Fiche de révision : Cardinaux, nombres et structures algébriques

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et méthodes du cours
2. Logique propositionnelle
3. Quantificateurs et variables
4. Récurrence et raisonnements classiques
5. Ensembles et opérations
6. Relations et applications
7. Cardinalité et dénombrabilité
8. Cardinaux et analyse combinatoire
9. Construction et densité des nombres
10. Arithmétique des nombres complexes
11. Formes trigonométrique et exponentielle
12. Polynômes et racines de l’unité
13. Lois et groupes
14. Anneaux, corps et permutations
15. Cycles et décomposition des permutations
16. Signature et groupe alterné
17. Morphismes et conjugaison
18. Divisibilité et anneaux quotients

📖 1. Objectifs et méthodes du cours

★ À maîtriser

• Le cours vise notamment la maîtrise de la logique mathématique, de la théorie des ensembles, des applications, des structures algébriques et des nombres complexes.

📌 Une solution d’exercice doit être lisible et convaincante, comporter au moins un sujet et un verbe, et expliquer l’obtention du résultat au lieu de donner seulement celui-ci.

Compléments

• Pour travailler efficacement, il faut apprendre le cours en identifiant et levant les blocages, faire les exercices de TD, puis chercher honnêtement les exercices corrigés avant de consulter la solution.

💡 Astuce mémo

Définitions maîtrisées → exercices réussis → preuves lisibles

📖 2. Logique propositionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : énoncé mathématique susceptible d'être vrai ou faux
• Négation : La négation de P, notée $\neg P$, est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.
• Implication : L'implication $P \Rightarrow Q$ est, par définition, l'expression $Q \lor \neg P$.
• Équivalence : L'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ signifie que les deux implications $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont vraies.

📝 Points essentiels

📌 Le raisonnement par l'absurde repose sur l'implication $(\neg P \Rightarrow (Q \land \neg Q)) \Rightarrow P$.

💡 Astuce mémo

Implication : P suffit pour Q ; équivalence : P et Q se répondent

📖 3. Quantificateurs et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel $\forall x \in E, P(x)$ affirme que P(x) est vraie pour tout élément x de E.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel $\exists x \in E\mid P(x)$ affirme qu'il existe au moins un élément x de E tel que P(x) soit vraie.

★ À maîtriser

📌 Les négations des quantificateurs vérifient $\neg(\exists x\in E,P(x))\Leftrightarrow(\forall x\in E,\neg P(x))$ et $\neg(\forall x\in E,P(x))\Leftrightarrow(\exists x\in E,\neg P(x))$.

Compléments

• Si E est vide, l'assertion $\forall x\in E,P(x)$ est toujours vraie.

💡 Astuce mémo

∀ affirme pour tous, ∃ fournit au moins un témoin

📖 4. Récurrence et raisonnements classiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par contraposée : Pour prouver l'implication $P\Rightarrow Q$, on peut prouver sa contraposée $\neg Q\Rightarrow\neg P$.
• Contre-exemple : Pour montrer que l'assertion $\forall x,P(x)$ est fausse, il suffit de trouver un élément x₀ tel que P(x₀) soit fausse.

📝 Points essentiels

• Pour prouver $\forall n\ge n_0,P(n)$ par récurrence, il faut prouver P(n₀), puis montrer que $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ pour tout n≥n₀.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 5. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : L'inclusion $A\subset B$ signifie que tout élément de A appartient également à B.
• Égalité d'ensembles : Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l'autre, c'est-à-dire $A=B\Leftrightarrow(A\subset B\land B\subset A)$.
• Intersection : L'intersection $A\cap B$ est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
• Union : L'union $A\cup B$ est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B, le « ou » étant inclusif.
• Ensemble des rationnels : L'ensemble des nombres rationnels est $\mathbb Q=\left\{\frac pq\mid p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N^*\right\}$.
• Produit cartésien : Le produit cartésien $A\times B$ est l'ensemble des couples (a,b) tels que a appartient à A et b appartient à B.

💡 Astuce mémo

∈ relie un élément à un ensemble ; ⊂ relie deux ensembles

📖 6. Relations et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d'équivalence : Une relation interne sur E est une relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
• Application : Une application de E vers F est une fonction pour laquelle tout élément de E possède une image dans F.
• Injection : Une application f est injective si chaque élément de son ensemble d'arrivée possède au plus un antécédent.
• Surjection : Une application f est surjective si chaque élément de son ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent.
• Bijection : Une application f est bijective si chaque élément de son ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La composition de deux applications vérifie $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

💡 Astuce mémo

Relation → fonction → application → injection, surjection ou bijection

📖 7. Cardinalité et dénombrabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Équipotence : Deux ensembles E et F sont équipotents s'il existe une bijection de E vers F, ce qui se note $E\sim F$.
• Ensemble dénombrable : Un ensemble est dénombrable s'il est fini ou équipotent à $\mathbb N$.

