QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (11 questions)

Question 1

1. Si $P(A)>0$ , quelle expression donne la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ?

\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

P(A\cap B)P(A)

P(A)+P(B)

Explication

La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ rapporte la probabilité de leur intersection à celle de $A$ . Diviser par $P(B)$ correspondrait à conditionner sur $B$ plutôt que sur $A$ .

Answer

$$\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

Question 2

2. Dans une classe où 18 filles sur 19 et 13 garçons sur 16 sont reçus, combien d’élèves reçus compte la classe au total, sur 35 élèves ?

35 élèves

29 élèves

31 élèves

32 élèves

Explication

Le bilan de la classe indique que 31 élèves sur 35 sont reçus. Le total de 35 désigne l’effectif de la classe, et non celui des élèves reçus.

Answer

31 élèves

Question 3

3. Pour représenter une situation aléatoire à plusieurs niveaux, que place-t-on sur les branches d’un arbre pondéré ?

La probabilité associée à chaque branche

La probabilité cumulée de tous les chemins précédents

Le nombre total d’issues de chaque niveau

La durée nécessaire pour atteindre chaque niveau

Explication

Un arbre pondéré associe à chacune de ses branches la probabilité correspondante dans la situation à plusieurs niveaux. Le nombre d’issues ne constitue pas la pondération d’une branche.

Answer

La probabilité associée à chaque branche

Question 4

4. À un nœud d’un arbre pondéré, les branches représentent toutes les issues possibles de l’étape suivante. Quelle est la somme de leurs probabilités ?

La probabilité de la branche la plus probable

Le nombre de branches divisé par 2

La probabilité du nœud précédent

1

Explication

Les probabilités des branches issues d’un même événement ont pour somme 1. La probabilité du nœud précédent n’est pas la somme à utiliser pour ces branches.

Answer

En multipliant les probabilités des deux branches

Answer

Non, car une partition doit aussi couvrir tout l’univers

Answer

$$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B)$$

Answer

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

Answer

$$P_A(B)=P(B)$$

Answer

La seconde expérience est identique à la première et ses résultats ne sont pas influencés par ceux de celle-ci.

Answer

La remise rétablit la composition initiale de l’urne avant le second tirage.

Question 5

5. Un chemin complet d’un arbre passe par deux branches de probabilités respectives $0{,}4$ et $0{,}7$ . Comment calcule-t-on la probabilité de ce chemin ?

En multipliant les probabilités des deux branches

En soustrayant la seconde probabilité de la première

En additionnant les probabilités des deux branches

En divisant la première probabilité par la seconde

Explication

La probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités inscrites sur ses branches. Leur somme ne représente pas la probabilité du chemin parcouru.

Question 6

6. Deux événements sont incompatibles, mais leur réunion ne couvre pas toutes les issues possibles. Forment-ils une partition de l’univers ?

Oui, si leurs probabilités sont égales

Non, car une partition doit aussi couvrir tout l’univers

Oui, car l’incompatibilité suffit à former une partition

Non, car une partition exige que les événements puissent se produire ensemble

Explication

Une partition exige à la fois que les événements soient deux à deux incompatibles et que leur réunion soit l’univers. L’incompatibilité seule ne garantit pas que toutes les issues sont couvertes.

Question 7

7. Les événements $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition et ont des probabilités non nulles. Quelle formule permet de calculer $P(B)$ à partir des probabilités conditionnelles de $B$ ?

P(B)=\prod_{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P_{A_i}(B)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)+P_{A_i}(B)

Explication

La formule des probabilités totales additionne, pour chaque élément de la partition, le produit de sa probabilité par la probabilité conditionnelle de $B$ . Additionner les seules probabilités conditionnelles omettrait la pondération par les probabilités des événements de la partition.

Question 8

8. Quelle condition exprime l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

P(A\cup B)=P(A)P(B)

P(A\cap B)=P(A)P(B)

P(A\cap B)=P(A)+P(B)

P(A)=P(B)

Explication

L’indépendance signifie que la probabilité de réalisation simultanée est le produit des probabilités de chaque événement. L’égalité entre les probabilités de $A$ et de $B$ n’établit pas cette propriété.

Question 9

9. Sachant que $P(A)>0$ , quelle égalité permet de conclure que $A$ et $B$ sont indépendants ?

P_A(B)=P(B)

P(A\cup B)=P(A)P(B)

P(A\cap B)=0

P_A(B)=P(A)

Explication

Lorsque $P(A)>0$ , l’indépendance équivaut à ce que la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ soit égale à la probabilité de $B$ . L’égalité $P(A\cap B)=0$ traduit l’incompatibilité, qui est une notion distincte.

Question 10

10. Que signifie répéter deux fois une expérience aléatoire lors de deux épreuves indépendantes ?

La seconde expérience est identique à la première et ses résultats ne sont pas influencés par ceux de celle-ci.

