Fiche de révision : Calculs et comparaisons numériques

📋 Plan du Cours

1. Puissances et écritures numériques
2. Comparaisons et identités algébriques

📖 1. Puissances et écritures numériques

★ À maîtriser

• Pour simplifier une fraction de puissances, on factorise les expressions du numérateur et du dénominateur avant d’appliquer les règles des puissances, comme dans $V=\frac{(8^{n+1}+8^n)^2}{(4^{2n}-4^{n-1})^3}$.

📐 Formule - La notation ingénieur s’écrit avec un coefficient compris entre 1 et 1000 multiplié par une puissance de 10 dont l’exposant est un multiple de 3 ; ainsi, $87\cdot10^{-7}=8{,}7\cdot10^{-6}$.

Compléments

• Pour calculer une expression avec des puissances, on réécrit les facteurs avec des bases ou des exposants communs, puis on applique les règles opératoires avant de réduire le résultat, comme dans $G=\left[2-\left(\frac{3}{5}\right)^{2026}\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2027}\right]^2$.

• Pour le réel $R=\frac{8^{10}+4^{10}}{8^{10}+4^{10}}$, la simplification donne $R=1$.

📖 2. Comparaisons et identités algébriques

★ À maîtriser

• La différence des carrés de deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ vaut $2n+1$ ; pour qu’elle soit égale à 53, les entiers sont 26 et 27.

📌 Pour $a,b,c>0$ avec $a\geq b$, on a $\frac{a}{b}\geq\frac{a+c}{b+c}$, car la différence après mise au même dénominateur a le signe de $c(a-b)$.

📐 Formule - Pour $a>b\geq0$, $\left(\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-b^2}}\right)^2=2(a+b)$.

Compléments

• On a $\frac{1}{18}>\frac{1}{13\sqrt{2}}$, car $18<13\sqrt{2}$.