Fiche de révision : Calculs et ordre dans R

📋 Plan du Cours

1. unités
2. Comparer des nombres réels
3. Propriétés des inégalités
4. Intervalles et ensembles de réels
5. Racines carrées et simplification
6. Valeur absolue et distance
7. Équations avec valeur absolue
8. Inéquations avec valeur absolue

📖 1. unités

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un réel a et un entier naturel non nul n, la puissance $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a ; on a aussi $a^1=a$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ pour a non nul et $a^0=1$ pour a non nul.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des réels non nuls a et b et des entiers relatifs n et p, les propriétés sont $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $(a^n)^p=a^{np}$, $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Compléments

• On a $2{,}5^3=15{,}625$ et $10^{-3}=0{,}001=\frac{1}{10^3}$.

📖 2. Comparer des nombres réels

★ À maîtriser

📌 Pour comparer deux réels x et y, on étudie le signe de leur différence y−x : si y−x>0, alors y>x.

• Pour comparer deux fractions, on les réduit au même dénominateur positif puis on compare leurs numérateurs.

📌 Si $A^2=B^2$, alors A=B ou A=−B ; il faut donc comparer les signes de A et B pour déterminer s’ils sont égaux ou opposés.

Compléments

• Pour a=1−√3 et b=√(4−2√3), on obtient $a^2=b^2=4−2\sqrt3$ ; comme a est négatif et b positif, on a $a=-b$.

💡 Astuce mémo

Différence positive → ordre conservé

📖 3. Propriétés des inégalités

★ À maîtriser

• Ajouter ou soustraire un même réel aux deux membres d’une inégalité conserve son ordre.

• Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre strictement positif conserve son ordre.

• Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité.

Compléments

• Pour résoudre une inéquation simple, on isole x en utilisant les transformations d’inégalités ; toute multiplication ou division par un nombre négatif impose d’inverser le sens.

💡 Astuce mémo

Facteur positif : même sens ; facteur négatif : sens inversé

📖 4. Intervalles et ensembles de réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé borné : Un intervalle fermé borné $[a;b]$ est l’ensemble des réels x tels que $a\le x\le b$.
• Intervalles non bornés : Les intervalles non bornés sont $[a;+\infty[$ pour x≥a, $]-\infty;b]$ pour x≤b, $]a;+\infty[$ pour x>a et $]-\infty;b[$ pour x<b.
• Réunion et intersection : L’intersection $A\cap B$ contient les éléments communs à A et B, tandis que la réunion $A\cup B$ contient les éléments appartenant à A ou à B.

📝 Points essentiels

📌 Les intervalles $]a;b[$, $]a;b]$ et $[a;b[$ correspondent respectivement à $a<x<b$, $a<x\le b$ et $a\le x<b$.

💡 Astuce mémo

Crochets inclusifs, parenthèses exclusives

📖 5. Racines carrées et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour a positif, $x=\sqrt a$ signifie que x est positif et que $x^2=a$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a≥0, $\left(\sqrt a\right)^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$.

📐 Formule — Pour a et b positifs, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$ et, si b≠0, $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

Compléments

• Pour simplifier une racine carrée, on décompose le radicand en facteurs premiers puis on applique les propriétés des racines carrées.

• Pour rationaliser un dénominateur irrationnel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la même racine carrée ou par l’expression conjuguée.

💡 Astuce mémo

Décomposer → extraire → simplifier

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est le nombre positif défini par $|x|=x$ si x≥0 et $|x|=-x$ si x≤0.
• Distance réelle : La distance entre deux réels x et y est le nombre positif $d(x;y)=|y-x|$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$, et $|x|=0$ si et seulement si x=0.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance à zéro sur la droite

📖 7. Équations avec valeur absolue

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, $|x|=|y|$ si et seulement si x=y ou x=−y.

📌 Si a≥0, alors $|x|=a$ équivaut à x=a ou x=−a.

Compléments

• L’équation $|7−2x|=13$ a pour solutions x=−3 et x=10.

💡 Astuce mémo

Même valeur absolue : égalité ou opposés

📖 8. Inéquations avec valeur absolue

★ À maîtriser

📌 Pour a≥0, $|X|\le a$ équivaut à $−a\le X\le a$.

Compléments

• La résolution de $|x+5|\le2$ donne $−7\le x\le−3$, soit l’intervalle $[−7;−3]$.

• La résolution de $|7−4x|>3$ donne $x<1$ ou $x>2{,}5$, soit $]-\infty;1[\cup]2{,}5;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Inférieur : intervalle ; supérieur : extérieur