QCM : Calculs et ordre dans R — 21 questions

Question 1

1. Quelle expression définit la puissance $a^n$ lorsque $n$ est un entier naturel non nul ?

Le produit de

a

facteurs tous égaux à

n

Le produit de

n

facteurs tous égaux à

a

Le quotient de

a

par le nombre

n

La somme de

n

termes tous égaux à

a

Explication

Une puissance $a^n$ est formée de $n$ facteurs égaux à $a$ . Elle ne correspond donc ni à une somme répétée ni à un produit où le nombre de facteurs serait $a$ .

Answer

Le produit de $$n$$ facteurs tous égaux à $$a$$

Question 2

2. Quelle égalité applique correctement la propriété du produit de puissances de même base ?

a^n\times a^p=a^{n-p}

a^n\times a^p=a^{n+p}

a^n\times a^p=a^{np}

a^n\times a^p=(2a)^{n+p}

Explication

Lorsque les puissances ont la même base, leurs exposants s’additionnent lors de la multiplication. Le produit des exposants intervient dans la puissance d’une puissance, et non dans ce cas.

Answer

$$a^n\times a^p=a^{n+p}$$

Question 3

3. Pour comparer deux réels $x$ et $y$ , que peut-on conclure si $y-x>0$ ?

On a

y>x

On a

y<x

On ne peut comparer ni

x

ni

y

On a

y=x

Explication

Une différence $y-x$ positive signifie que $y$ est supérieur à $x$ . Une différence nulle indiquerait l’égalité, tandis qu’une différence négative donnerait l’ordre inverse.

Answer

On a $$y>x$$

Question 4

4. Quelle méthode permet de comparer deux fractions dont les dénominateurs sont différents ?

Transformer les deux fractions en puissances avant de comparer

Comparer directement leurs dénominateurs, puis ignorer les numérateurs

Additionner les numérateurs et conserver le plus grand dénominateur

Les réduire à un dénominateur positif commun, puis comparer les numérateurs

Explication

Un dénominateur positif commun permet de comparer les fractions à partir de leurs numérateurs. Les dénominateurs pris séparément ne suffisent pas pour déterminer l’ordre des fractions.

Answer

Les réduire à un dénominateur positif commun, puis comparer les numérateurs

Question 5

5. Si $A^2=B^2$ , quelle démarche permet de déterminer si $A$ et $B$ sont égaux ou opposés ?

Additionner

A

et

B

avant d’étudier leurs signes

Comparer leurs dénominateurs après les avoir écrits en fractions

Comparer uniquement les valeurs de leurs carrés

Comparer les signes de

A

et de

B

Explication

L’égalité des carrés implique $A=B$ ou $A=-B$ , car des nombres opposés ont le même carré. L’étude des signes permet ensuite de distinguer ces deux possibilités.

Answer

Comparer les signes de $$A$$ et de $$B$$

Question 6

6. Que se passe-t-il lorsqu’on ajoute un même réel aux deux membres d’une inégalité ?

Les deux membres deviennent nécessairement égaux

Le sens de l’inégalité est conservé

L’inégalité devient une égalité après simplification

Le sens de l’inégalité est inversé

Explication

Ajouter ou soustraire un même réel aux deux membres conserve leur ordre relatif. L’inversion du sens intervient lors d’une multiplication ou d’une division par un nombre négatif.

Answer

Le sens de l’inégalité est conservé

Question 7

7. Que devient une inégalité lorsqu’on la multiplie par un nombre strictement positif ?

Elle devient nécessairement une égalité

Son sens est conservé

Son sens est inversé

Elle ne peut plus être transformée

Explication

La multiplication par un facteur strictement positif conserve l’ordre entre les deux membres. C’est un facteur strictement négatif qui impose l’inversion du sens.

Answer

Son sens est conservé

Question 8

8. Pourquoi faut-il inverser le sens d’une inégalité lorsqu’on divise ses deux membres par un nombre strictement négatif ?

Parce que tout quotient est inférieur à son dividende

Parce que le signe de l’inégalité dépend du dénominateur positif

Parce qu’un facteur négatif renverse l’ordre des nombres

Parce qu’une division supprime les termes constants

Explication

La multiplication ou la division par un nombre strictement négatif échange l’ordre des nombres, ce qui impose d’inverser le signe de l’inégalité. Une division par un nombre positif conserve au contraire cet ordre.

