Fiche de révision : Calcul multivariable et matriciel

📋 Plan du Cours

1. Fonctions réelles et limites
2. Continuité et dérivation
3. Développements limités
4. Intégration réelle
5. Équations différentielles
6. Fonctions de plusieurs variables
7. Dérivation composée et formule de Taylor
8. Intégrales curvilignes
9. Intégrales doubles
10. Matrices rectangulaires et opérations
11. Matrices carrées et déterminants
12. Valeurs propres et diagonalisation
13. Intégrales doubles et changements de variables
14. Opérations fondamentales sur les matrices
15. Matrices particulières et propriétés
16. Déterminants et matrices inverses
17. Méthodes récurrentes d’examen

📖 1. Fonctions réelles et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : L’ensemble des réels pour lesquels f(x) existe.
• Image : L’ensemble de toutes les valeurs possibles de f(x).
• Fonction bijective : Une application de E dans F telle que tout élément de F admet un antécédent et un seul dans E.
• Limite : L est la limite de f au voisinage de a lorsque f(x) se rapproche de L à mesure que x se rapproche de a dans le domaine de f.

★ À maîtriser

📌 Le théorème des gendarmes affirme que si h(x)≤f(x)≤g(x) au voisinage de a et si h et g ont la même limite L, alors f a aussi pour limite L.

Compléments

📌 Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x), tandis qu’une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x), avec -x appartenant au domaine lorsque x y appartient.

• Les formes indéterminées citées sont $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$, $1^\infty$ et $+\infty-\infty$.

💡 Astuce mémo

Domaine : là où f existe ; image : les valeurs que f atteint

📖 2. Continuité et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une fonction f définie au voisinage de a est continue en a si sa limite en a est égale à f(a) et est finie.
• Dérivée en un point : Une fonction f est dérivable en x₀ si la limite du taux d’accroissement existe et est finie, avec $f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。

📝 Points essentiels

• Toute fonction polynôme est continue sur l’ensemble des réels, tandis qu’une fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

• Si f est continue sur [a;b] et si f(a)f(b)<0, alors l’équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]a;b[.

• Si f est dérivable sur [a;b], elle est croissante lorsque f'(x)≥0 partout et décroissante lorsque f'(x)≤0 partout.

💡 Astuce mémo

Dérivée existante → continuité, mais continuité ↛ dérivabilité

📖 3. Développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation de Landau : La notation y(x)=o((x-x₀)^n) signifie que $\lim_{x\to x_0}\frac{y(x)}{(x-x_0)^n}=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de Taylor à l’ordre n s’écrit $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots+\frac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)+o((x-x_0)^n)$.

Compléments

📐 Formule — Au voisinage de zéro, le développement limité de l’exponentielle est $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$.

💡 Astuce mémo

Valeur → dérivée → dérivée seconde → reste

📖 4. Intégration réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale définie : La limite d’une somme de Riemann lorsque les largeurs des subdivisions tendent vers zéro.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si F est une primitive de f, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

📐 Formule — L’intégration par parties vérifie $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx$.

Compléments

• Un changement de variable x=g(t) remplace dx par g'(t)dt et transforme l’intégrale en une intégrale selon t.

💡 Astuce mémo

Riemann → primitive → changement de variable → intégration par parties

📖 5. Équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une relation entre x, une fonction y(x) et ses dérivées jusqu’à l’ordre n.
• Transformée de Laplace : Pour une fonction f définie pour t≥0, sa transformée de Laplace monolatérale est $\mathcal{L}(f(t))=F(p)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-pt}\,dt$ lorsque l’intégrale converge.
• Équation linéaire du premier ordre : Une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients variables s’écrit $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)$.
• Équation linéaire du second ordre : Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s’écrit $ay''(x)+by'(x)+cy(x)=\varphi(x)$.

📝 Points essentiels

📌 Pour une équation différentielle linéaire du second ordre, le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ conduit aux trois cas Δ>0, Δ=0 et Δ<0, associés respectivement à des racines réelles distinctes, une racine réelle double ou des racines complexes conjuguées.

💡 Astuce mémo

Régime transitoire : exponentiel ; régime permanent : terme restant

📖 6. Fonctions de plusieurs variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction à deux variables : Une application qui associe une valeur à tout couple de nombres (x₁,x₂).
• Limite en plusieurs variables : L est la limite de f au point M₀ si f(x₁,x₂) se rapproche de L chaque fois que le point M(x₁,x₂) se rapproche de M₀.
• Dérivée partielle : La dérivée obtenue en faisant varier une variable tout en maintenant les autres constantes.

★ À maîtriser

📌 Si f est de classe C², le théorème de Schwarz affirme que l’ordre des dérivations partielles secondes n’intervient pas : $\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$.

📐 Formule — Pour des variables composées xᵢ(u), la dérivée vérifie $\frac{\partial f}{\partial u}=\sum_i\frac{\partial x_i}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_i}$.

• La formule de Taylor-Lagrange en plusieurs variables développe f autour de (x₁₀,…,xₙ₀) en combinant les dérivées partielles jusqu’à l’ordre choisi et un reste en grand O.

Compléments

📐 Formule — La forme différentielle d’une fonction f à n variables est $\delta f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$.

💡 Astuce mémo

Domaine → limite → dérivées partielles → Taylor

📖 7. Dérivation composée et formule de Taylor

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si f dépend de x1, x2 et x3, elles-mêmes fonctions de u, alors $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_2}+\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x_3}$, sous réserve de l’existence des dérivées partielles.

📐 Formule — Pour deux variables intermédiaires x1 et x2 dépendant de u1 et u2, on a $\frac{\partial f}{\partial u_j}=\frac{\partial x_1}{\partial u_j}\frac{\partial f}{\partial x_1}+\frac{\partial x_2}{\partial u_j}\frac{\partial f}{\partial x_2}$ pour j égal à 1 ou 2.

📐 Formule — En coordonnées polaires définies par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$, le laplacien vérifie $\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}$ pour une fonction de classe C2.

📐 Formule — La formule de Taylor-Lagrange à l’ordre k pour une fonction de n variables ajoute aux termes d’ordre inférieur le terme homogène d’ordre k et un reste $O\left((h_1^2+\cdots+h_n^2)^{k/2}\right)$.

💡 Astuce mémo

Variables intermédiaires → dérivées partielles → développement de Taylor

📖 8. Intégrales curvilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale curviligne scalaire : La limite $\int_{AB}f(M)\,dl=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta l_i$ lorsque la longueur des éléments tend vers zéro.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une forme différentielle $\delta f=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$ paramétrée par x(t), y(t) et z(t), l’intégrale curviligne vaut $\int_{t_A}^{t_B}[P_1(t)x'(t)+Q_1(t)y'(t)+R_1(t)z'(t)]\,dt$.

📌 Une forme différentielle exacte est caractérisée par $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$, $\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$ et $\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$, alors qu’une forme non exacte dépend en général du chemin.

📌 Pour une forme exacte sur une courbe ouverte, $\int_{AB}df=f(B)-f(A)$, tandis que sur une courbe fermée, $\oint_\Gamma df=0$.

Compléments

• Le calcul général d’une intégrale curviligne consiste à paramétrer la courbe puis à calculer l’intégrale simple obtenue.

💡 Astuce mémo

Forme exacte : chemin quelconque ; forme non exacte : chemin imposé

📖 9. Intégrales doubles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale double : La limite $\iint_Df(x,y)\,dxdy=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta A_i$ lorsque les domaines élémentaires tendent vers zéro.

★ À maîtriser

• Si f est positive, l’intégrale double $\iint_Df(x,y)\,dA$ représente le volume compris entre le plan (Ox, Oy), la surface z=f(x,y) et les droites verticales au-dessus du contour de D.

📐 Formule — Lorsque les sections verticales du domaine sont comprises entre y1(x) et y2(x), l’intégrale double s’écrit $\iint_Df(x,y)\,dxdy=\int_{a_1}^{a_2}\left[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx$.

📐 Formule — Par le changement de variables x=x(u,v) et y=y(u,v), on a $\iint_Df(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{uv}}|J|f(x(u,v),y(u,v))\,dudv$ avec $J=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$.

Compléments

📌 Pour deux domaines disjoints D et D′, l’intégrale double est additive : $\iint_{D\cup D'}f\,dxdy=\iint_Df\,dxdy+\iint_{D'}f\,dxdy$.

💡 Astuce mémo

Domaine → balayage → intégrale itérée

📖 10. Matrices rectangulaires et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Tableau rectangulaire d’éléments aij organisé en m lignes et n colonnes, appelé matrice de format m×n.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux matrices de même format s’obtient en additionnant les éléments correspondants, tandis que le produit par un scalaire k multiplie chaque élément par k.

📐 Formule — Si A est de format m×p et B de format p×n, leur produit AB est de format m×n et son élément cij vérifie $c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$.

📌 La transposée AT d’une matrice m×n est une matrice n×m obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes, avec $(A^T)_{ij}=a_{ji}$.

📐 Formule — Un système de m équations linéaires à n inconnues s’écrit sous forme matricielle $[A][X]=[B]$, où A est la matrice des coefficients, X le vecteur des inconnues et B le vecteur des constantes.

Compléments

📌 Deux matrices de mêmes dimensions sont égales si tous leurs éléments correspondants vérifient $a_{ij}=b_{ij}$.

💡 Astuce mémo

Une matrice comme un tableau : lignes horizontales, colonnes verticales

📖 11. Matrices carrées et déterminants

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice carrée : Matrice ayant autant de lignes que de colonnes, et une matrice carrée n×n est d’ordre n.
• Matrice orthogonale : Une matrice A est orthogonale si $AA^T=I$, ce qui implique que ses lignes et ses colonnes forment des bases orthonormées.

★ À maîtriser

📐 Formule — La trace d’une matrice carrée A d’ordre n est la somme de ses éléments diagonaux : $\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$.

📐 Formule — Le déterminant d’une matrice 2×2 vérifie $\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

📌 Un système carré possède une solution unique si et seulement si son déterminant D=det(A) est non nul, et dans ce cas la règle de Cramer donne $x_i=\frac{D_i}{D}$.

📐 Formule — Si det(A)≠0, l’inverse de A est $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{Adj}(A)=\frac{1}{\det(A)}C^T$, où C est la matrice des cofacteurs.

Compléments

📌 Pour une matrice carrée d’ordre n, le déterminant est la somme des produits des éléments d’une ligne ou d’une colonne par leurs cofacteurs respectifs.

💡 Astuce mémo

Déterminant non nul → matrice inversible → solution unique

📖 12. Valeurs propres et diagonalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un scalaire λ est une valeur propre d’une matrice carrée A s’il existe un vecteur colonne non nul v tel que $Av=\lambda v$.
• Polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique d’une matrice A d’ordre n est $D(\lambda)=\det(\lambda I-A)$, un polynôme de degré n.
• Valeur propre : Scalaire pour lequel il existe un vecteur non nul v vérifiant $Av=\lambda v$.

★ À maîtriser

📌 Une matrice d’ordre n est diagonalisable si et seulement si elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

📐 Formule — Si A est diagonalisable, il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que $D=P^{-1}AP$ et $A=PDP^{-1}$.

📌 Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable par une matrice orthogonale, et ses valeurs propres sont réelles.

• Le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres consiste à déterminer le polynôme caractéristique, en trouver les racines, résoudre les systèmes homogènes associés, puis vérifier le nombre de vecteurs propres indépendants.

📐 Formule — Les valeurs propres d’une matrice A sont les racines de son polynôme caractéristique $D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$.

• La diagonalisation consiste à déterminer les valeurs propres, calculer les vecteurs propres associés, former une matrice inversible P avec ces vecteurs et obtenir $D=P^{-1}AP$.

Compléments

📐 Formule — Pour une matrice diagonalisable $A=PDP^{-1}$ avec $D=\operatorname{Diag}(k_1,\ldots,k_n)$, on a $A^m=P\operatorname{Diag}(k_1^m,\ldots,k_n^m)P^{-1}$.

💡 Astuce mémo

Polynôme caractéristique → valeurs propres → vecteurs propres → matrice de passage

📖 13. Intégrales doubles et changements de variables

★ À maîtriser

• Le calcul d’une intégrale double commence par la description précise du domaine, se poursuit par le choix de coordonnées adaptées et s’achève par l’intégration sur les bornes obtenues.

Compléments

• Pour le domaine elliptique défini par $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}\leq 1$, le changement $x=r\cos\theta$ et $y=2r\sin\theta$ transforme le domaine en un domaine rectangulaire en coordonnées polaires adaptées.

• Le domaine $|x|+|y|\leq 1$ est un losange centré en l’origine, tandis que le domaine défini par $4\leq x^2+y^2\leq 9$ est une couronne circulaire de rayons 2 et 3.

💡 Astuce mémo

Décrire le domaine → choisir les coordonnées → intégrer

📖 14. Opérations fondamentales sur les matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Transposée d’une matrice : Matrice obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes.

📝 Points essentiels

📌 Le produit d’une matrice de dimension r×s par une matrice de dimension s×t existe et donne une matrice de dimension r×t.

📐 Formule — La trace d’une matrice carrée est la somme des éléments de sa diagonale principale : $\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}$.

💡 Astuce mémo

Produit possible si les dimensions intérieures coïncident, sinon impossible

📖 15. Matrices particulières et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice diagonale : Matrice carrée dont tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls.

📝 Points essentiels

📌 Une matrice réelle est symétrique si $A^T=A$ et antisymétrique si $A^T=-A$.

• Une matrice réelle orthogonale vérifie $A^TA=I$ et peut, dans le cas étudié en dimension 2, s’écrire sous l’une des formes $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Symétrique : Aᵀ = A ; antisymétrique : Aᵀ = −A

📖 16. Déterminants et matrices inverses

★ À maîtriser

📐 Formule — Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, et son inverse vérifie $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{Adj}(A)$.

Compléments

• 🔄 La méthode consiste à:
  1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients
  2. Calculer les déterminants associés aux seconds membres
  3. Déduire les inconnues

💡 Astuce mémo

Déterminant nul → matrice non inversible

📖 17. Méthodes récurrentes d’examen

📝 Points essentiels

📐 Formule — La transformée de Laplace de la dérivée première vérifie $\mathcal{L}[f'(t)u(t)]=pF(p)-f(0)$, tandis que celle de la dérivée seconde vérifie $\mathcal{L}[f''(t)u(t)]=p^2F(p)-pf(0)-f'(0)$.

📐 Formule — Les développements limités usuels comprennent $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$ et $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$.

• Pour résoudre une équation différentielle linéaire avec la transformée de Laplace, on transforme l’équation et les conditions initiales, on isole la transformée de la solution puis on applique la transformée inverse.

💡 Astuce mémo

Limite ou développement → intégrale ou équation différentielle → vérification

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des intégrales curvilignes

Types de matrices et critères