QCM : Calculs et comparaisons numériques (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture respecte la notation ingénieur pour 87⋅10−787\cdot10^{-7} ?

8,7⋅10−68{,}7\cdot10^{-6}
0,87⋅10−50{,}87\cdot10^{-5}
870⋅10−8870\cdot10^{-8}
87⋅10−687\cdot10^{-6}

$$8{,}7\cdot10^{-6}$$

Explication

En notation ingénieur, le coefficient doit être compris entre 1 et 1000 et l’exposant de 10 doit être un multiple de 3 ; ainsi, 8,7⋅10−68{,}7\cdot10^{-6} convient. 0,87⋅10−50{,}87\cdot10^{-5} représente la même valeur, mais son coefficient est inférieur à 1 et son exposant n’est pas un multiple de 3.

2. Quelle démarche faut-il privilégier pour simplifier une fraction de puissances comme (8n+1+8n)2(42n−4n−1)3\frac{(8^{n+1}+8^n)^2}{(4^{2n}-4^{n-1})^3} ?

Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis appliquer les règles des puissances.
Remplacer les sommes par des produits, puis réduire les bases sans factoriser.
Soustraire les exposants des termes du numérateur, puis ceux du dénominateur.
Développer toutes les puissances, puis additionner directement les exposants.

Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis appliquer les règles des puissances.

Explication

La factorisation met en évidence les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur, après quoi les règles des puissances permettent de simplifier. Soustraire les exposants de termes additionnés ou soustraits ne constitue pas une règle valide.

3. Pour quels entiers consécutifs la différence entre le carré du plus grand et celui du plus petit vaut-elle 53 ?

52 et 53
27 et 28
25 et 26
26 et 27

26 et 27

Explication

La différence des carrés de n+1n+1 et de nn vaut 2n+12n+1 ; en posant 2n+1=532n+1=53, on obtient n=26n=26. Les entiers 25 et 26 donnent une différence de 51, et non de 53.

4. Si a,b,c>0a,b,c>0 et a≥ba\geq b, quelle comparaison est correcte ?

ab≤a+cb+c\frac{a}{b}\leq\frac{a+c}{b+c}
ab≥a+cb+c\frac{a}{b}\geq\frac{a+c}{b+c}
ab=a+cb+c\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+c}
ab≥a−cb−c\frac{a}{b}\geq\frac{a-c}{b-c}

$$\frac{a}{b}\geq\frac{a+c}{b+c}$$

Explication

La différence entre les deux premiers rapports, mise au même dénominateur, a le signe de c(a−b)c(a-b), qui est positif ou nul sous les hypothèses données. L’ajout de cc au numérateur et au dénominateur ne fait donc pas augmenter le rapport, contrairement à la comparaison inversée.

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Quelle notation ingénieur correspond à 87⋅10−787\cdot10^{-7} ?

8,7⋅10−68{,}7\cdot10^{-6}

Quels entiers consécutifs ont une différence des carrés égale à 53 ?

26 et 27.

Pour a≥b>0a\geq b>0 et c>0c>0, quelle comparaison vaut entre ab\frac{a}{b} et a+cb+c\frac{a+c}{b+c} ?

ab≥a+cb+c\frac{a}{b}\geq\frac{a+c}{b+c}.

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