QCM : Suites et automatismes mathématiques (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une suite numérique notée (un)(u_n), que représente unu_n ?

La fonction entière définie sur les entiers naturels
L’image de l’entier naturel nn par la suite
Le nombre total de termes de la suite
La différence entre deux termes successifs

L’image de l’entier naturel $$n$$ par la suite

Explication

Une suite numérique est une fonction dont la variable est un entier naturel, et unu_n désigne l’image de nn, appelée terme général. La notation (un)(u_n) désigne la suite entière, et non un terme particulier.

2. Une suite commence par le terme u0u_0 : quel est alors son troisième terme ?

u1u_1
u4u_4
u2u_2
u3u_3

$$u_2$$

Explication

Lorsque le premier terme est u0u_0, le troisième terme correspond à l’indice 22, donc il s’agit de u2u_2. Le terme d’indice 33 est le quatrième terme de la suite.

3. Quelle caractéristique permet d’identifier une formule explicite d’une suite ?

Elle nécessite de connaître plusieurs termes antérieurs.
Elle donne directement unu_n en fonction de nn.
Elle impose une différence constante entre deux termes.
Elle calcule chaque terme à partir du terme précédent.

Elle donne directement $$u_n$$ en fonction de $$n$$.

Explication

Une formule explicite s’écrit un=f(n)u_n=f(n) et permet de calculer directement le terme d’indice nn. Une relation de récurrence, en revanche, utilise des termes précédents pour obtenir le suivant.

4. Pour calculer les termes d’une suite définie par récurrence, de quelles informations a-t-on besoin ?

De la raison constante entre tous les termes successifs.
D’une expression donnant directement chaque terme selon nn.
D’un premier terme et d’une relation reliant les termes.
Du rapport constant entre deux termes consécutifs.

D’un premier terme et d’une relation reliant les termes.

Explication

Une définition par récurrence associe un premier terme à une relation permettant de calculer les suivants à partir des termes précédents. Une expression directe en fonction de nn caractérise plutôt une formule explicite.

5. Quelle propriété caractérise une suite arithmétique de raison rr ?

Chaque terme s’obtient en ajoutant rr au précédent.
La somme de deux termes consécutifs reste égale à rr.
Le quotient de deux termes successifs vaut toujours rr.
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par rr.

Chaque terme s’obtient en ajoutant $$r$$ au précédent.

Explication

Une suite arithmétique vérifie un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r pour tout entier nn. La multiplication par une constante et le quotient constant relèvent plutôt de la caractérisation d’une suite géométrique.

6. Quel calcul permet de vérifier qu’une suite est arithmétique ?

Vérifier que un+1+unu_{n+1}+u_n est indépendant de nn.
Vérifier que un+1×unu_{n+1}\times u_n est indépendant de nn.
Vérifier que un+1/unu_{n+1}/u_n est indépendant de nn.
Vérifier que un+1−unu_{n+1}-u_n est indépendant de nn.

Vérifier que $$u_{n+1}-u_n$$ est indépendant de $$n$$.

Explication

Une suite est arithmétique si et seulement si la différence un+1−unu_{n+1}-u_n est constante, donc indépendante de nn. Un rapport constant entre termes successifs caractérise une suite géométrique, et non une suite arithmétique.

7. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison qq ?

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par qq
Chaque terme s’obtient en ajoutant une constante au précédent
Chaque terme s’obtient en soustrayant son indice au précédent
Chaque terme s’obtient en divisant le précédent par son indice

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par $$q$$

Explication

Dans une suite géométrique, il existe une raison qq telle que un+1=q×unu_{n+1}=q\times u_n pour tout entier nn. Une différence constante caractérise plutôt une suite arithmétique.

8. Une suite vérifie successivement u1u0=3\frac{u_1}{u_0}=3, u2u1=3\frac{u_2}{u_1}=3 et u3u2=3\frac{u_3}{u_2}=3 ; quelle conclusion peut-on tirer si ce rapport reste constant ?

La suite est constante de valeur 33
La suite est géométrique de raison 13\frac{1}{3}
La suite est géométrique de raison 33
La suite est arithmétique de raison 33

La suite est géométrique de raison $$3$$

Explication

Un rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} constant et indépendant de nn caractérise une suite géométrique, et sa valeur est la raison. Une différence constante, et non un rapport constant, définirait une suite arithmétique.

9. Comment représente-t-on graphiquement une suite numérique ?

Par un histogramme des différences entre deux termes
Par une droite reliant les valeurs successives de la suite
Par le nuage des points de coordonnées (n;un)(n;u_n)
Par une courbe continue définie sur un intervalle réel

Par le nuage des points de coordonnées $$(n;u_n)$$

Explication

La représentation graphique d’une suite est l’ensemble des points AnA_n de coordonnées (n;un)(n;u_n), appelé nuage de points. Une courbe continue correspond plutôt à la représentation d’une fonction définie sur un intervalle.

10. Dans quel ordre un algorithme peut-il générer le terme d’indice NN d’une suite définie par récurrence ?

Initialiser au premier terme, appliquer la boucle de récurrence, puis renvoyer le terme d’indice NN
Construire tous les indices sans calculer les termes, puis renvoyer l’indice NN
Initialiser à l’indice NN, appliquer une soustraction, puis renvoyer le premier terme
Calculer le dernier terme directement, puis initialiser la variable avec le premier terme

Initialiser au premier terme, appliquer la boucle de récurrence, puis renvoyer le terme d’indice $$N$$

Explication

L’algorithme commence par stocker le premier terme, répète la relation de récurrence dans une boucle, puis renvoie le terme demandé. Les autres démarches ne suivent pas le calcul successif imposé par une définition par récurrence.

11. Laquelle des valeurs suivantes peut représenter une probabilité ?

−0,18-0{,}18
1,241{,}24
0,720{,}72
−2-2

$$0{,}72$$

Explication

Toute probabilité est comprise entre 00 et 11, bornes incluses ; 0,720{,}72 convient donc. Une valeur négative ou supérieure à 11 ne peut pas être une probabilité.

12. Si Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\} et A={2,4,6}A=\{2,4,6\}, quel est l’événement contraire de AA ?

A‾={1,3,5}\overline{A}=\{1,3,5\}
A‾={2,4,6}\overline{A}=\{2,4,6\}
A‾={4,5,6}\overline{A}=\{4,5,6\}
A‾={1,2,3}\overline{A}=\{1,2,3\}

$$\overline{A}=\{1,3,5\}$$

Explication

L’événement contraire contient les issues de Ω\Omega qui n’appartiennent pas à AA ; il est donc constitué de 1,3,51,3,5. L’ensemble {2,4,6}\{2,4,6\} décrit l’événement AA lui-même.

13. Si P(A)=0,35P(A)=0{,}35, quelle est la probabilité de l’événement contraire A‾\overline{A} ?

1,351{,}35
0,650{,}65
0,350{,}35
−0,35-0{,}35

$$0{,}65$$

Explication

La relation entre un événement et son contraire est P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A})=1-P(A), donc P(A‾)=1−0,35=0,65P(\overline{A})=1-0{,}35=0{,}65. La valeur 0,350{,}35 est la probabilité de AA, pas celle de son contraire.

14. Une urne contient 10 boules équiprobables, dont 4 rouges. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

410\frac{4}{10}
610\frac{6}{10}
104\frac{10}{4}
46\frac{4}{6}

$$\frac{4}{10}$$

Explication

En situation d’équiprobabilité, on divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, soit P(A)=410P(A)=\frac{4}{10}. Le nombre 66 correspond aux boules qui ne sont pas rouges et ne constitue pas le nombre de cas favorables.

15. Quelle caractéristique permet d’identifier une fonction affine définie par f(x)=mx+pf(x)=mx+p ?

Sa courbe est un cercle dont le rayon vaut pp.
Sa courbe est une droite d’équation y=mx+py=mx+p.
Sa courbe est une hyperbole d’équation y=mx+py=\frac{m}{x}+p.
Sa courbe est une parabole d’équation y=mx2+py=mx^2+p.

Sa courbe est une droite d’équation $$y=mx+p$$.

Explication

Une fonction affine s’écrit f(x)=mx+pf(x)=mx+p et sa représentation graphique est une droite d’équation y=mx+py=mx+p. Une fonction non affine peut avoir une courbe différente d’une droite, comme une parabole ou une hyperbole.

16. Dans l’expression f(x)=5x−2f(x)=5x-2, que représentent les nombres 5 et -2 ?

5 est le coefficient directeur et -2 l’ordonnée à l’origine.
5 est l’abscisse à l’origine et -2 le coefficient directeur.
5 est le coefficient directeur et -2 l’abscisse à l’origine.
5 est l’ordonnée à l’origine et -2 le coefficient directeur.

5 est le coefficient directeur et -2 l’ordonnée à l’origine.

Explication

Dans une fonction affine f(x)=mx+pf(x)=mx+p, le nombre mm est le coefficient directeur et pp est l’ordonnée à l’origine. Ici, m=5m=5 et p=−2p=-2, donc la droite coupe l’axe des ordonnées en -2.

