QCM : Vecteurs et ensembles de nombres (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelles caractéristiques définissent le vecteur AB⃗\vec{AB} ?

Sa norme, sa direction et son sens
Son origine, son extrémité et son angle
Sa direction, son milieu et sa distance
Sa longueur, son origine et son milieu

Sa norme, sa direction et son sens

Explication

Un vecteur AB⃗\vec{AB} est caractérisé par sa norme, sa direction et son sens, tandis que les points A et B servent à représenter le déplacement. L’origine et l’extrémité décrivent un représentant particulier, mais ne constituent pas les trois caractéristiques définitoires du vecteur.

2. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils égaux ?

Lorsqu’ils ont la même longueur, la même direction et le même sens
Lorsqu’ils ont la même origine, la même direction et des longueurs différentes
Lorsqu’ils ont la même extrémité et des directions quelconques
Lorsqu’ils ont la même longueur et des sens opposés sur des droites parallèles

Lorsqu’ils ont la même longueur, la même direction et le même sens

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsque leur longueur, leur direction et leur sens coïncident. Le fait d’avoir une origine ou une extrémité commune ne suffit pas à établir cette égalité.

3. Que peut-on affirmer à propos du vecteur AA⃗\vec{AA} lorsque les deux points A coïncident ?

Il est défini par une direction et un sens opposé malgré l’absence de déplacement
Il a une norme positive, une direction quelconque et un sens choisi vers A
Il possède une norme nulle, une direction déterminée par la droite passant par A
Il est nul, sa norme vaut 0 et sa direction ainsi que son sens ne sont pas définis

Il est nul, sa norme vaut 0 et sa direction ainsi que son sens ne sont pas définis

Explication

Le déplacement de A vers A est nul : AA⃗=0⃗\vec{AA}=\vec{0} et sa norme vaut 0, sans direction ni sens définis. Une norme nulle n’entraîne donc pas l’existence d’une direction arbitraire.

4. Pour des points distincts A, B, C et D, quelle condition équivaut à AB⃗=CD⃗\vec{AB}=\vec{CD} ?

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, sans autre condition
Les diagonales [AC] et [BD] ont des longueurs égales
Les segments [AB] et [CD] ont la même longueur, avec des sens quelconques
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati

Explication

L’égalité AB⃗=CD⃗\vec{AB}=\vec{CD} est équivalente au fait qu'ABCD soit un parallélogramme, y compris dans le cas aplati. Des côtés parallèles ou de même longueur pris séparément ne garantissent pas l’égalité des vecteurs orientés.

5. Soit u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0} et k≠0k\neq0. Que devient le vecteur ku⃗k\vec{u} lorsque k<0k<0 ?

Il devient nul, car un coefficient négatif annule la norme de u⃗\vec{u}
Il prend une direction perpendiculaire, sa norme vaut ∣k∣+∥u⃗∥|k|+\|\vec{u}\| et son sens est inchangé
Il garde le sens de u⃗\vec{u}, sa norme vaut k×∥u⃗∥k\times\|\vec{u}\| et sa direction change
Il garde la direction de u⃗\vec{u}, sa norme vaut ∣k∣×∥u⃗∥|k|\times\|\vec{u}\| et son sens est opposé

Il garde la direction de $$\vec{u}$$, sa norme vaut $$|k|\times\|\vec{u}\|$$ et son sens est opposé

Explication

Un coefficient négatif conserve la direction, multiplie la norme par ∣k∣|k| et inverse le sens du vecteur. La multiplication par un réel négatif ne rend pas le vecteur nul lorsque k≠0k\neq0 et u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0}.

6. Quelle propriété caractérise le vecteur opposé −u⃗-\vec{u} ?

Il a une direction différente, une norme opposée et le même sens que u⃗\vec{u}
Il a la même direction et la même norme que u⃗\vec{u}, mais un sens opposé
Il conserve le sens de u⃗\vec{u}, mais sa norme est multipliée par un réel quelconque
Il possède une norme nulle et une direction non définie comme le vecteur nul

Il a la même direction et la même norme que $$\vec{u}$$, mais un sens opposé

Explication

Le vecteur opposé est défini par −u⃗=(−1)u⃗-\vec{u}=(-1)\vec{u} : sa direction et sa norme restent identiques, tandis que son sens est inversé. Un produit par un réel quelconque peut modifier la norme, alors que le coefficient −1-1 la conserve.

7. Si K est le milieu du segment [AB], quelle relation vectorielle est vérifiée ?

AK⃗=KB⃗\vec{AK}=\vec{KB}
AK⃗=AB⃗\vec{AK}=\vec{AB}
KB⃗=2AB⃗\vec{KB}=2\vec{AB}
AB⃗=12AK⃗\vec{AB}=\frac{1}{2}\vec{AK}

$$\vec{AK}=\vec{KB}$$

Explication

Le milieu partage le segment en deux déplacements égaux, donc AK⃗=KB⃗\vec{AK}=\vec{KB} et aussi AK⃗=12AB⃗\vec{AK}=\frac{1}{2}\vec{AB}. La relation AK⃗=AB⃗\vec{AK}=\vec{AB} confond le déplacement vers le milieu avec le déplacement complet de A vers B.

