Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles
2. Arbres pondérés
3. Partitions et probabilités totales
4. Indépendance des événements
5. Épreuves indépendantes répétées

📖 1. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé, notée $P_A(B)$, est définie par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque $P(A)>0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - En situation d’équiprobabilité, la probabilité de B sachant A est $P_A(B)=\frac{\operatorname{card}(A\cap B)}{\operatorname{card}(A)}$.

• Dans le tableau de la classe de terminale, 18 filles sur 19 sont reçues, 13 garçons sur 16 sont reçus et 31 élèves sur 35 sont reçus.

• Dans l’exemple de l’entreprise, 40 % des employés sont cadres, la moitié des cadres parle anglais et 70 % de l’ensemble des employés ne parle pas anglais.

📖 2. Arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré représente une situation à plusieurs niveaux en inscrivant sur chaque branche la probabilité associée.

★ À maîtriser

📌 La somme des probabilités des branches issues d’un même événement est égale à 1.

📌 La probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités inscrites sur ses branches.

Compléments

• Dans l’exemple de la maison de retraite, 95 % des pensionnaires sont vaccinés contre la grippe et 25 % des personnes vaccinées ont été malades.

📖 3. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Des événements forment une partition de l’univers s’ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est l’univers.
• Événements incompatibles : Deux événements sont incompatibles, ou disjoints, lorsqu’ils ne peuvent pas se produire simultanément.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l’univers et si leurs probabilités sont non nulles, alors, pour tout événement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B)$.

Compléments

• Un événement et son complémentaire forment une partition de l’univers.

• Pour l’épreuve de français, le commentaire, la dissertation et le sujet d’invention sont les trois choix possibles et un candidat n’en choisit qu’un seul ; ces événements forment donc une partition.

• Dans l’exemple du dépistage bovin, 2 % des animaux sont porteurs, le test est positif pour 85 % des animaux malades et négatif pour 95 % des animaux sains.

📖 4. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

★ À maîtriser

📌 Lorsque $P(A)>0$, A et B sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$.

Compléments

📌 Si A et B sont indépendants, alors A et le complémentaire de B sont également indépendants.

• Dans un jeu de 32 cartes, l’événement « tirer un roi » et l’événement « tirer un trèfle » servent à tester l’indépendance ; le cours propose aussi de reprendre le test avec deux jokers ajoutés.

• Pour deux maladies indépendantes de probabilités 0,005 et 0,01, la probabilité d’avoir au moins une des deux se calcule en utilisant la probabilité de leur réunion et celle de leur intersection.

• Pour deux risques indépendants de bouchon de 42 % sur l’A6 et de 63 % sur l’A7, la probabilité d’un bouchon sur l’A7 mais pas sur l’A6 se calcule en multipliant la probabilité d’un bouchon sur l’A7 par celle de l’absence de bouchon sur l’A6.

💡 Astuce mémo

Incompatibles : jamais ensemble ; indépendants : l’un ne change pas la probabilité de l’autre.

📖 5. Épreuves indépendantes répétées

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuves indépendantes : Une succession de deux épreuves indépendantes est la répétition à l’identique d’une expérience aléatoire deux fois, les résultats de la première épreuve n’influençant pas ceux de la seconde.

📝 Points essentiels

📌 Dans l’arbre représentant deux tirages indépendants, les probabilités des branches sont identiques aux deux niveaux.

• Dans une urne contenant deux boules vertes et une boule rouge, deux tirages successifs avec remise sont des épreuves indépendantes.

• Dans une urne contenant trois boules blanches et deux boules rouges, on tire une boule avec remise et on répète l’expérience deux fois pour étudier les événements « deux boules blanches », « une blanche et une rouge » et « au moins une boule blanche ».