QCM : Calculer avec Thalès (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que permet d’affirmer le théorème de Thalès lorsque deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles ?

Les deux triangles formés sont semblables et leurs côtés ont des longueurs proportionnelles.
Les deux triangles formés ont un sommet commun et leurs côtés sont perpendiculaires.
Les deux triangles formés ont la même aire et leurs côtés correspondants sont égaux.
Les deux triangles formés sont rectangles et leurs angles aigus sont complémentaires.

Les deux triangles formés sont semblables et leurs côtés ont des longueurs proportionnelles.

Explication

Les parallèles déterminent deux triangles semblables, ce qui entraîne la proportionnalité de leurs côtés correspondants. Avoir la même aire ne garantit pas que les longueurs des côtés soient proportionnelles.

2. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, et (AB) est parallèle à (CD) ; quelle relation relie les triangles OAB et OCD ?

Leurs angles correspondants sont tous droits.
Leurs côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
Leurs aires sont dans le rapport des longueurs AB et CD.
Leurs côtés correspondants ont des longueurs égales.

Leurs côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

Explication

Puisque (AB) et (CD) sont parallèles et que les deux autres droites se coupent en O, les triangles OAB et OCD ont des côtés correspondants proportionnels. Des longueurs correspondantes égales ne sont pas impliquées par cette configuration.

3. Dans la configuration où (NK) et (JM) se coupent en I et où (NM) est parallèle à (JK), quelle égalité donne le théorème de Thalès ?

INIK=IMIJ=NMJK\frac{IN}{IK} = \frac{IM}{IJ} = \frac{NM}{JK}
INIJ=IMIK=NMJK\frac{IN}{IJ} = \frac{IM}{IK} = \frac{NM}{JK}
INIM=IKIJ=NMJK\frac{IN}{IM} = \frac{IK}{IJ} = \frac{NM}{JK}
INIK=IJIM=JKNM\frac{IN}{IK} = \frac{IJ}{IM} = \frac{JK}{NM}

$$\frac{IN}{IK} = \frac{IM}{IJ} = \frac{NM}{JK}$$

Explication

Les rapports associent les segments issus de I sur chaque droite, puis les côtés parallèles : IN avec IK, IM avec IJ et NM avec JK. La relation qui échange IJ et IM dans le deuxième rapport ne respecte pas les correspondances entre les deux triangles.

4. Dans la configuration de Thalès, on connaît IN=8IN=8, IK=5IK=5, IM=7IM=7 et JK=3JK=3 ; quelles sont les valeurs de IJIJ et NMNM ?

IJ=4,8IJ=4{,}8 et NM=4,375NM=4{,}375
IJ=4,375IJ=4{,}375 et NM=4,8NM=4{,}8
IJ=2,625IJ=2{,}625 et NM=4,8NM=4{,}8
IJ=4,375IJ=4{,}375 et NM=7,5NM=7{,}5

$$IJ=4{,}375$$ et $$NM=4{,}8$$

Explication

La proportionnalité donne IJ=IM×IK:IN=7×5:8=4,375IJ=IM\times IK:IN=7\times5:8=4{,}375 et NM=JK×IN:IK=3×8:5=4,8NM=JK\times IN:IK=3\times8:5=4{,}8. L’inversion des deux résultats confond les calculs de la longueur sur la droite sécante et de celle parallèle.

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Que garantit le théorème de Thalès sur deux triangles formés par des droites parallèles ?

Ils sont semblables et leurs côtés ont des longueurs proportionnelles.

Dans la configuration de Thalès, quel rapport relie les longueurs correspondantes ?

INIK=IMIJ=NMJK\frac{IN}{IK}=\frac{IM}{IJ}=\frac{NM}{JK}

Avec IN=8IN=8, IK=5IK=5, IM=7IM=7 et JK=3JK=3, quelle est la longueur IJIJ ?

IJ=4,375IJ=4{,}375

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