8. Quelle condition permet d’affirmer que deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires ?

Leur somme est nécessairement égale au vecteur nul.
Il existe un réel kk tel que u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v} ou v⃗=ku⃗\vec{v}=k\vec{u}.
Ils ont nécessairement la même longueur et le même sens.
Ils possèdent des coordonnées entières dans un même repère.

Il existe un réel $$k$$ tel que $$\vec{u}=k\vec{v}$$ ou $$\vec{v}=k\vec{u}$$.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple réel de l’autre. Avoir la même longueur et le même sens décrit une égalité de vecteurs, qui est une condition plus restrictive.

9. Dans une suite de déplacements allant de A vers B puis de B vers C, quel vecteur représente le déplacement total ?

AC⃗=AB⃗−BC⃗\vec{AC}=\vec{AB}-\vec{BC}
AC⃗=AB⃗+BC⃗\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}
BC⃗=AC⃗+AB⃗\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{AB}
BA⃗=AB⃗+BC⃗\vec{BA}=\vec{AB}+\vec{BC}

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$$

Explication

La relation de Chasles additionne les vecteurs correspondant à des déplacements enchaînés bout à bout et donne AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}. Une soustraction ne traduit pas ici l’enchaînement des déplacements de A à C.

10. Quelle égalité applique correctement la distributivité vectorielle au vecteur u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v} ?

a(u⃗+v⃗)=au⃗+av⃗a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}
a(u⃗+v⃗)=au⃗+v⃗a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+\vec{v}
a(u⃗+v⃗)=abu⃗+abv⃗a(\vec{u}+\vec{v})=ab\vec{u}+ab\vec{v}
(a+b)(u⃗+v⃗)=au⃗+bv⃗(a+b)(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+b\vec{v}

$$a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}$$

Explication

La distributivité d’un scalaire sur une somme de vecteurs donne a(u⃗+v⃗)=au⃗+av⃗a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}. L’expression a(bu⃗)a(b\vec{u}) se traite plutôt par la règle a(bu⃗)=(ab)u⃗a(b\vec{u})=(ab)\vec{u}.

11. Quelle chaîne d’inclusions décrit correctement les principaux ensembles numériques ?

N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}
R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels puis les réels. L’ordre inverse proposé ne respecte pas l’emboîtement de ces ensembles.

12. Laquelle des écritures suivantes caractérise un nombre rationnel ?

q=abq=\frac{a}{b} avec a∈Na\in\mathbb{N}, b=0b=0 et b∈Zb\in\mathbb{Z}
q=abq=\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z}, b∈Zb\in\mathbb{Z} et b≠0b\neq0
q=abq=\frac{a}{b} avec a∈Ra\in\mathbb{R}, b∈Rb\in\mathbb{R} et b≠0b\neq0
q=abq=\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z}, b∈Zb\in\mathbb{Z} et b=0b=0

$$q=\frac{a}{b}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$, $$b\in\mathbb{Z}$$ et $$b\neq0$$

Explication

Un rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur entier non nul. Un dénominateur nul rend la fraction indéfinie, tandis que des numérateurs et dénominateurs réels ne donnent pas cette définition.

13. Quelle description correspond à l’ensemble des nombres réels R\mathbb{R} ?

Les nombres entiers positifs utilisés pour compter les objets.
Les nombres qui possèdent une écriture décimale finie dans un repère.
Les nombres qui s’écrivent comme quotient de deux entiers non nuls.
Les abscisses possibles des points d’une droite munie d’un repère.

Les abscisses possibles des points d’une droite munie d’un repère.

Explication

Les réels correspondent aux abscisses de tous les points d’une droite graduée munie d’un repère. Les quotients de deux entiers décrivent les rationnels, qui ne constituent pas tous les réels puisque 2\sqrt{2} et π\pi sont irrationnels.

14. Quelle est la forme irréductible de 2084\frac{20}{84} ?

2021\frac{20}{21}
521\frac{5}{21}
1042\frac{10}{42}
417\frac{4}{17}

$$\frac{5}{21}$$

Explication

La décomposition en facteurs premiers permet de supprimer les facteurs communs de 20 et 84, ce qui donne 2084=521\frac{20}{84}=\frac{5}{21}. L’écriture 1042\frac{10}{42} est équivalente, mais elle possède encore un facteur commun et n’est donc pas irréductible.

15. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

Il s’écrit comme le quotient de deux entiers dont le dénominateur vaut zéro.
Il peut s’écrire d=abd=\frac{a}{b} avec deux réels quelconques et b≠0b\neq0.
Il peut s’écrire d=a10nd=\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}.
Il possède une écriture décimale infinie avec des chiffres non périodiques.

Il peut s’écrire $$d=\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$.

Explication

Un nombre décimal s’écrit sous la forme a10n\frac{a}{10^n} et possède une écriture décimale finie. Une écriture décimale infinie non périodique caractérise plutôt un nombre irrationnel, tandis qu’un dénominateur nul est interdit.

