Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Identités remarquables et factorisation
2. Définition du trinôme
3. Forme canonique du trinôme
4. Racines et forme factorisée
5. Somme et produit des racines
6. Signe et représentation du trinôme

📖 1. Identités remarquables et factorisation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les trois identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

• Pour factoriser $x^2-4x+4$, on reconnaît la deuxième identité remarquable et on obtient $(x-2)^2$.

💡 Astuce mémo

Développer va de gauche à droite, factoriser de droite à gauche

📖 2. Définition du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, les coefficients a, b et c sont respectivement le coefficient de $x^2$, le coefficient de x et le terme constant.

📖 3. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

• Pour transformer $x^2-10x+10$ en forme canonique, on complète le carré et on obtient $f(x)=(x-5)^2-15$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2+6x+3$, on obtient $\alpha=-3$, $\beta=-6$ et la forme canonique $f(x)=(x+3)^2-6$.

💡 Astuce mémo

Développer → compléter le carré → identifier α et β

📖 4. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine du trinôme : Solution de l'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Si un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Le trinôme $f(x)=x^2-3x$ admet les racines 0 et 3, car $f(0)=0$ et $f(3)=0$.

• Le trinôme ayant pour racines −3 et 1 et vérifiant $f(0)=5$ est $f(x)=-\frac{5}{3}(x+3)(x-1)$.

💡 Astuce mémo

Deux racines → une forme factorisée

📖 5. Somme et produit des racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si un trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• Pour $2x^2+4x-6=0$, les racines sont 1 et −3, donc la factorisation est $2(x-1)(x+3)$.

💡 Astuce mémo

S = somme = −b/a ; P = produit = c/a

📖 6. Signe et représentation du trinôme

★ À maîtriser

📌 Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a>0$ la parabole est convexe et si $a<0$ elle est concave.

Compléments

• Pour $f(x)=-2(x+3)^2-6$, on a $a=-2<0$, $\alpha=-3$ et $\beta=-6$.

• Pour $f(x)=x^2+4x+2$, on obtient $\alpha=-2$, $\beta=-2$ et $f(x)=(x+2)^2-2$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : convexe ; a < 0 : concave

📊 Tableaux de synthèse

Les formes d'un trinôme