Answer

Parce qu’un facteur négatif renverse l’ordre des nombres

Question 9

9. Quel ensemble de réels est décrit par l’intervalle fermé borné $[-2;5]$ ?

Les réels

x

tels que

-2<x\le 5

Les réels

x

tels que

-2\le x\le 5

Les réels

x

tels que

-2\le x<5

Les réels

x

tels que

-2<x<5

Explication

Un intervalle fermé contient ses deux bornes, donc ses éléments vérifient $-2\le x\le 5$ . La condition $-2<x<5$ décrit un intervalle ouvert, tandis que les deux autres excluent une seule borne.

Answer

Les réels $$x$$ tels que $$-2\le x\le 5$$

Question 10

10. Quelle inégalité correspond à l’intervalle $]3;8]$ ?

3\le x<8

3\le x\le 8

3<x\le 8

3<x<8

Explication

La borne 3 est exclue et la borne 8 est incluse, ce qui donne $3<x\le 8$ . L’expression $3\le x<8$ inverse les rôles des deux bornes.

Answer

$$3<x\le 8$$

Question 11

11. Quel intervalle représente l’ensemble des réels vérifiant $x<4$ ?

]4;+\infty[

[4;+\infty[

]-\infty;4[

]-\infty;4]

Explication

L’inégalité $x<4$ correspond à tous les réels situés avant 4, sans inclure 4, soit $]-\infty;4[$ . L’intervalle $]-\infty;4]$ inclurait la borne 4 et décrirait $x\le4$ .

Answer

$$]-\infty;4[$$

Question 12

12. Quelle affirmation définit correctement $\sqrt{9}$ ?

\sqrt{9}=\pm3

, car les deux nombres ont un carré égal à 9

\sqrt{9}=3

, car 3 est positif et vérifie

3^2=9

\sqrt{9}=9

, car le radicand est égal à 9

\sqrt{9}=-3

, car

(-3)^2=9

Explication

La racine carrée est le nombre positif dont le carré donne le radicand, donc $\sqrt{9}=3$ . Même si $(-3)^2=9$ , le nombre négatif n’est pas la racine carrée principale.

Answer

$$\sqrt{9}=3$$, car 3 est positif et vérifie $$3^2=9$$

Question 13

13. Pour $x=-6$ , quelle est la valeur de $\sqrt{x^2}$ ?

6

-36

36

-6

Explication

Pour tout réel $x$ , on a $\sqrt{x^2}=|x|$ , donc $\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$ . La réponse $-6$ confond la racine carrée avec le nombre initial, alors que la racine carrée est positive ou nulle.

Answer

$$\sqrt{\frac{12}{3}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}$$

Answer

Pour $$x=0$$

Answer

$$x=y$$ ou $$x=-y$$

Answer

$$x=6$$ ou $$x=-6$$

Answer

$$-a\le X\le a$$

Answer

$$x<1$$ ou $$x>2,5$$

Question 14

14. Pour $a=12$ et $b=3$ , quelle égalité applique correctement la propriété du quotient des racines carrées ?

\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{12}\times\sqrt3

\sqrt{\frac{12}{3}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}

\sqrt{\frac{12}{3}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{12}}

\sqrt{\frac{12}{3}}=\frac{12}{\sqrt3}

Explication

Pour des nombres positifs, la propriété donne $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ lorsque $b\ne0$ . Les autres expressions inversent le quotient, remplacent la division par une multiplication ou ne prennent pas la racine du numérateur.

Question 15

15. Quelle est la valeur de $|-7|$ ?

0

-49

-7

7

Explication

Comme $-7$ est négatif, sa valeur absolue vaut $-(-7)=7$ . La valeur absolue mesure une grandeur positive ou nulle et ne conserve donc pas le signe négatif du nombre.

Question 16

16. Pour quel réel $x$ l’égalité $|x|=0$ est-elle vérifiée ?

Pour

x=1

Pour

x=0

Pour tout réel négatif

x

Pour

x=-1

Explication

Une valeur absolue est nulle si et seulement si le nombre lui-même est nul, donc $|x|=0$ équivaut à $x=0$ . Les nombres 1 et −1 ont une valeur absolue égale à 1, et les réels négatifs non nuls ont une valeur absolue strictement positive.

Question 17

17. Quelle est la distance entre les réels $-3$ et $5$ ?

8

-8

2

15

Explication

La distance se calcule par $d(x;y)=|y-x|$ , donc $d(-3;5)=|5-(-3)|=|8|=8$ . La différence orientée $-3-5=-8$ n’est pas une distance, car une distance est positive ou nulle.

Question 18

18. Quelle condition caractérise l’égalité $|x|=|y|$ pour deux nombres réels $x$ et $y$ ?

x>y

ou

x<y

x=y

et

x=-y

x+y=1

ou

x-y=1

x=y

ou

x=-y

Explication

Deux réels ont la même valeur absolue lorsqu’ils sont égaux ou opposés. La conjonction des deux conditions serait trop restrictive, car un seul des deux cas suffit.

Question 19

19. Quelles sont les solutions de l’équation $|x|=6$ ?

x=6

et

x=-6

x=0

ou

x=6

x=6

ou

x=-6

x=3

ou

x=-3

Explication

Pour une constante positive, l’équation $|x|=a$ admet les deux valeurs opposées $a$ et $-a$ . Les valeurs $3$ et $-3$ correspondraient à une valeur absolue égale à $3$ .

Question 20

20. Quelle forme équivalente obtient-on, pour $a\ge 0$ , en résolvant $|X|\le a$ ?

X\le -a

ou

X\ge a

-a\le X\le a

X\ge -a

ou

X\le a

-a<X<a

Explication

Une valeur absolue inférieure ou égale à $a$ signifie que $X$ appartient à l’intervalle compris entre $-a$ et $a$ , bornes incluses. La forme avec deux branches extérieures décrit plutôt une inéquation de type $|X|>a$ .

Question 21

21. Quel ensemble de solutions obtient-on pour l’inéquation $|7-4x|>3$ ?

x<1

ou

x>2,5

x\le1

ou

x\ge2,5

x<-1

ou

x>2,5

1<x<2,5

Explication

La résolution de cette inéquation conduit aux deux branches extérieures $x<1$ et $x>2,5$ , car la distance à zéro est strictement supérieure à $3$ . Les bornes $1$ et $2,5$ sont exclues puisque l’inégalité est stricte.

QCM : Calculs et ordre dans R — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit la puissance $a^n$ lorsque $n$ est un entier naturel non nul ?

2. Quelle égalité applique correctement la propriété du produit de puissances de même base ?

3. Pour comparer deux réels $x$ et $y$ , que peut-on conclure si $y-x>0$ ?

4. Quelle méthode permet de comparer deux fractions dont les dénominateurs sont différents ?

5. Si $A^2=B^2$ , quelle démarche permet de déterminer si $A$ et $B$ sont égaux ou opposés ?

6. Que se passe-t-il lorsqu’on ajoute un même réel aux deux membres d’une inégalité ?

7. Que devient une inégalité lorsqu’on la multiplie par un nombre strictement positif ?

8. Pourquoi faut-il inverser le sens d’une inégalité lorsqu’on divise ses deux membres par un nombre strictement négatif ?

9. Quel ensemble de réels est décrit par l’intervalle fermé borné $[-2;5]$ ?

10. Quelle inégalité correspond à l’intervalle $]3;8]$ ?

11. Quel intervalle représente l’ensemble des réels vérifiant $x<4$ ?

12. Quelle affirmation définit correctement $\sqrt{9}$ ?

13. Pour $x=-6$ , quelle est la valeur de $\sqrt{x^2}$ ?

14. Pour $a=12$ et $b=3$ , quelle égalité applique correctement la propriété du quotient des racines carrées ?

15. Quelle est la valeur de $|-7|$ ?

16. Pour quel réel $x$ l’égalité $|x|=0$ est-elle vérifiée ?

17. Quelle est la distance entre les réels $-3$ et $5$ ?

18. Quelle condition caractérise l’égalité $|x|=|y|$ pour deux nombres réels $x$ et $y$ ?

19. Quelles sont les solutions de l’équation $|x|=6$ ?

20. Quelle forme équivalente obtient-on, pour $a\ge 0$ , en résolvant $|X|\le a$ ?

21. Quel ensemble de solutions obtient-on pour l’inéquation $|7-4x|>3$ ?

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QCM : Calculs et ordre dans R — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit la puissance ana^nan lorsque nnn est un entier naturel non nul ?

2. Quelle égalité applique correctement la propriété du produit de puissances de même base ?

3. Pour comparer deux réels xxx et yyy, que peut-on conclure si y−x>0y-x>0y−x>0 ?

4. Quelle méthode permet de comparer deux fractions dont les dénominateurs sont différents ?

5. Si A2=B2A^2=B^2A2=B2, quelle démarche permet de déterminer si AAA et BBB sont égaux ou opposés ?

6. Que se passe-t-il lorsqu’on ajoute un même réel aux deux membres d’une inégalité ?

7. Que devient une inégalité lorsqu’on la multiplie par un nombre strictement positif ?

8. Pourquoi faut-il inverser le sens d’une inégalité lorsqu’on divise ses deux membres par un nombre strictement négatif ?

9. Quel ensemble de réels est décrit par l’intervalle fermé borné [−2;5][-2;5][−2;5] ?

10. Quelle inégalité correspond à l’intervalle ]3;8]]3;8]]3;8] ?

11. Quel intervalle représente l’ensemble des réels vérifiant x<4x<4x<4 ?

12. Quelle affirmation définit correctement 9\sqrt{9}9​ ?

13. Pour x=−6x=-6x=−6, quelle est la valeur de x2\sqrt{x^2}x2​ ?

14. Pour a=12a=12a=12 et b=3b=3b=3, quelle égalité applique correctement la propriété du quotient des racines carrées ?

15. Quelle est la valeur de ∣−7∣|-7|∣−7∣ ?

16. Pour quel réel xxx l’égalité ∣x∣=0|x|=0∣x∣=0 est-elle vérifiée ?

17. Quelle est la distance entre les réels −3-3−3 et 555 ?

18. Quelle condition caractérise l’égalité ∣x∣=∣y∣|x|=|y|∣x∣=∣y∣ pour deux nombres réels xxx et yyy ?

19. Quelles sont les solutions de l’équation ∣x∣=6|x|=6∣x∣=6 ?

20. Quelle forme équivalente obtient-on, pour a≥0a\ge 0a≥0, en résolvant ∣X∣≤a|X|\le a∣X∣≤a ?

21. Quel ensemble de solutions obtient-on pour l’inéquation ∣7−4x∣>3|7-4x|>3∣7−4x∣>3 ?

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1. Quelle expression définit la puissance $a^n$ lorsque $n$ est un entier naturel non nul ?

3. Pour comparer deux réels $x$ et $y$ , que peut-on conclure si $y-x>0$ ?

5. Si $A^2=B^2$ , quelle démarche permet de déterminer si $A$ et $B$ sont égaux ou opposés ?

9. Quel ensemble de réels est décrit par l’intervalle fermé borné $[-2;5]$ ?

10. Quelle inégalité correspond à l’intervalle $]3;8]$ ?

11. Quel intervalle représente l’ensemble des réels vérifiant $x<4$ ?

12. Quelle affirmation définit correctement $\sqrt{9}$ ?

13. Pour $x=-6$ , quelle est la valeur de $\sqrt{x^2}$ ?

14. Pour $a=12$ et $b=3$ , quelle égalité applique correctement la propriété du quotient des racines carrées ?

15. Quelle est la valeur de $|-7|$ ?

16. Pour quel réel $x$ l’égalité $|x|=0$ est-elle vérifiée ?

17. Quelle est la distance entre les réels $-3$ et $5$ ?

18. Quelle condition caractérise l’égalité $|x|=|y|$ pour deux nombres réels $x$ et $y$ ?

19. Quelles sont les solutions de l’équation $|x|=6$ ?

20. Quelle forme équivalente obtient-on, pour $a\ge 0$ , en résolvant $|X|\le a$ ?

21. Quel ensemble de solutions obtient-on pour l’inéquation $|7-4x|>3$ ?