QCM : Polynômes du second degré — 12 questions

Question 1

1. Quelle expression correspond à la troisième identité remarquable ?

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a-b)(a+b)=a^2+b^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2+2ab+b^2

Explication

Le produit d’une somme par une différence donne une différence de deux carrés, soit $a^2-b^2$ . Les carrés d’une somme ou d’une différence comportent, eux, un terme croisé en $2ab$ .

Answer

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Question 2

2. Quelle est la forme factorisée de $x^2-4x+4$ ?

(x-2)^2

(x+2)^2

(x-2)(x+2)

(x-4)^2

Explication

L’expression suit le modèle $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=2$ , donc elle devient $(x-2)^2$ . Le développement d’une forme factorisée ferait l’opération inverse, en revenant à une expression développée.

Answer

$$(x-2)^2$$

Question 3

3. Quelle condition définit une fonction polynôme du second degré écrite sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a=0

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\ne0

a,b,c\in\mathbb{R}

et

c\ne0

a\ne0

, tandis que

b

et

c

sont complexes

Explication

Un trinôme du second degré possède trois coefficients réels et le coefficient de $x^2$ doit être non nul. Si $a=0$ , le terme quadratique disparaît et la fonction n’est plus du second degré.

Answer

$$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\ne0$$

Question 4

4. Dans $f(x)=7x^2-3x+5$ , quelles sont les valeurs des coefficients $a$ , $b$ et $c$ ?

a=5

,

b=-3

et

c=7

a=7

,

b=5

et

c=-3

a=-3

,

b=7

et

c=5

a=7

,

b=-3

et

c=5

Explication

Dans la forme développée, $a$ multiplie $x^2$ , $b$ multiplie $x$ et $c$ est le terme constant. On lit donc respectivement $7$ , $-3$ et $5$ dans cette expression.

Answer

$$a=7$$, $$b=-3$$ et $$c=5$$

Question 5

5. Quelle est la forme canonique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

f(x)=a(x-\alpha)^2-\beta

f(x)=a(x-\beta)^2+\alpha

f(x)=a(x+\alpha)^2-\beta

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ . Les lettres $\alpha$ et $\beta$ représentent donc des paramètres différents des coefficients développés $b$ et $c$ .

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 6

6. Quelle forme canonique obtient-on en complétant le carré dans $f(x)=x^2-10x+10$ ?

f(x)=(x+5)^2-15

f(x)=(x-10)^2-90

f(x)=(x-5)^2+15

f(x)=(x-5)^2-15

Explication

On écrit $x^2-10x+10=(x-5)^2-25+10=(x-5)^2-15$ . Dans cette forme, $\alpha=5$ et $\beta=-15$ , et non l’inverse.

Answer

$$f(x)=(x-5)^2-15$$

Question 7

7. Quelle condition définit une racine du trinôme $ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

C’est le nombre obtenu en additionnant les trois coefficients.

C’est la valeur du coefficient associé au terme en

x^2

.

C’est une valeur de

x

qui annule le trinôme.

C’est la valeur du coefficient associé au terme constant.

Explication

Une racine est une solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$ , donc elle rend le trinôme égal à zéro. Un coefficient comme $a$ , $b$ ou $c$ caractérise l’expression, mais ne constitue pas en lui-même une solution.

Answer

C’est une valeur de $$x$$ qui annule le trinôme.

Question 8

8. Un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

(x+x_1)(x+x_2)

a(x-x_1)(x-x_2)

a(x+x_1)(x+x_2)

(x-x_1)(x-x_2)+a

Explication

La forme factorisée conserve le coefficient directeur $a$ et s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Le produit des deux facteurs sans ce coefficient ne convient que dans le cas particulier où $a=1$ .

Answer

$$a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 9

9. Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme et leur produit ?

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

et

x_1x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

Explication

La somme des racines est l’opposé du quotient de $b$ par $a$ , tandis que leur produit est le quotient de $c$ par $a$ . La confusion fréquente consiste à intervertir les expressions de la somme et du produit.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 10

10. Quelle factorisation correspond à l’équation $2x^2+4x-6=0$ , dont les racines sont $1$ et $-3$ ?

2(x+1)(x-3)

2(x-1)(x+3)

2(x+1)(x+3)

(x-1)(x+3)

Explication

Les racines $1$ et $-3$ donnent les facteurs $x-1$ et $x+3$ , et le coefficient dominant $2$ doit être conservé. La racine $1$ est positive, tandis que $-3$ est négative, ce qui détermine les signes des deux facteurs.

