Fiche de révision : Calculs numériques et littéraux

📋 Plan du Cours

1. Calculs avec les fractions
2. Puissances et exposants
3. Préfixes et écriture scientifique
4. Priorités de calcul
5. Expressions littérales
6. Développer et factoriser
7. Suppression des parenthèses

📖 1. Calculs avec les fractions

📝 Points essentiels

• Une fraction peut être simplifiée ou amplifiée en multipliant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$ et $\frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}$, avec $b\neq0$ et $k\neq0$.

• Deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux : $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow a\times d=b\times c$, avec $b\neq0$ et $d\neq0$.

• Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs : $\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}$.

• Le produit de deux fractions est le quotient des produits des numérateurs et des dénominateurs : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

• Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Simplifier, croiser, additionner, multiplier

📖 2. Puissances et exposants

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’exposant positif : est le produit de n facteurs tous égaux à a ; n est l’exposant et, pour $a\neq0$, $a^0=1$.
• Puissance d’exposant négatif : Pour $a\neq0$ et n entier positif non nul, $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$ : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ; en particulier, $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

★ À maîtriser

📌 Pour une base non nulle et des exposants entiers relatifs, on a $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{n\times p}$.

Compléments

📌 Pour des nombres relatifs non nuls et un exposant entier relatif, $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : produit répété ; exposant négatif : inverse

📖 3. Préfixes et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : est l’unique écriture $a\times10^n$ dans laquelle a possède un seul chiffre non nul avant la virgule et n est un entier relatif.

📝 Points essentiels

• Les préfixes de puissances de dix sont giga (G) : $10^9$, méga (M) : $10^6$, kilo (k) : $10^3$, unité : $10^0=1$, milli (m) : $10^{-3}$, micro (µ) : $10^{-6}$ et nano (n) : $10^{-9}$.

💡 Astuce mémo

Giga, méga, kilo puis unité, milli, micro, nano

📖 4. Priorités de calcul

📝 Points essentiels

• 🔄 L’ordre de calcul est:
  1. calculs entre parenthèses
  2. puissances
  3. multiplications et divisions
  4. additions et soustractions

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions

📖 5. Expressions littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : est une expression dans laquelle certains nombres sont représentés par des lettres ; une même lettre désigne toujours le même nombre.

📝 Points essentiels

• Pour $A=6x+4y+xy$ avec $x=-3$ et $y=5$, on obtient $A=-13$.

📖 6. Développer et factoriser

📝 Points essentiels

📌 La simple distributivité s’écrit $k(a+b)=ka+kb$ et la double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📌 Développer un produit de facteurs consiste à le transformer en une somme algébrique de plusieurs termes, tandis que factoriser une somme algébrique consiste à la transformer en produit de facteurs.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit

📖 7. Suppression des parenthèses

📝 Points essentiels

📌 Pour ajouter une somme algébrique entre parenthèses, on conserve les signes de ses termes : $4+(3x+5)=3x+9$.

📌 Pour soustraire une somme algébrique entre parenthèses, on ajoute l’opposé de chacun de ses termes : $6-(x-8y)=6-x+8y$.

💡 Astuce mémo

Signe + conserve les termes ; signe − inverse leurs signes

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les fractions