Fiche de révision : Signaux sinusoïdaux

📋 Plan du Cours

1. Signaux périodiques spatiaux et temporels
2. Paramètres d’un signal sinusoïdal
3. Phase et déphasage
4. Phase et cercle trigonométrique
5. Oscillateurs mécaniques sinusoïdaux
6. Énergie du pendule simple
7. Spectre des signaux périodiques

📖 1. Signaux périodiques spatiaux et temporels

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur d’onde : Distance minimale séparant deux points d’un signal spatial périodique dans le même état et correspondant à la taille minimale du motif élémentaire.
• Période temporelle : Durée minimale séparant deux instants auxquels un signal temporel est identique.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence ν et la période T sont reliées par $\nu=\frac{1}{T}$, et le hertz vérifie $1\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1}$.

Compléments

📐 Formule — Un signal spatial périodique vérifie $g(x\pm\lambda)=g(x)$, tandis qu’un signal temporel périodique vérifie $f(t\pm T)=f(t)$.

💡 Astuce mémo

Espace : longueur d’onde λ ; temps : période T

📖 2. Paramètres d’un signal sinusoïdal

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal sinusoïdal : Signal périodique qui peut s’écrire à l’aide d’une fonction sinus ou cosinus.
• Amplitude : Toujours positive et possédant la même dimension et les mêmes unités que la grandeur f.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un signal sinusoïdal s’écrit $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)+f_0$.

📐 Formule — La pulsation ω est reliée à la période et à la fréquence par $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu$ et s’exprime en rad.s⁻¹.

Compléments

• La valeur moyenne f₀ translate verticalement le signal, tandis que la phase à l’origine φ₀ le translate horizontalement.

💡 Astuce mémo

A étire verticalement, ω contracte horizontalement, f₀ monte le signal et φ₀ le décale

📖 3. Phase et déphasage

★ À maîtriser

📌 La phase à l’origine φ₀ caractérise l’état initial d’un signal, tandis que le déphasage Δφ compare les phases de deux signaux de même fréquence.

📐 Formule — Un déphasage Δφ est équivalent à un décalage temporel $\Delta t=\frac{\Delta\varphi}{\omega}$.

• Deux signaux sont en phase si Δφ=0, en opposition de phase si Δφ=±π rad et en quadrature de phase si Δφ=±π/2 rad.

Compléments

• Pour un signal de référence de phase nulle, une phase φ₀ négative indique un retard de phase et une phase φ₀ positive indique une avance de phase.

💡 Astuce mémo

φ₀ décale un signal seul ; Δφ compare deux signaux

📖 4. Phase et cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Phase instantanée : Argument φ(t)=ωt+φ₀ de la fonction sinus, qui croît linéairement avec le temps au taux ω.

📝 Points essentiels

• Pour relier un signal sinusoïdal au cercle trigonométrique, on part de l’angle φ₀, on le fait progresser de ωt, puis on lit la valeur du sinus de l’angle obtenu.

💡 Astuce mémo

φ₀ → ωt + φ₀ → lecture de sin(φ)

📖 5. Oscillateurs mécaniques sinusoïdaux

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un pendule simple soumis à de petites oscillations, la pulsation vaut $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$.

📐 Formule — Pour un système masse-ressort, la pulsation des oscillations vaut $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Compléments

• Dans le pendule simple et le système masse-ressort, l’amplitude et la phase à l’origine sont déterminées par les conditions initiales.

💡 Astuce mémo

Pendule : $\omega=\sqrt{g/l}$ ; ressort : $\omega=\sqrt{k/m}$

📖 6. Énergie du pendule simple

📝 Points essentiels

📐 Formule — En négligeant les frottements, l’énergie mécanique du pendule est conservée et vérifie $E_m=E_c+E_p$, avec $E_c=\frac{1}{2}mv^2$ et $E_p=mgh$.

• Au cours d’une oscillation sans frottements, l’énergie potentielle est maximale et l’énergie cinétique nulle au point le plus haut, puis l’énergie potentielle diminue tandis que l’énergie cinétique augmente jusqu’au point le plus bas.

💡 Astuce mémo

Montée → énergie potentielle augmente ; descente → énergie cinétique augmente

📖 7. Spectre des signaux périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Spectre : Représentation de l’intensité de chaque composante sinusoïdale en fonction de sa fréquence.
• Onde monochromatique : Onde dont le spectre ne contient qu’une seule fréquence ou une seule longueur d’onde.
• Harmoniques : Multiples de la fréquence fondamentale d’un signal périodique complexe.

★ À maîtriser

• Une note de piano peut être représentée comme une somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples d’une fréquence fondamentale ; pour la note La, la fréquence fondamentale vaut 440 Hz.

Compléments

• Deux instruments jouant la même note peuvent produire des signaux temporels différents et donc des sons différents, comme un piano et un diapason jouant un La.

💡 Astuce mémo

Fondamentale → harmoniques → spectre

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres du signal sinusoïdal