Answer

$$2(x-1)(x+3)$$

Question 11

11. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle propriété de la parabole découle du signe de $a$ ?

Si

a>0

, la parabole est concave ; si

a<0

, elle est convexe.

Si

a>0

, la parabole est constante ; si

a<0

, elle est affine.

Si

a>0

, la parabole est affine ; si

a<0

, elle est constante.

Si

a>0

, la parabole est convexe ; si

a<0

, elle est concave.

Explication

Le signe du coefficient $a$ détermine l’orientation de la parabole : un coefficient positif produit une courbure convexe et un coefficient négatif une courbure concave. Les qualificatifs affine et constante ne décrivent pas ces trinômes du second degré.

Answer

Si $$a>0$$, la parabole est convexe ; si $$a<0$$, elle est concave.

Question 12

12. Quelle forme canonique obtient-on pour $f(x)=x^2+4x+2$ ?

(x+2)^2-2

(x-2)^2+2

(x+2)^2+2

(x-2)^2-2

Explication

En complétant le carré, on écrit $x^2+4x+2=(x+2)^2-2$ , ce qui donne $\alpha=-2$ et $\beta=-2$ . Le signe devant le terme linéaire impose le terme $x+2$ , et le réajustement de la constante impose $-2$ .

Answer

$$(x+2)^2-2$$

QCM : Polynômes du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression correspond à la troisième identité remarquable ?

2. Quelle est la forme factorisée de $x^2-4x+4$ ?

3. Quelle condition définit une fonction polynôme du second degré écrite sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

4. Dans $f(x)=7x^2-3x+5$ , quelles sont les valeurs des coefficients $a$ , $b$ et $c$ ?

5. Quelle est la forme canonique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

6. Quelle forme canonique obtient-on en complétant le carré dans $f(x)=x^2-10x+10$ ?

7. Quelle condition définit une racine du trinôme $ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

8. Un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

9. Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme et leur produit ?

10. Quelle factorisation correspond à l’équation $2x^2+4x-6=0$ , dont les racines sont $1$ et $-3$ ?

11. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle propriété de la parabole découle du signe de $a$ ?

12. Quelle forme canonique obtient-on pour $f(x)=x^2+4x+2$ ?

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QCM : Polynômes du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression correspond à la troisième identité remarquable ?

2. Quelle est la forme factorisée de x2−4x+4x^2-4x+4x2−4x+4 ?

3. Quelle condition définit une fonction polynôme du second degré écrite sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

4. Dans f(x)=7x2−3x+5f(x)=7x^2-3x+5f(x)=7x2−3x+5, quelles sont les valeurs des coefficients aaa, bbb et ccc ?

5. Quelle est la forme canonique d’un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

6. Quelle forme canonique obtient-on en complétant le carré dans f(x)=x2−10x+10f(x)=x^2-10x+10f(x)=x2−10x+10 ?

7. Quelle condition définit une racine du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c, avec a≠0a\ne0a=0 ?

8. Un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c possède deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle est sa forme factorisée ?

9. Pour un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ayant deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle relation donne leur somme et leur produit ?

10. Quelle factorisation correspond à l’équation 2x2+4x−6=02x^2+4x-6=02x2+4x−6=0, dont les racines sont 111 et −3-3−3 ?

11. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, quelle propriété de la parabole découle du signe de aaa ?

12. Quelle forme canonique obtient-on pour f(x)=x2+4x+2f(x)=x^2+4x+2f(x)=x2+4x+2 ?

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2. Quelle est la forme factorisée de $x^2-4x+4$ ?

3. Quelle condition définit une fonction polynôme du second degré écrite sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

4. Dans $f(x)=7x^2-3x+5$ , quelles sont les valeurs des coefficients $a$ , $b$ et $c$ ?

5. Quelle est la forme canonique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

6. Quelle forme canonique obtient-on en complétant le carré dans $f(x)=x^2-10x+10$ ?

7. Quelle condition définit une racine du trinôme $ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

8. Un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède deux racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

9. Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle relation donne leur somme et leur produit ?

10. Quelle factorisation correspond à l’équation $2x^2+4x-6=0$ , dont les racines sont $1$ et $-3$ ?

11. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle propriété de la parabole découle du signe de $a$ ?

12. Quelle forme canonique obtient-on pour $f(x)=x^2+4x+2$ ?