Fiche de révision : Calculs algébriques et logique

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Puissances racines et opérations
3. Sommes et produits finis
4. Changements d’indice et télescopage
5. Identités remarquables et binôme
6. Logique binaire et énoncés

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensembles de nombres : Les ensembles usuels sont $\mathbb N=\{0{,}1{,}2,\ldots\}$, $\mathbb Z$ des entiers relatifs, $\mathbb D$ des décimaux, $\mathbb Q$ des rationnels, $\mathbb R$ des réels et $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ des irrationnels.
• Ensemble vide : Un ensemble est vide, noté $E=\varnothing$, s’il ne contient aucun élément.
• Parties signées : Pour un ensemble E de nombres, $E_- =\{x\in E:x\leq0\}$, $E_+=\{x\in E:x\geq0\}$, $E^*=\{x\in E:x\ne0\}$, $E^*_- =\{x\in E:x<0\}$ et $E^*_+=\{x\in E:x>0\}$.

★ À maîtriser

📌 L’appartenance $x\in E$ signifie que x est un élément de E, tandis que l’inclusion $E\subset F$ signifie que tout élément de E appartient à F.

• Les inclusions sont $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

• Les ensembles $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R$ sont stables par addition et multiplication, tandis que les irrationnels ne sont stables ni par addition ni par multiplication.

Compléments

• Les nombres pairs sont les éléments de $2\mathbb Z$ et les nombres impairs ceux de $2\mathbb Z+1$.

💡 Astuce mémo

Les rationnels s’écrivent en fraction ; les irrationnels ne le peuvent pas.

📖 2. Puissances racines et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\geq0$, la racine n-ième de x est le réel $y=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ tel que $y^n=x$.

★ À maîtriser

📌 Pour $a\in\mathbb R$ et $b\in\mathbb N$, $a^b$ est le produit de b facteurs égaux à a, avec la convention $a^0=1$.

📌 Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$, tandis que pour $x\geq0$, $(\sqrt{x})^2=x$.

📐 Formule - Pour les puissances, $x^\alpha x^\beta=x^{\alpha+\beta}$, $\frac{x^\alpha}{x^\beta}=x^{\alpha-\beta}$, $(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha$ et $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$ lorsque les expressions ont un sens.

Compléments

📌 Pour $a\in\mathbb R^*$ et $b\in\mathbb Z$, les puissances d’exposant négatif sont définies à l’aide de l’inverse de a.

📐 Formule - Pour $a>0$ et $b\in\mathbb R$, la puissance réelle est définie par $a^b=e^{b\ln a}$.

📌 Si x est négatif et n impair, sa racine n-ième est définie par $\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{-x}$.

📐 Formule - Pour les fractions, $\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}$ et $\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}$.

📖 3. Sommes et produits finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme et produit finis : Pour une famille finie de réels, $\sum_{k\in I}a_k$ désigne leur somme et $\prod_{k\in I}a_k$ leur produit ; la somme vide vaut 0 et le produit vide vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - La linéarité des sommes donne $\sum_{k\in I}(a_k+\lambda b_k)=\sum_{k\in I}a_k+\lambda\sum_{k\in I}b_k$.

📐 Formule - La somme des entiers de p à n vaut $\sum_{k=p}^{n}k=\frac{(n-p+1)(n+p)}2$, et en particulier $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$.

📐 Formule - Pour $q\ne1$, la somme géométrique vérifie $\sum_{k=p}^{n}q^k=\frac{q^p-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

📐 Formule - Pour $p\leq n$, $\sum_{k=p}^{n}1=n-p+1$.

📐 Formule - Pour deux familles finies, l’ordre des sommations peut être échangé : $\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{i,j}=\sum_{j\in J}\sum_{i\in I}a_{i,j}$.

📐 Formule - Si $a_{i,j}=\alpha_i\beta_j$, alors $\left(\sum_{i\in I}\alpha_i\right)\left(\sum_{j\in J}\beta_j\right)=\sum_{i\in I,j\in J}\alpha_i\beta_j$.

📖 4. Changements d’indice et télescopage

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme télescopique vérifie $\sum_{k=p}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_p$ pour $p\leq n$.

Compléments

📌 Par translation de l’indice, en posant $j=i+k$, on a $\sum_{i=p}^{n}a_{i+k}=\sum_{j=p+k}^{n+k}a_j$.

📌 Par retournement de l’indice, en posant $j=k-i$, on a $\sum_{i=p}^{n}a_{k-i}=\sum_{j=k-n}^{k-p}a_j$.

📖 5. Identités remarquables et binôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Pour $0\leq k\leq n$, le coefficient binomial est $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ; il vaut 0 pour les autres valeurs de n et k.
• Factorielle : Pour $n\in\mathbb N^*$, la factorielle est $n!=1\times2\times\cdots\times n$, avec la convention $0!=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier naturel non nul n, la différence de puissances se factorise selon $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$.

📐 Formule - Le carré d’une somme finie vérifie $\left(\sum_{i\in I}a_i\right)^2=\sum_{i\in I}a_i^2+2\sum_{i<j,\,i,j\in I}a_i a_j$.

📐 Formule - La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k$ pour $n\in\mathbb N$.

Compléments

📐 Formule - Pour n et k naturels non simultanément nuls, la formule de Pascal est $\binom nk=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}$.

📐 Formule - Pour $n\geq k$, la symétrie des coefficients binomiaux donne $\binom nk=\binom n{n-k}$.

📖 6. Logique binaire et énoncés

🔑 Notions clés & Définitions

• Logique binaire : La logique binaire impose à toute proposition une valeur de vérité et n’admet que les valeurs vrai ou faux, sans possibilité qu’une proposition soit simultanément vraie et fausse.
• Négation : La négation d’une proposition P, notée non(P) ou ¬P, prend la valeur de vérité contraire à celle de P.

★ À maîtriser

📌 La conjonction $P\land Q$ est vraie uniquement lorsque P et Q sont toutes deux vraies, tandis que la disjonction $P\lor Q$ est vraie lorsqu’au moins l’une des deux est vraie.

Compléments

📌 Une définition explique le sens d’un concept, tandis qu’un théorème est un énoncé vrai jugé important et central.

📌 Une proposition est un énoncé vrai intéressant mais moins central qu’un théorème, tandis qu’un lemme est un énoncé vrai utilisé pour en démontrer d’autres.

• Un corollaire est une déduction simple d’un théorème ou d’une proposition, une conjecture est un énoncé pensé vrai sans démonstration, et un axiome est une supposition de base.

💡 Astuce mémo

« Et » exige deux vérités ; « ou » en exige au moins une.

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs de vérité des connecteurs