17. Quel est le coefficient directeur de la droite passant par A(2;3)A(2;3) et B(6;11)B(6;11) ?

12\frac{1}{2}
22
44
−2-2

$$2$$

Explication

Le coefficient directeur se calcule par m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, donc ici m=11−36−2=84=2m=\frac{11-3}{6-2}=\frac{8}{4}=2. La valeur 44 correspond à la différence des abscisses et non au quotient des variations.

18. Pour comparer deux réels aa et bb, quelle condition équivaut à a>ba>b ?

a−b<0a-b<0
a−b=0a-b=0
a−b>0a-b>0
a+b>0a+b>0

$$a-b>0$$

Explication

La différence a−ba-b est positive lorsque aa est supérieur à bb, ce qui donne a>b⟺a−b>0a>b\Longleftrightarrow a-b>0. Une différence négative traduit au contraire a<ba<b, tandis qu’une différence nulle traduit l’égalité.

19. Si aa et bb sont strictement positifs, quelle comparaison permet de conclure que a<ba<b ?

ab<0\frac{a}{b}<0
ab<1\frac{a}{b}<1
ab=1\frac{a}{b}=1
ab>1\frac{a}{b}>1

$$\frac{a}{b}<1$$

Explication

Lorsque aa et bb sont strictement positifs, on a a<ba<b si et seulement si ab<1\frac{a}{b}<1. Cette méthode dépend de la positivité des deux nombres, contrairement à la comparaison par différence, qui reste valable pour tous les réels.

20. Comment calculer a7÷b9\frac{a}{7}\div\frac{b}{9} lorsque les dénominateurs sont non nuls ?

9a7b\frac{9a}{7b}
ab63\frac{ab}{63}
7a9b\frac{7a}{9b}
9b7a\frac{9b}{7a}

$$\frac{9a}{7b}$$

Explication

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, donc a7÷b9=a7×9b=9a7b\frac{a}{7}\div\frac{b}{9}=\frac{a}{7}\times\frac{9}{b}=\frac{9a}{7b}. Multiplier par b9\frac{b}{9} conserverait la fraction au lieu de l’inverser.

21. Quelle valeur de xx est interdite dans l’expression 4x+11x+3\frac{4x+11}{x+3} ?

x=−3x=-3
x=−11x=-11
x=114x=\frac{11}{4}
x=3x=3

$$x=-3$$

Explication

La valeur x=−3x=-3 annule le dénominateur puisque x+3=0x+3=0, rendant l’expression non définie. Les autres valeurs proposées ne rendent pas le dénominateur nul.

22. Pour calculer 34+56\frac{3}{4}+\frac{5}{6}, quelle méthode faut-il appliquer ?

Multiplier directement les numérateurs et les dénominateurs correspondants
Soustraire les numérateurs après avoir conservé les dénominateurs initiaux
Réduire les fractions au même dénominateur, puis additionner les numérateurs
Additionner les numérateurs et les dénominateurs correspondants

Réduire les fractions au même dénominateur, puis additionner les numérateurs

Explication

Une addition de fractions nécessite un dénominateur commun avant de combiner les numérateurs. La multiplication directe des numérateurs et des dénominateurs concerne le produit de fractions, pas leur somme.

23. Quel est le résultat de la multiplication 23×57\frac{2}{3}\times\frac{5}{7} ?

1021\frac{10}{21}
1014\frac{10}{14}
1721\frac{17}{21}
715\frac{7}{15}

$$\frac{10}{21}$$

Explication

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, ce qui donne 2×53×7=1021\frac{2\times5}{3\times7}=\frac{10}{21}. La recherche d’un dénominateur commun est une étape liée à l’addition ou à la soustraction.

24. Comment calculer 49÷25\frac{4}{9}\div\frac{2}{5} ?

Multiplier 49\frac{4}{9} par l’inverse de 25\frac{2}{5}
Diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux
Multiplier 49\frac{4}{9} par 25\frac{2}{5} sans modifier les fractions
Additionner les deux fractions après avoir choisi un dénominateur commun

Multiplier $$\frac{4}{9}$$ par l’inverse de $$\frac{2}{5}$$

Explication

Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde, donc par 52\frac{5}{2}. La multiplication par 25\frac{2}{5} correspondrait à une autre opération et ne donne pas le quotient demandé.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce qu'une suite numérique (u_n) ?

Une fonction dont la variable est un entier naturel n.

Que désigne u_n dans une suite numérique ?

L'image de n, appelée terme général.

Quel est le n-ième terme si le premier terme est u_0 ?

C'est un−1u_{n-1}.

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