★ À maîtriser

• L'ensemble $\mathbb R$ est non dénombrable, et l'intervalle [0,1] est également non dénombrable.

📌 Le théorème de Cantor affirme qu'il n'existe aucune surjection d'un ensemble E vers son ensemble des parties $\mathcal P(E)$.

Compléments

• Les ensembles $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$ sont dénombrables.

📌 S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E, alors E et F sont équipotents.

💡 Astuce mémo

Injection ou surjection → comparaison des ensembles ; Cantor → non-dénombrabilité

📖 8. Cardinaux et analyse combinatoire

📝 Points essentiels

📌 Les propositions « il existe une injection f : E → F » et « il existe une surjection f : F → E » sont équivalentes.

📌 Pour tout ensemble E, il n’existe aucune surjection de E vers son ensemble des parties P(E). — Cantor

• L’ensemble des réels R est indénombrable, c’est-à-dire qu’il ne peut pas être l’ensemble des termes d’une suite indexée par N.

📌 Si E s’injecte dans F et F s’injecte dans E, alors il existe une bijection de E sur F ; les ensembles E et F sont alors équipotents.

📐 Formule — Pour des ensembles finis deux à deux disjoints, $\operatorname{card}(A_1\cup\cdots\cup A_n)=\operatorname{card}(A_1)+\cdots+\operatorname{card}(A_n)$.

📐 Formule — Si E et F ont respectivement n et m éléments, le nombre d’applications de E vers F est $\operatorname{card}(F^E)=m^n$.

📐 Formule — Pour un ensemble E de cardinal n et p ≤ n, le nombre d’arrangements de p éléments est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$, tandis que le nombre de parties à p éléments est $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

💡 Astuce mémo

Injection E→F équivaut à surjection F→E, tandis que Cantor interdit E→P(E) surjective.

📖 9. Construction et densité des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Se construisent comme les classes d’équivalence de N×N pour la relation (n,m)R(n′,m′) si et seulement si n+m′=n′+m.
• Nombres rationnels : Se construisent comme les classes d’équivalence de Z×N* pour la relation (a,b)R(c,d) si et seulement si ad=cb.
• Nombres réels : Se construisent comme le quotient de l’ensemble des suites de Cauchy à valeurs rationnelles par la relation (u_n)R(v_n) si et seulement si lim(n→∞)(u_n−v_n)=0.

★ À maîtriser

• Les entiers naturels se construisent en posant 0=∅, puis 1={0}, 2={0,1}, et plus généralement chaque entier comme l’ensemble de ses prédécesseurs.

📌 Les inclusions usuelles entre ensembles de nombres sont $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

📐 Formule — Pour tout réel x, la suite $r_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ est rationnelle et vérifie $0\le x-r_n<\frac1n$.

📌 Tout intervalle ouvert non vide de R contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel ; Q et R\Q sont donc denses dans R.

Compléments

• L’axiome de l’infini est nécessaire pour garantir l’existence d’un ensemble contenant tous les entiers naturels construits successivement.

💡 Astuce mémo

N se construit par ensembles, puis Z par quotient, Q par fractions et R par suites de Cauchy.

📖 10. Arithmétique des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Couple (x,y) de réels muni des lois (x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′) et (x,y)(x′,y′)=(xx′−yy′,xy′+yx′).
• Forme algébrique : Tout complexe s’écrit de manière algébrique z=x+iy, où x=Re(z) est sa partie réelle et y=Im(z) sa partie imaginaire.
• Conjugué : Complexe \bar z=x−iy.

📝 Points essentiels

📐 Formule — En notant i=(0,1), on a $i^2=-1$.

📐 Formule — Pour tout complexe z=x+iy, $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z}$.

📐 Formule — Pour tous complexes z et z′, $|zz′|=|z||z′|$ et $|z+z′|\le |z|+|z′|$.

💡 Astuce mémo

Un complexe est un point du plan : sa partie réelle est horizontale et sa partie imaginaire verticale.

📖 11. Formes trigonométrique et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Tout complexe non nul s’écrit $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, où |z| est son module et θ un argument défini modulo 2π.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme exponentielle d’un complexe est $z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, avec r=|z|.

📐 Formule — Pour tous complexes z et z′ non nuls, $\arg(zz′)=\arg(z)+\arg(z′)$ et $\arg\left(\frac z{z′}\right)=\arg(z)-\arg(z′)\pmod{2\pi}$.

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Compléments

• Pour linéariser cos(x)^p sin(x)^q, on remplace cos et sin par les formules d’Euler, on développe, on simplifie les exponentielles puis on regroupe les termes conjugués.

💡 Astuce mémo

Module et argument déterminent le complexe → les produits additionnent les arguments.

📖 12. Polynômes et racines de l’unité

★ À maîtriser

📌 Tout polynôme non constant à coefficients réels ou complexes admet au moins une racine dans C. — d’Alembert-Gauss

• Un polynôme de degré n possède au plus n racines complexes et exactement n racines complexes lorsqu’elles sont comptées avec leurs multiplicités.

📐 Formule — Pour ax²+bx+c=0 avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ est réel strictement positif, l’équation ax²+bx+c=0 possède les deux solutions $\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

📐 Formule — Les racines n-ièmes de l’unité sont $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$ pour k=0,…,n−1.

Compléments

• Géométriquement, les n racines n-ièmes de l’unité sont les sommets régulièrement répartis d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité.

📐 Formule — Pour n≥2, si ω=e^{2iπ/n}, alors $1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0$.

💡 Astuce mémo

D’Alembert-Gauss garantit les racines, De Moivre les calcule et le cercle les ordonne.

📖 13. Lois et groupes

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de composition interne : Application de E×E vers E.
• Groupe : Ensemble muni d’une loi interne associative possédant un élément neutre et un symétrique pour chacun de ses éléments.
• Ordre d’un élément : Plus petit entier p≥1 tel que x^p=e s’il existe, et vaut 0 sinon.

📝 Points essentiels

📌 Dans un groupe, la simplification est possible à gauche et à droite : a⋆x=a⋆y implique x=y, et x⋆a=y⋆a implique x=y.

• L’ensemble des permutations d’un ensemble E forme un groupe pour la composition, dont l’élément neutre est l’identité et dont le symétrique est l’application réciproque.

📌 Si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, alors le cardinal de H divise le cardinal de G.

💡 Astuce mémo

Une loi interne reste dans l’ensemble, tandis qu’un groupe ajoute neutre et symétriques.

📖 14. Anneaux, corps et permutations

🔑 Notions clés & Définitions

• Anneau : Ensemble muni d’une addition qui forme un groupe commutatif et d’une multiplication associative distributive par rapport à l’addition, avec un élément neutre multiplicatif.
• Corps : Anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible pour la multiplication.
• Cycle : Permutation qui fait passer successivement a0 vers a1, a1 vers a2, jusqu’à aP−1 vers a0, sur P éléments distincts.
• Sous-anneau : Partie qui contient 0 et 1 et vérifie que a−b et ab appartiennent à B pour tous a,b∈B.

★ À maîtriser

• Les ensembles Q, R et C munis de l’addition et de la multiplication usuelles sont des corps commutatifs, tandis que Z est un anneau commutatif qui n’est pas un corps.

📌 Deux permutations dont les supports sont disjoints commutent.

Compléments

• L’écriture d’un cycle n’est pas unique : une permutation cyclique des éléments dans l’écriture décrit le même cycle.

📖 15. Cycles et décomposition des permutations

🔑 Notions clés & Définitions

• Support d’une permutation : Le support d’une permutation σ est l’ensemble $\operatorname{Supp}(\sigma)=\{x\in E\mid \sigma(x)\neq x\}$, tandis que ses points fixes sont $\operatorname{Fix}(\sigma)=E\setminus\operatorname{Supp}(\sigma)$.
• Cycle : Un cycle de longueur P est une permutation qui envoie successivement $a_0$ sur $a_1$, jusqu’à $a_{P-1}$ sur $a_0$, lorsque les P éléments sont deux à deux distincts.

★ À maîtriser

📌 Deux permutations à supports disjoints commutent : si $\operatorname{Supp}(\sigma)\cap\operatorname{Supp}(\tau)=\varnothing$, alors $\sigma\circ\tau=\tau\circ\sigma$.

• La décomposition en cycles d’une permutation partitionne E en orbites disjointes, chaque orbite non réduite à un point donnant un cycle, et l’ordre de la permutation est le PPCM des longueurs de ces cycles.

Compléments

• Un cycle de longueur P est d’ordre P, sa réciproque inverse l’ordre des éléments, et il se décompose en P−1 transpositions.

💡 Astuce mémo

Des circuits fermés disjoints, avec les points fixes comme boucles isolées

📖 16. Signature et groupe alterné

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe alterné : Le groupe alterné A(E) est le sous-groupe de Perm E constitué des permutations paires, c’est-à-dire celles qui se factorisent en un nombre pair de transpositions.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La signature d’une permutation σ est $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{\operatorname{card}(E)-\operatorname{card}(\operatorname{Orb}(\sigma))}=(-1)^{\operatorname{card}(\operatorname{Supp}(\sigma))-\operatorname{card}(\operatorname{Orb}^*(\sigma))}$.

• La signature de l’identité vaut 1 et celle d’une transposition vaut −1.

📌 Pour toutes permutations σ et τ, la signature vérifie $\varepsilon(\sigma\circ\tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)$.

• Si une permutation se décompose en cycles disjoints de longueurs $p_1,\ldots,p_q$, alors son ordre est $\operatorname{PPCM}(p_1,\ldots,p_q)$ et sa signature vaut $(-1)^{p_1-1}\cdots(-1)^{p_q-1}$.

💡 Astuce mémo

Cycle pair : signature +1 ; transposition : signature −1

📖 17. Morphismes et conjugaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Morphisme de groupes : Une application φ d’un groupe G vers un groupe G′ est un morphisme de groupes si $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\cdot\varphi(y)$ pour tous x et y dans G.
• Automorphisme intérieur : Pour un élément g d’un groupe G, l’application $\Phi_g(h)=ghg^{-1}$ est un automorphisme de G appelé automorphisme intérieur.

★ À maîtriser

• Un morphisme de groupes envoie l’élément neutre sur l’élément neutre, les inverses sur les inverses, et son image ainsi que son noyau sont des sous-groupes.

📌 Si φ:E→F est une bijection et f:E→E, la permutation conjuguée est $\widetilde f=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$ et vérifie $\widetilde f(\varphi(x))=\varphi(f(x))$.

Compléments

• L’application exponentielle $t\mapsto e^t$ est un isomorphisme de groupes de (R,+) vers (R^*+,·), de réciproque le logarithme.

💡 Astuce mémo

Changement de variables par bijection → permutation conjuguée

📖 18. Divisibilité et anneaux quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Dans un anneau commutatif A, a divise b, noté a|b, s’il existe c∈A tel que $ac=b$.
• Élément irréductible : Un élément a d’un anneau est irréductible s’il n’est pas inversible et si toute égalité $a=bc$ impose que b ou c soit inversible.
• Anneau quotient : Pour b,c∈A, la congruence modulo a est définie par $b\equiv c\ [a]$ si $c-b\in aA$, et l’anneau quotient A/aA est formé des classes d’équivalence avec $\bar b+\bar c=\overline{b+c}$ et $\bar b\bar c=\overline{bc}$.
• PGCD : Pour des entiers non tous nuls, le PGCD est le plus grand élément de l’ensemble de leurs diviseurs communs et se note $a_1\wedge\cdots\wedge a_n$.
• PPCM : Le PPCM d’entiers tous non nuls est le plus petit multiple commun strictement positif, et il vaut 0 si l’un des entiers est nul.
• Factorisation première : Tout rationnel positif a différent de 1 s’écrit de manière unique $a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}$, où les pi sont des nombres premiers distincts ordonnés et les αi sont des entiers non nuls.
• Valuation : La valuation valp(a) est l’exposant du nombre premier p dans la factorisation de a, avec valp(±1)=0 et valp(0)=+∞.

★ À maîtriser

📌 Des éléments sont premiers dans leur ensemble si leurs diviseurs communs sont exactement les éléments inversibles, tandis que « deux à deux premiers entre eux » exige cette propriété pour chaque paire.

• La division euclidienne de a par b∈N* fournit un unique couple (q,r) tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$.

📐 Formule — Pour tous entiers a et b, l’identité de Bézout affirme qu’il existe u,v∈Z tels que $ua+vb=a\wedge b$.

📌 Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe u,v∈Z tels que $ua+vb=1$.

📐 Formule — Pour a,b∈Q* et p premier, on a $\operatorname{val}_p(ab)=\operatorname{val}_p(a)+\operatorname{val}_p(b)$ et $\operatorname{val}_p(a/b)=\operatorname{val}_p(a)-\operatorname{val}_p(b)$.

📌 Pour des entiers non nuls a et b, a divise b si et seulement si $\operatorname{val}_p(a)\le\operatorname{val}_p(b)$ pour tout nombre premier p.

📐 Formule — Pour des entiers a1,…,an et un nombre premier p, la valuation du PGCD est le minimum des valuations et celle du PPCM est leur maximum : $\operatorname{val}_p(a_1\wedge\cdots\wedge a_n)=\min_i\operatorname{val}_p(a_i)$ et $\operatorname{val}_p(a_1\vee\cdots\vee a_n)=\max_i\operatorname{val}_p(a_i)$.

📌 Le théorème des restes chinois affirme que si a1,…,aN sont deux à deux premiers entre eux, tout système $n\equiv b_i\ [a_i]$ possède une unique solution dans l’intervalle $[0,a_1\cdots a_N-1]$.

Compléments

📌 Le lemme de Gauss affirme que si a est premier avec chacun des entiers b1,…,bn, alors a est premier avec leur produit $b_1\cdots b_n$.

💡 Astuce mémo

Divisibilité → classes modulo a → anneau quotient A/aA

📊 Tableaux de synthèse

Types d'applications

Constructions des ensembles de nombres