Fiche de révision : Suites et automatismes mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Notion de suite numérique
2. Formules explicites et récurrentes
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Représentation et génération
6. Probabilités élémentaires
7. Fonctions affines et droites
8. Comparaison de nombres
9. Calcul littéral et dénominateurs
10. Opérations sur les fractions

📖 1. Notion de suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction dont la variable est un entier naturel n, et u_n désigne l’image de n, appelée terme général.

★ À maîtriser

📌 Lorsque le premier terme est u_0, le n-ième terme de la suite est u_{n-1}, alors que le terme d’indice n est u_n.

Compléments

• Pour u_n = 1/(n²+1), on obtient u_0 = 1, u_3 = 1/10, u_4 = 1/17 et u_5 = 1/26.

💡 Astuce mémo

La suite (u_n) est la fonction entière ; u_n est seulement son terme d’indice n.

📖 2. Formules explicites et récurrentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Suite définie par une relation u_n = f(n), ce qui permet de calculer directement le terme d’indice n en remplaçant n par sa valeur.
• Relation de récurrence : Premier terme et relation permettant de calculer chaque terme à partir des termes précédents.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un terme d’une suite définie par récurrence, on part du premier terme, puis on applique successivement la relation jusqu’à l’indice recherché.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : on remplace n ; récurrence : on repart du terme précédent.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite pour laquelle il existe un nombre r tel que, pour tout entier n, u_{n+1} = u_n + r, où r est la raison.

★ À maîtriser

📌 Une suite est arithmétique si et seulement si u_{n+1} - u_n est constant et indépendant de n.

Compléments

• La suite u_n = 7 - 9n est arithmétique de raison r = -9, car u_{n+1} - u_n = -9.

• Pour tester une suite arithmétique, on calcule d’abord ses premiers écarts, puis on vérifie que u_{n+1} - u_n est indépendant de n.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = A comme addition d’un écart constant.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite pour laquelle il existe un nombre q tel que, pour tout entier n, u_{n+1} = q × u_n, où q est la raison.

★ À maîtriser

📌 Une suite est géométrique si et seulement si le rapport u_{n+1}/u_n est constant et indépendant de n.

Compléments

• La suite u_n = 3 × 5^n est géométrique de raison q = 5, car u_{n+1}/u_n = 5.

• Pour tester une suite géométrique, on calcule d’abord ses premiers rapports, puis on vérifie que u_{n+1}/u_n est indépendant de n.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : différence constante ; géométrique : rapport constant.

📖 5. Représentation et génération

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Ensemble des points A_n de coordonnées (n ; u_n), appelé nuage de points et non courbe.

★ À maîtriser

• Un algorithme de génération initialise une variable avec le premier terme, applique une boucle Pour la relation de récurrence, puis renvoie le terme d’indice N.

Compléments

• Pour stocker les termes d’une suite dans une liste, on initialise la liste avec u_0, on calcule chaque terme suivant et on l’ajoute à la liste jusqu’à u_N.

• Pour u_0 = 0 et u_{n+1} = u_n² - 5, les six premiers termes u_0 à u_5 sont 0, -5, 20, 395, 156020 et 24342240395.

💡 Astuce mémo

Terme → algorithme → liste : on calcule, on stocke, on affiche.

📖 6. Probabilités élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : Événement contenant toutes les issues de Ω qui n’appartiennent pas à A.

📝 Points essentiels

📌 Toute probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

📐 Formule — La probabilité de l’événement contraire vérifie $P(Ā)=1-P(A)$ et $P(A)=1-P(Ā)$.

📌 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent.

📐 Formule — En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est $P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(Ω)}$, soit le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

💡 Astuce mémo

Événement contraire : ce qui manque à A pour former Ω.

📖 7. Fonctions affines et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie sur R par f(x)=mx+p, dont la courbe est la droite d’équation y=mx+p.
• Coefficient directeur : Dans f(x)=mx+p, m est le coefficient directeur et p est l’ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) d’abscisses différentes, le coefficient directeur vaut $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Compléments

• Pour une droite de coefficient directeur -12/5 et d’ordonnée à l’origine 7, l’équation est y = -12/5 x + 7.

💡 Astuce mémo

À chaque pas horizontal, la droite monte ou descend de m pas verticaux.

📖 8. Comparaison de nombres

★ À maîtriser

📌 Pour deux réels a et b, a < b équivaut à a-b < 0, a > b équivaut à a-b > 0 et a = b équivaut à a-b = 0.

📌 Pour deux réels strictement positifs a et b, a < b équivaut à a/b < 1, a > b équivaut à a/b > 1 et a = b équivaut à a/b = 1.

Compléments

• Comme 5/3 - 8/5 = 1/15 > 0, on a 5/3 > 8/5.

💡 Astuce mémo

Différence : signe de A−B ; quotient : comparaison à 1 pour des nombres positifs.

📖 9. Calcul littéral et dénominateurs

★ À maîtriser

📌 Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse, par exemple a/7 ÷ b/9 = 9a/(7b).

📌 Dans (4x+11)/(x+3) = 4 - 1/(x+3), la valeur x = -3 est interdite car elle annule le dénominateur.

Compléments

• Pour réduire une expression rationnelle, on met les termes au même dénominateur, on regroupe les numérateurs, puis on conserve les valeurs interdites.

💡 Astuce mémo

Dénominateur nul → valeur interdite ; dénominateur non nul → transformation autorisée.

📖 10. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur puis on additionne ou soustrait les numérateurs.

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• Pour diviser une fraction par une autre fraction non nulle, on multiplie la première par l’inverse de la seconde.

Compléments

• La fraction 1/4 - 2/3 se réduit au même dénominateur et vaut -5/12.

• L’expression 3/(5/(2/3)) se calcule comme 3/5 ÷ 3/2 et vaut 9/10.

💡 Astuce mémo

Addition : dénominateur commun ; multiplication : numérateurs puis dénominateurs ; division : multiplier par l’inverse.

📊 Tableaux de synthèse

Comparer les suites arithmétiques et géométriques