Fiche de révision : Calcul vectoriel dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Caractéristiques et représentation des vecteurs
2. Coordonnées et norme d’un vecteur
3. Égalité et opposition des vecteurs
4. Addition et relation de Chasles
5. Soustraction de vecteurs
6. Multiplication par un réel
7. Colinéarité, alignement et parallélisme
8. Milieu d’un segment
9. Opérations sur les composantes

📖 1. Caractéristiques et représentation des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur libre : Caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur, sans origine fixée.
• Vecteur nul : Vecteur dont chaque représentant a son origine et son extrémité confondues.

📝 Points essentiels

• Un vecteur se représente par un segment orienté qui possède une direction, un sens et une longueur.

📖 2. Coordonnées et norme d’un vecteur

★ À maîtriser

📐 Formule - Les composantes du déplacement de A vers B sont $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur reliant A à B vaut $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• La norme d’un vecteur est la longueur du segment qui relie son origine à son extrémité.

💡 Astuce mémo

De A vers B : différence des coordonnées, puis racine de la somme des carrés.

📖 3. Égalité et opposition des vecteurs

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens, la même longueur et les mêmes composantes.

📌 Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, mais des sens opposés.

Compléments

• Deux vecteurs égaux $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivalent à ce que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme et à ce que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

💡 Astuce mémo

Égaux : même sens ; opposés : sens inversé.

📖 4. Addition et relation de Chasles

★ À maîtriser

• La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ lorsque l’extrémité du premier vecteur coïncide avec l’origine du second.

Compléments

• La somme de vecteurs consécutifs relie l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier.

💡 Astuce mémo

A→B puis B→C devient A→C.

📖 5. Soustraction de vecteurs

★ À maîtriser

📌 Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé, ainsi $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$.

• La soustraction de vecteurs n’est pas commutative : $\vec{u}-\vec{v}\ne\vec{v}-\vec{u}$.

Compléments

• Si deux vecteurs ont la même origine, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.

💡 Astuce mémo

Soustraire v → ajouter −v.

📖 6. Multiplication par un réel

★ À maîtriser

📌 Pour $r\ne0$ et $\vec{v}\ne\vec{0}$, le vecteur $r\vec{v}$ a la même direction que $\vec{v}$, une norme égale à $|r|\|\vec{v}\|$, et son sens dépend du signe de r.

Compléments

📌 Si $r=0$ ou si $\vec{v}=\vec{0}$, alors $r\vec{v}=\vec{0}$.

💡 Astuce mémo

r positif conserve le sens ; r négatif l’inverse.

📖 7. Colinéarité, alignement et parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs dont l’un est un multiple réel de l’autre.

★ À maîtriser

📌 Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement s’il existe un réel non nul r tel que $\overrightarrow{AC}=r\overrightarrow{AB}$.

📌 Les droites AB et CD sont parallèles si et seulement s’il existe un réel non nul r tel que $\overrightarrow{CD}=r\overrightarrow{AB}$.

Compléments

• Deux vecteurs égaux ont des composantes égales, deux vecteurs parallèles ont des composantes proportionnelles et deux vecteurs opposés ont des composantes opposées.

📖 8. Milieu d’un segment

📝 Points essentiels

📌 M est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, ou $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}$, ou $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$, ou $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$.

📐 Formule - Les coordonnées du milieu M de [AB] sont $\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📖 9. Opérations sur les composantes

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux vecteurs de composantes $\vec{u}=(x_u;y_u)$ et $\vec{v}=(x_v;y_v)$, leur somme a pour composantes $\vec{u}+\vec{v}=(x_u+x_v;y_u+y_v)$.

📐 Formule - Pour deux vecteurs de composantes $\vec{u}=(x;y)$ et $\vec{v}=(x';y')$, leur différence a pour composantes $\vec{u}-\vec{v}=(x-x';y-y')$.