La seconde expérience est identique à la première et ses résultats dépendent de ceux de celle-ci.

La seconde expérience diffère de la première et ses résultats dépendent de ceux de celle-ci.

La seconde expérience diffère de la première et ses résultats ne sont pas influencés par ceux de celle-ci.

Explication

Des épreuves indépendantes répétées correspondent à la répétition à l’identique d’une expérience, sans influence des résultats de la première sur ceux de la seconde. Une dépendance entre les résultats contredirait la définition de l’indépendance.

Question 11

11. Une urne contient deux boules vertes et une boule rouge. On tire une boule, on la remet dans l’urne, puis on recommence : pourquoi les deux tirages sont-ils indépendants ?

Le premier tirage réduit le nombre de boules disponibles au second tirage.

La remise retire de l’urne la boule obtenue au second tirage.

La remise rétablit la composition initiale de l’urne avant le second tirage.

La couleur obtenue au premier tirage détermine la composition du second tirage.

Explication

Avec remise, l’urne retrouve sa composition initiale avant le second tirage, qui n’est donc pas influencé par le premier. Sans remise, le premier résultat modifierait la composition disponible pour la suite.

QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si $P(A)>0$ , quelle expression donne la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ?

2. Dans une classe où 18 filles sur 19 et 13 garçons sur 16 sont reçus, combien d’élèves reçus compte la classe au total, sur 35 élèves ?

3. Pour représenter une situation aléatoire à plusieurs niveaux, que place-t-on sur les branches d’un arbre pondéré ?

4. À un nœud d’un arbre pondéré, les branches représentent toutes les issues possibles de l’étape suivante. Quelle est la somme de leurs probabilités ?

5. Un chemin complet d’un arbre passe par deux branches de probabilités respectives $0{,}4$ et $0{,}7$ . Comment calcule-t-on la probabilité de ce chemin ?

6. Deux événements sont incompatibles, mais leur réunion ne couvre pas toutes les issues possibles. Forment-ils une partition de l’univers ?

7. Les événements $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition et ont des probabilités non nulles. Quelle formule permet de calculer $P(B)$ à partir des probabilités conditionnelles de $B$ ?

8. Quelle condition exprime l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

9. Sachant que $P(A)>0$ , quelle égalité permet de conclure que $A$ et $B$ sont indépendants ?

10. Que signifie répéter deux fois une expérience aléatoire lors de deux épreuves indépendantes ?

11. Une urne contient deux boules vertes et une boule rouge. On tire une boule, on la remet dans l’urne, puis on recommence : pourquoi les deux tirages sont-ils indépendants ?

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QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si P(A)>0P(A)>0P(A)>0, quelle expression donne la probabilité de BBB sachant que AAA est réalisé ?

2. Dans une classe où 18 filles sur 19 et 13 garçons sur 16 sont reçus, combien d’élèves reçus compte la classe au total, sur 35 élèves ?

3. Pour représenter une situation aléatoire à plusieurs niveaux, que place-t-on sur les branches d’un arbre pondéré ?

4. À un nœud d’un arbre pondéré, les branches représentent toutes les issues possibles de l’étape suivante. Quelle est la somme de leurs probabilités ?

5. Un chemin complet d’un arbre passe par deux branches de probabilités respectives 0,40{,}40,4 et 0,70{,}70,7. Comment calcule-t-on la probabilité de ce chemin ?

6. Deux événements sont incompatibles, mais leur réunion ne couvre pas toutes les issues possibles. Forment-ils une partition de l’univers ?

7. Les événements A1,…,AnA_1,\ldots,A_nA1​,…,An​ forment une partition et ont des probabilités non nulles. Quelle formule permet de calculer P(B)P(B)P(B) à partir des probabilités conditionnelles de BBB ?

8. Quelle condition exprime l’indépendance de deux événements AAA et BBB ?

9. Sachant que P(A)>0P(A)>0P(A)>0, quelle égalité permet de conclure que AAA et BBB sont indépendants ?

10. Que signifie répéter deux fois une expérience aléatoire lors de deux épreuves indépendantes ?

11. Une urne contient deux boules vertes et une boule rouge. On tire une boule, on la remet dans l’urne, puis on recommence : pourquoi les deux tirages sont-ils indépendants ?

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1. Si $P(A)>0$ , quelle expression donne la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé ?

5. Un chemin complet d’un arbre passe par deux branches de probabilités respectives $0{,}4$ et $0{,}7$ . Comment calcule-t-on la probabilité de ce chemin ?

7. Les événements $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition et ont des probabilités non nulles. Quelle formule permet de calculer $P(B)$ à partir des probabilités conditionnelles de $B$ ?

8. Quelle condition exprime l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

9. Sachant que $P(A)>0$ , quelle égalité permet de conclure que $A$ et $B$ sont indépendants ?