Fiche de révision : Puissances et comparaisons numériques

📋 Plan du Cours

1. Calculs avec puissances et fractions
2. Comparaisons et notation ingénieur
3. Identités et expressions radicales

📖 1. Calculs avec puissances et fractions

★ À maîtriser

• Le quotient $R=\frac{8^{10}+4^{10}}{8^{10}+4^{10}}$ vaut 1, car son numérateur et son dénominateur sont identiques.

Compléments

• Dans l’expression de G, le produit $\left(\frac{3}{5}\right)^{2026}\left(\frac{5}{6}\right)^{2027}$ se réécrit $\frac{5}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{2026}$, donc $G=\left[2-\frac{5}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{2026}\right]^2$.

• Pour tout entier n, $V=\frac{(8^{n+1}+8^n)^2}{(4^{2n}-4^{n-1})^3}$ peut être simplifié en mettant en facteur les puissances communes dans le numérateur et le dénominateur.

• Dans $A=\frac{(0{,}009)^{-3}\times(0{,}016)^2\times250}{(0{,}00075)^{-1}\times8\cdot10^3\times30}$, le résultat demandé doit être donné sous forme de fraction irréductible.

📖 2. Comparaisons et notation ingénieur

★ À maîtriser

• On a $\frac{1}{18}>\frac{1}{13\sqrt{2}}$, car les deux fractions sont positives et $18<13\sqrt{2}$.

• Deux entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut 53 sont 26 et 27, puisque $27^2-26^2=53$.

• La notation ingénieur de $87\times10^{-7}$ est $8{,}7\times10^{-6}$.

Compléments

📌 Dans l’énoncé comparant $\frac{a}{b}$ et $\frac{a+c}{b+c}$, les conditions sur a et b sont indiquées, mais aucune condition n’est donnée sur c.

📖 3. Identités et expressions radicales

📝 Points essentiels

• Pour démontrer l’identité avec les racines, on développe le carré de la somme, on simplifie les carrés des deux racines, puis on utilise $\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}}\sqrt{a-\sqrt{a^2-b^2}}=b$ puisque $a>b\geq0$.

📐 Formule - Pour $a>b\geq0$, $\left(\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-b^2}}\right)^2=2(a+b)$.