16. Lequel des énoncés décrit correctement un encadrement décimal d’un réel xx ?

Il s’écrit d≤x<d′d\le x<d', avec dd et d′d' rationnels, et son amplitude vaut d′+dd'+d.
Il s’écrit d<x<d′d<x<d', avec dd et d′d' entiers, et son amplitude vaut d+d′d+d'.
Il s’écrit d<x≤d′d<x\le d', avec dd et d′d' réels, et son amplitude vaut d′−dd'-d.
Il s’écrit d≤x≤d′d\le x\le d', avec dd et d′d' décimaux, et son amplitude vaut d′−dd'-d.

Il s’écrit $$d\le x\le d'$$, avec $$d$$ et $$d'$$ décimaux, et son amplitude vaut $$d'-d$$.

Explication

Un encadrement décimal utilise deux nombres décimaux comme bornes et sa largeur se calcule par d′−dd'-d. Le nombre encadré peut être irrationnel, tandis que les bornes doivent appartenir à D\mathbb{D}.

17. Que peut-on déduire de l’encadrement 3,14≤π≤3,153,14\le\pi\le3,15 ?

Son amplitude vaut 0,010,01 et l’arrondi de π\pi au centième est 3,143,14.
Son amplitude vaut 0,010,01 et l’arrondi de π\pi au centième est 3,153,15.
Son amplitude vaut 0,010,01 et l’arrondi de π\pi au dixième est 3,143,14.
Son amplitude vaut 0,100,10 et l’arrondi de π\pi au centième est 3,143,14.

Son amplitude vaut $$0,01$$ et l’arrondi de $$\pi$$ au centième est $$3,14$$.

Explication

La largeur de l’encadrement est 3,15−3,14=0,013,15-3,14=0,01, et l’arrondi de π\pi à 10−210^{-2} près vaut 3,143,14. L’amplitude décrit la largeur de l’intervalle, alors que l’arrondi fournit une valeur approchée.

18. Quel ensemble décrit l’intervalle fermé [a;b][a;b] lorsque a<ba<b ?

Les réels xx tels que a≤x<ba\le x<b.
Les réels xx tels que a<x<ba<x<b.
Les réels xx tels que a<x≤ba<x\le b.
Les réels xx tels que a≤x≤ba\le x\le b.

Les réels $$x$$ tels que $$a\le x\le b$$.

Explication

Les crochets indiquent que les deux bornes sont incluses, donc l’intervalle contient les xx vérifiant a≤x≤ba\le x\le b. L’inégalité stricte aux deux extrémités caractérise plutôt l’intervalle ouvert ]a;b[]a;b[.

19. Si un réel appartient à la fois aux intervalles II et JJ, à quel ensemble appartient-il nécessairement ?

À la différence I∖JI\setminus J.
À l’union I∪JI\cup J, mais pas à l’intersection.
À l’intersection I∩JI\cap J.
À l’intervalle complémentaire de I∪JI\cup J.

À l’intersection $$I\cap J$$.

Explication

L’intersection I∩JI\cap J regroupe les nombres communs aux deux intervalles. L’union contient aussi les nombres appartenant à un seul des deux intervalles, mais l’appartenance simultanée caractérise directement l’intersection.

20. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel xx négatif ?

∣x∣=x−1|x|=x-1, ce qui diminue sa distance à zéro.
∣x∣=x|x|=x, ce qui conserve un nombre négatif.
∣x∣=−x|x|=-x, ce qui produit un nombre positif.
∣x∣=0|x|=0, car un nombre négatif est annulé.

$$|x|=-x$$, ce qui produit un nombre positif.

Explication

Lorsque x<0x<0, sa valeur absolue est −x-x, donc un nombre positif. L’expression ∣x∣=x|x|=x s’applique aux réels positifs ou nuls, pas aux réels négatifs.

21. Quel intervalle représente l’ensemble des réels xx vérifiant ∣x−4∣≤2|x-4|\le2 ?

[−2;2][-2;2]
[2;6][2;6]
[−6;−2][-6;-2]
[4;6][4;6]

$$[2;6]$$

Explication

La règle ∣x−c∣≤r  ⟺  x∈[c−r;c+r]|x-c|\le r\iff x\in[c-r;c+r] donne ici [4−2;4+2]=[2;6][4-2;4+2]=[2;6]. L’intervalle [4;6][4;6] ne retient que les valeurs situées à droite du centre et oublie celles comprises entre 22 et 44.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 50 flashcards sur Vecteurs et ensembles de nombres.

Comment est représenté le vecteur AB⃗\vec{AB} ?

Par une flèche d'origine A vers B.

Quels éléments définissent le vecteur AB⃗\vec{AB} ?

Sa norme, sa direction et son sens.

Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?

Quand ils ont même longueur, direction et sens.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Vecteurs et ensembles de nombres.

Voir la fiche →

Cours similaires

Calculs numériques et littéraux

Mathématiques

Sens d’évolution d'un système

Chimie

Géosciences, société et environnement

Suites et automatismes mathématiques

Mathématiques

Lipides : rôles et applications

Méthodologie de l’enquête

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM