pf(0)-f'(0). L’expression pF(p)−f(0)pF(p)-f(0) correspond à la dérivée première et ne contient pas la condition sur la dérivée initiale.

55. Quel développement limité correspond à ln⁡(1+x)\ln(1+x) au voisinage de zéro jusqu’au terme en x4x^4 ?

x−x33!+x55!+o(x5)x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)
x−x22+x33−x44+o(x4)x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)
x+x22+x33+x44+o(x4)x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+o(x^4)
1+x−x22+x33+o(x4)1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^4)

$$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$$

Explication

Le développement de ln⁡(1+x)\ln(1+x) alterne les signes après le premier terme et s’écrit jusqu’à l’ordre quatre comme indiqué. Le développement en puissances impaires est celui de sin⁡x\sin x, tandis que les autres expressions modifient les signes ou le terme constant.

56. Quelle succession d’étapes permet de résoudre une équation différentielle linéaire par transformée de Laplace ?

Calculer le développement limité, diagonaliser l’opérateur, puis appliquer une transformée directe
Transformer seulement le second membre, intégrer l’expression obtenue, puis imposer les conditions finales
Résoudre l’équation homogène, supprimer les conditions initiales, puis dériver la solution
Transformer l’équation et les conditions initiales, isoler la solution transformée, puis appliquer la transformée inverse

Transformer l’équation et les conditions initiales, isoler la solution transformée, puis appliquer la transformée inverse

Explication

La méthode transforme l’équation ainsi que les conditions initiales, isole la transformée de la solution, puis revient à la solution par transformation inverse. Négliger les conditions initiales ou transformer seulement le second membre ne permet pas d’obtenir correctement la solution complète.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 80 flashcards sur Calcul multivariable et matriciel.

Qu'est-ce que le domaine de définition d'une fonction f ?

L'ensemble des réels pour lesquels f(x) existe.

Qu'appelle-t-on l'image d'une fonction f ?

L'ensemble de toutes les valeurs possibles de f(x).

Quand une application de E dans F est-elle bijective ?

Quand tout élément de F admet un antécédent unique dans E.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Calcul multivariable et matriciel.

Voir la fiche →

Cours similaires

Liaisons chimiques et géométrie moléculaire

Chimie

Polynômes du second degré

Mathématiques

Vieillissement cutané

Vitesse et conversions

Physique

Optique géométrique et systèmes centrés

Physique

Modélisation des systèmes automatisés

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM