Fiche de révision : Calculs et statistiques descriptives

📋 Plan du Cours

1. Puissances et calculs fractionnaires
2. Racines et identités remarquables
3. Sommes et notation Sigma
4. Vocabulaire et fréquences statistiques
5. Moyenne médiane mode et quartiles
6. Histogrammes et séries regroupées

📖 1. Puissances et calculs fractionnaires

★ À maîtriser

• Pour toute base non nulle, a^0 = 1 et a^{-n} = 1/a^n.

• Lors d’une multiplication de puissances de même base, les exposants s’additionnent : a^m × a^n = a^{m+n}.

• Un exposant négatif signifie qu’il faut prendre l’inverse de la puissance correspondante, et non rendre le résultat négatif.

• Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

• Pour diviser par une fraction, on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction.

Compléments

• Lors d’une division de puissances de même base, les exposants se soustraient : a^m/a^n = a^{m-n}.

• Une puissance de puissance multiplie les exposants : (a^m)^n = a^{mn}, et une puissance d’un quotient s’applique au numérateur comme au dénominateur : (a/b)^n = a^n/b^n.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

💡 Astuce mémo

Exposant négatif : inverse, pas signe négatif.

📖 2. Racines et identités remarquables

★ À maîtriser

• Pour simplifier une racine carrée, on recherche un carré parfait comme facteur du nombre sous la racine.

📐 Formule - Le produit de deux racines carrées positives vérifie $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

📐 Formule - Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Compléments

• Les carrés parfaits à connaître sont 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

• Comme 50 = 25 × 2, on obtient √50 = 5√2.

📐 Formule - Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule - Le produit de la somme et de la différence vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📖 3. Sommes et notation Sigma

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole Sigma : Signifie qu’il faut additionner plusieurs termes.

★ À maîtriser

📌 Σx_i y_i signifie multiplier chaque x_i par le y_i correspondant, puis additionner les produits.

📌 Σx_i^2 signifie mettre chaque x_i au carré, puis additionner les carrés, tandis que (Σx_i)^2 signifie additionner les x_i puis mettre la somme au carré.

• Dans une double somme, on développe d’abord la somme intérieure en j, puis on recommence pour chaque valeur de i.

Compléments

• Pour développer une somme Σ de i=1 à 4 de (2x_i−1), on écrit successivement (2x_1−1)+(2x_2−1)+(2x_3−1)+(2x_4−1), puis on remplace chaque x_i par sa valeur.

📌 (Σx_i)(Σy_i) signifie additionner séparément les x_i et les y_i, puis multiplier les deux sommes.

• Pour x_1=2 et x_2=3, Σ_{i=1}^{2}x_i^2 vaut 13, tandis que (Σ_{i=1}^{2}x_i)^2 vaut 25.

📌 Pour éviter les erreurs dans une double somme, il faut développer les termes ligne par ligne sans sauter d’indice.

💡 Astuce mémo

Dans une double somme, traiter d’abord j, puis i.

📖 4. Vocabulaire et fréquences statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : L’ensemble que l’on veut étudier.
• Échantillon : Constitué des individus réellement observés.
• Effectif : Le nombre d’individus d’une modalité ou d’une classe.
• Caractère : La propriété étudiée.
• Modalités : Les valeurs ou catégories possibles d’un caractère.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’effectif total est la somme des effectifs : $N=\sum n_i$.

📌 Un caractère qualitatif décrit une catégorie, un caractère quantitatif discret compte des unités et un caractère quantitatif continu mesure une grandeur.

📐 Formule - La fréquence relative d’une classe est $f_i=\frac{n_i}{N}$.

Compléments

• Le pourcentage correspondant à une fréquence relative s’obtient en multipliant celle-ci par 100.

📌 La somme de toutes les fréquences relatives est 1, soit 100 %.

📌 Les fréquences cumulées croissantes additionnent les effectifs depuis le début, tandis que les fréquences cumulées décroissantes les additionnent depuis la classe considérée jusqu’à la fin.

• Les fréquences cumulées servent notamment à lire la médiane et les quartiles sur un graphique.

📌 Le diagramme en bâtons représente des modalités distinctes, tandis que la courbe cumulative place les bornes ou valeurs des classes en abscisse et les effectifs ou fréquences cumulés en ordonnée.

• Dans un diagramme semi-circulaire, le total des angles est de 180°.

📐 Formule - Dans un diagramme semi-circulaire, l’angle associé à une catégorie vaut $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\times180^\circ$.

📖 5. Moyenne médiane mode et quartiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Partage une série ordonnée en deux parties contenant environ la moitié des observations chacune.
• Mode : La valeur la plus fréquente d’une série.
• Quartiles : Q_1, Q_2 et Q_3 sont les valeurs sous lesquelles se trouvent respectivement environ 25 %, 50 % et 75 % des observations; Q_2 est la médiane.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne d’une série individuelle est la somme des valeurs divisée par N : $\bar{x}=\frac{\text{somme des valeurs}}{N}$.

📐 Formule - Pour des valeurs x_i associées à des effectifs n_i, la moyenne est $\bar{x}=\frac{\sum x_i n_i}{N}$.

• Pour une série individuelle, on ordonne les valeurs, puis on prend la valeur centrale si N est impair ou la moyenne des deux valeurs centrales si N est pair.

Compléments

• Pour calculer une moyenne pondérée, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne les produits, puis on divise par l’effectif total.

📌 Pour des données regroupées en classes, la moyenne est généralement estimée à partir des centres des classes.

• Pour repérer la classe médiane dans des données groupées, on calcule N, puis N/2, établit les effectifs cumulés croissants et repère la classe contenant le rang N/2.

📌 Repérer la classe médiane d’une série groupée ne fournit pas encore une estimation numérique de la médiane.

• Pour des données regroupées en classes, le mode est repéré par la classe modale.

📌 Dans un histogramme aux classes de largeurs différentes, la classe modale se repère en comparant les hauteurs corrigées plutôt que les seuls effectifs.

📐 Formule - Pour des données regroupées, les rangs de Q_1, de la médiane et de Q_3 sont respectivement $\frac N4$, $\frac N2$ et $\frac{3N}{4}$.

• L’écart interquartile est $Q_3-Q_1$ et l’intervalle interquartile est $[Q_1;Q_3]$.

📐 Formule - L’estimation d’un quantile dans une classe peut se calculer par $Q\approx L+\frac{r-C}{n}\times h$, où L est la borne inférieure, r le rang recherché, C l’effectif cumulé avant la classe, n l’effectif de la classe et h sa largeur.

📌 L’interpolation dans une classe estime la position du quantile en supposant que les observations y sont réparties de manière approximativement uniforme.

📖 6. Histogrammes et séries regroupées

★ À maîtriser

📐 Formule - L’amplitude d’une classe est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure : $h=\text{borne supérieure}-\text{borne inférieure}$.

📌 Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, les hauteurs des rectangles peuvent être proportionnelles aux effectifs.

📌 Lorsque les amplitudes diffèrent, les surfaces des rectangles doivent rester proportionnelles aux effectifs et il faut utiliser des hauteurs corrigées ou des densités.

• Dans la série de dépenses, Q_1 se trouve dans [600;800[, tandis que la médiane et Q_3 se trouvent dans [1000;1200[.

Compléments

• Pour construire un histogramme, on repère pour chaque classe ses bornes inférieure et supérieure, son amplitude et son effectif.

• Dans l’exercice sur les dépenses, les classes [400;600[, [600;800[, [800;1000[, [1000;1200[, [1200;1400[ et [1400;1800[ ont les effectifs respectifs 5, 60, 15, 95, 30 et 5, pour un total de 210.

• Pour la série de dépenses de 210 familles, les rangs de Q_1, de la médiane et de Q_3 sont respectivement 52,5, 105 et 157,5.

• Pour estimer la moyenne de la série de dépenses, la somme des produits centre × effectif vaut 209 500 et la division par 210 donne environ 997,62 €.

📌 La moyenne de 997,62 € est approchée, car les dépenses exactes de chaque famille ne sont pas connues.

• Dans la série de dépenses, Q_3 partage l’histogramme en une surface correspondant à 157,5 familles à gauche et 52,5 familles à droite, soit respectivement 75 % et 25 % du total.