Fiche de révision : Vecteurs et ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Notion et égalité des vecteurs
2. Vecteur nul et parallélogramme
3. Produit scalaire par un réel
4. Milieu, colinéarité et somme
5. Ensembles numériques
6. Nombres rationnels et décimaux
7. Réels et encadrement décimal
8. Intervalles et valeur absolue

📖 1. Notion et égalité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB : Représenté par une flèche ayant pour origine A et pour extrémité B, et défini par sa norme, sa direction et son sens.
• Égalité de vecteurs : Deux vecteurs ayant la même longueur, la même direction et le même sens.

📝 Points essentiels

• Il existe une infinité de vecteurs égaux à $\vec{AB}$, et plusieurs représentants peuvent être désignés par une même lettre, par exemple $\vec{u}=\vec{AB}=\vec{CD}=\vec{EF}=\vec{GH}$.

💡 Astuce mémo

La direction indique l’inclinaison, le sens indique le déplacement.

📖 2. Vecteur nul et parallélogramme

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Lorsque A et B sont confondus, le déplacement est nul et le vecteur $\vec{AA}=\vec{0}$ a une norme égale à 0, sans direction ni sens.

★ À maîtriser

📌 Pour des points A, B, C et D distincts, $\vec{AB}=\vec{CD}$ si et seulement si ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Compléments

• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si: ses diagonales se coupent en leur milieu, ses côtés opposés sont parallèles, ses côtés opposés ont même longueur, deux côtés opposés ont même longueur et sont parallèles

💡 Astuce mémo

Égalité de vecteurs → parallélogramme, éventuellement aplati.

📖 3. Produit scalaire par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit par un réel : Pour $\vec{u}\neq\vec{0}$ et $k\neq0$, le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, une norme vérifiant $\|k\vec{u}\|=|k|\times\|\vec{u}\|$, et le même sens si $k>0$ ou le sens opposé si $k<0$.

★ À maîtriser

📌 Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou si $k=0$, alors $k\vec{u}=\vec{0}$.

Compléments

📌 Le vecteur opposé de $\vec{u}$ est $-\vec{u}=(-1)\vec{u}$ et possède la même direction et la même norme que $\vec{u}$, mais un sens opposé.

💡 Astuce mémo

k positif conserve le sens, k négatif l’inverse.

📖 4. Milieu, colinéarité et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ lorsqu’il existe un réel k tel que $\vec{u}=k\vec{v}$ ou $\vec{v}=k\vec{u}$.

📝 Points essentiels

📌 Le point K est le milieu de [AB] si et seulement si $\vec{AK}=\vec{KB}$, ce qui équivaut à $\vec{AK}=\frac12\vec{AB}$.

📌 La relation de Chasles donne $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$, en enchaînant les déplacements bout à bout.

📐 Formule — La distributivité vectorielle vérifie $(a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u}$, $a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}$ et $a(b\vec{u})=(ab)\vec{u}$.

💡 Astuce mémo

Milieu → colinéarité → Chasles → distributivité.

📖 5. Ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensembles numériques : Les ensembles numériques sont emboîtés selon la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, où $\mathbb{N}$ contient les naturels, $\mathbb{Z}$ les entiers relatifs, $\mathbb{D}$ les décimaux, $\mathbb{Q}$ les rationnels et $\mathbb{R}$ les réels.
• Nombre rationnel : Un nombre qui peut s’écrire $q=\frac{a}{b}$, avec $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}$ et $b\neq0$.
• Nombre réel : L’ensemble des abscisses possibles des points d’une droite munie d’un repère.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 6. Nombres rationnels et décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre qui peut s’écrire $d=\frac{a}{10^n}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$, et dont l’écriture décimale est finie.
• Forme irréductible : Une fraction lorsque 1 est son seul diviseur positif commun au numérateur et au dénominateur.

📝 Points essentiels

• Pour réduire $\frac{20}{84}$ sous forme irréductible, on décompose 20 et 84 en facteurs premiers, on simplifie les facteurs communs, puis on obtient $\frac{20}{84}=\frac{5}{21}$.

💡 Astuce mémo

Une écriture décimale finie appartient à D, tandis que 1/3 appartient à Q mais pas à D.

📖 7. Réels et encadrement décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Un encadrement décimal d’un réel x est une double inégalité $d\le x\le d'$, où d et d' appartiennent à $\mathbb{D}$, et son amplitude vaut $d'-d$.

📝 Points essentiels

• Un encadrement décimal de $\pi$ est $**3{,}14**\le\pi\le3{,}15$, son amplitude vaut 0,01 et l’arrondi de $\pi$ à $10^{-2}$ près vaut 3,14.

💡 Astuce mémo

Un réel est placé sur une droite graduée entre deux bornes décimales.

📖 8. Intervalles et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Pour a<b, l’intervalle $[a;b]$ contient les réels x tels que $a\le x\le b$, tandis que $]a;b[$ contient ceux tels que $a<x<b$.
• Valeur absolue : Pour tout réel x, la valeur absolue vérifie $|x|=x$ si $x\ge0$ et $|x|=-x$ si $x<0$, et elle rend le nombre positif ou nul.
• Distance entre réels : La distance entre deux réels a et b est définie par $|a-b|$, ce qui donne toujours le même résultat que $|b-a|$.

★ À maîtriser

📌 L’intersection $I\cap J$ contient les nombres appartenant à la fois à I et à J, tandis que l’union $I\cup J$ contient les nombres appartenant à I ou à J, y compris ceux appartenant aux deux.

📌 Pour $c,x\in\mathbb{R}$ et $r\ge0$, on a $|x-c|\le r$ si et seulement si $x\in[c-r;c+r]$.

Compléments

📌 Dans un intervalle non borné, les crochets du côté de $+\infty$ ou de $-\infty$ sont toujours ouverts, car l’infini n’est pas un nombre réel.

💡 Astuce mémo

Les crochets indiquent l’inclusion, la valeur absolue mesure une distance.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques